基本不等式-初升高数学暑假专项提升（人教版）

第07讲基本不等式

事学电目标I

i.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念：

2.理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；

3.熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大

小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式：

4.会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。

|［函基础知识］：

—miuiMiiiMiiiiaiiiiuiiiiaiNiiiiaiii，

一、基本不等式的概念

I、两个不等式

（1）重要不等式：a?十护之2ab（a,〃£/?）,（当且仅当〃时取"="号）.

常见变形公式：2（/+尸）23+与2（4,beR）、

（2）基本不等式：学之1茄,，（当且仅当。=〃时取到等号）.

常见变形公式：a+b>l4ab；ab<>

【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求〃/都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当旦仅当。二8时取等号”.

（3）我们称为。力的算术平均数，称而为。力的几何平均数.

2

因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2、由公式/+/22ab和—之而引申出的常用结论

2

®—+—>2（a,0同号）；

ab

②2+@<一2（4〃异号）；

ab

>。力>°）或"彳彳yW>。力>。）

③71TM与w

--1--

ab

二、基本不等式竺痴的证明

2

1、法一：几何面积法

如图，在正方形ABC。中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为。、b,那么正方形的边长为4?+从

这样，4个直角三角形的面积的和是2c山，正方形A8CO的面积为/+/.

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：a2+b2>2ab.

当直角三角形变为等接直角三角形，即。=人时，正方形石尸G”缩为一个点,

这时有。2+/=2".

得到结论：如果a,/?6R+,a2+b2>2ab（当且仅当。=。时取等号"=”）

特别的，如果a>0,>0,我们用右、、份分别代替〃、b,可得：

如果。>0,分>0,则4+〃22疯，（当且仅当时取等号.

通常我们把上式写作：如果石V—,（当且仅当a=b时取等号“=”）

2

2、法二：代数法

a2+〃2-2ab=(a-b)2>0,

当。工。时，（4一。尸>0;

当。=〃时，33=0.

所以（〃2+6）之2",（当且仅当。=〃时取等号』“）.

三、基本不等式”22而的几何意义

2

如图，A3是圆的直径，点。是A5上的一点，AC=a,BC=b,

过点。作DC_LAB交圆于点D,连接A。、BD.

易证RfAACD〜RfADCB,那么C£>2=C4-C3,即CD=而.

这个圆的半径为巴心，它大于或等于CO,即空22疝，

22

其中当且仅当点C与圆心重合，即。=b时，等号成立.

四、利用基本不等式求最值

1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.

①一正：各项均为正数;

②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值;

③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.

2、积定和最小，和定积最大

（1）设x，y为正实数，若x+y=s（和s为定值），则当时，积冲有最大值，且这个值

与.

（2）设x,y为正实数，若孙=P（积p为定值），则当x=v时，和x+y有最小值，且这个值为

2g.

Q考点剖析1

------------------IlllllllUllllllllllllllllllillllllllllll----------------------

考点一：对基本不等式的理解

之4中，等号成立的条件是（)

A.。二4B.a=>/2C.a=-V2D.。=±夜

【答案】D

【解析】由基本不等式可知=4,当且仅当/=；

即a=±夜时等号成立，故选：D.

【变式训练】（多选）已知〃，h^R,旦">0,则下列不等式成立的是（）

a+br—ra2+b2「balaba+b

A.------>yjabB.ab<--------C.-+->2D.------<------

22aba+b2

【答案】BC

【解析】对于A,因为M>0,故当。<。,。<。时，不等式疝不成立，故A不正确；

对于B,因为曲>0,所以他《史恒成立，当且仅当〃=〃时;等号成立，故

2

B正确；

对于C,因为,力>0,所以f>0,2>0,则2匹?=2,

baab\ab

当且仅当。=。时，等号成立，故C正确；

对于D,因为/22",所以（〃+〃f之4",当。<0力<0时满足">0,但

a+b<0,

【答案】3+2庭

【解析】因为x+2y=l,

用=3+2®

所以(—+—)(x+2y)=3+——+—23+2,

当且仅当空=2,即％=夜-1,），=纪包时，等号成立，

xy2

所以'的最小值为3十20.

xy

考点四：利用基本不等式求积的最大值

［^2］例4.已知Ovxvl,则当M5-5x）取最大值时，x的值为（）

A.-B.；C.-D.—

4234

【答案】B

【解析】由OVXV1,可得1T>O,

则M5-5x）=5MI7）K5•:,

当且仅当x=l-工，即x=!时取等号，

所以工=:时，M5-5©取得最大值.故选：B.

【变式训练】若。>0,〃>0,且〃+%=6,则必的最大值为（）

【答案】D

【解析】因为。>0,/?>0,且。+/?=6,

所以。"《|<竺2'=9,当且仅当。=6=3时等号成立,

所以她的最大值为9.故选:D.

考点五：利用基本不等式证明不等式

「例5.已知a>0,Z?>0,且a+〃=1,求证：［1+—1+-J-29.

〜|例5.已知公

【答案】证明见解析

【解析】因为a>0,〃>0,a+b=l,

所以1?工1Y用i+1I卜1。,+,=a+)b、。“+丁a+b).=(2+久3小2+a了、)=_5+2了a+2公b

22呼5=9,

当且仅笠号，即ad；时等号成忆

故原题得证.

【变式训练】己知。>(),b>0,c>(),求证：—+—+—>a+b+c.

abc

【答案】证明见解析

【解析】>0,Z?>0,c>0,

bec(i.Ibeca.

—+—>2J----------2c

abVflb

当且仅当匕=?,即时，等号成立，

ab

同理：如+或乜叵血=2"空+或乜叵亘=2〃,

acNacbc\bc

当且仅当〃=J〃=c时，等号成立，

以上三式相加得：2（£+/+9）22（。+0+。），

当且当且仅当a=〃=c时，等号成立.，

”,、1becaah,

所以——+——+——>a+b+c.

abc

考点六：利用基本不等式解决实际问题

川6.用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为

【答案】25m2

【解析】设矩形场地的长为x米，则矩形的宽为10-x米，且0<xvl0,

所以矩形的面积为x（IO-司平方米，

因为0<x<l（）,所以4（10_工）4「+?—']=25,

当且仅当工=10-x即x=5时等号成立，

所以矩形的最大面积为25平方米.

故答案为：25平方米.

【变式训练】如图设矩形ABCD（AB>AD）的周长为40cm,把△ABC沿AC向翻

折成为△A£C,AE交DC于点、P.设44=xcm.

（1）若力求工的取值范围;

J

（2）设△AOP面积为S,求S的最大值及相应的x的值.

【答案】（1）(30-10V3,20)；(2)x=10x/2»300-200及cn?

【解析】（1）由矩形周长为40cm，可知AO=（20-x）cm,

设DP=flcm.则PC=(T-〃)cm,/AADP合△CEP./.AP=PC=(x-a)c.ni.

在RIAADP中，AD?+DP2=4尸，即(20—+"=(.r—。):得。=20-迎，

X

200I

由题意’20一下中‘*2-60»6。）<。,

解得30-10x/3<x<3()+l0>/3.

由得，10<xv20,A30-105/3<x<2(),

即A-的取值范围是（30-10仃,20）.

I1,(200A

(2)因为S=；ADOP=；(20—x)20—早，10<x<20.

N—\XJ

化简得S=300—10(x+—

Vx>0,AA-+—>2072,

x

当且仅当穴=也，即x=10忘时，（.V+—）min=20V2,

XX

黑状=300-200x/2cnr.

真题演练

L不等式（心为）+&N2成立的前提条件为（

)

A.x>2yB.x>2yC.x<2yD.x<2y

【答案】B

【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”,

即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数,

所以不等式（x-2），）+2成立的前提条件为x-2），>0,即x>2），.故选：B.

2.下列不等式中等号可以取到的是（)

A.+5+/JN22

,V+2+-J—22

V.r+5A-+2

|x|+3+—!—>2

C.x2H-->2D.

X1幻+3

【答案】C

【解析】对于A,因为标>。，所以尸.卷=2

当且仅当k二号，即入4故等号不成立，故A不符合;

对于B,因为f+2>0,所以f+2+2+222

当且仅当八2二力，即/一故等号不成立，故B不符合,

对于C,因为屋。，所以八卜2卜卜2,

当且仅当x）=&即片±1时取等号，故C符合;

对于D,因为|小3>0,所以W+3+虑22M+3）］*=2,

当且仅当|工|+3=点，即国=-2,故等号不成立，故D不符合.故选：C.

3.若正实数〃、b满足a+幼=1,则当而取最大值时，〃的值是（）

1I

AB.一D.-

-I4e38

【答案】A

【解析】因为正实数〃、。满足"4=1,则。+2心2阮，可得岫

O

a=2b1

当且仅当《时,即当〃=»=*'等号成立・故选：人.

4.已知正实数。力，则“2〃+8=4”是“向22”的（）

A.必耍不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件

【答案】D

【解析】根据基本不等式可得2a+〃=4之^2>y/2a-b,

可得"W2,所以充分性不成立；

若而22,可令。=2,〃=2满足c力22,此时2〃+。=6。4；

即必要性不成立；

所以“2〃+〃=4”是“岫32”的既不充分也不必要条件.故选：D

5.V+3的最小值等于（）

f+1

A.3B.-|C.2D.无最小值

【答案】A

【解析】因为/NO,则/+1之1,所以

当且仅当/+1==二，即/=],工=±1时取等号，

x~+1

4

所以f+的最小值等于3.故选：A

x~+1

6.已知4、〃为正实数，4=绊,2=2+!，6=疯，则（）

2Hab

A.G<H<AB.H<G<AC.G<A<HD.H<A<G

【答案】B

【解析】因为〃、b为正实数,所以A=叫之后=G.当且仅当。=〃时，等号成立,

l=-L+i>2^=-^,所以HW疝,当且仅当"="时’等号成立'

综上："WGWA.故选：B

7.（多选）下列命题中正确的是（）

A.对任意a,bGR,4+〃会2。〃、均成立

4后=4

B.若存0,贝1）。+—之2

a

C.若mb£R,则出£空包-

2

D.若。>0,b>0,且a+b=16,则a/£64

【答案】CD

【解析】对于A,当a>0,〃>0时，才能成立，A错误；

对于B,当。>0时才能使用基本不等式求最小值，B错误；

对于C,因为〃2+从N0,所以〃2+2皿+从之勿心，即（4上〃）一之处，C正确;

2

对于D,。>0,力:>0,所以必=64,D1E确.故选：CD.

8.（多选）已知正数X，），满足x+y=2,则下列选项正确的是（）

A.'+'的最小值是2B.町的最大值是1

xy

C.9+）3的最小值是4D.My+1）的最大值是2

【答案】AB

【解析】因为正数x，y满足x+y=2,

11

所…以i丁丁1如1/+月、—+—

U*y)

2」

当且仅当卜一丁，即x=），=l时，等号成立，

x+y=2

所以'的最小值是2,故A正确；

xy

因为正数x，y满足x+y=2,所以孙《亨）=（|）=1,

当且仅当x=y=i时，等号成立，等号成立，

所以外的最大值是1，故B正确；

由代平二£,得

当且仅当x=y=i时，等号成立，等号成立，

所以f+y2的最小值是2.故C错误；

/I、/x+y+］丫（2+］丫9

当且仅当［=即x=I，y=时，等号成立，

x+y=222

所以x（y+l）的最大值是彳9，故D错误；故选：AB.

4

9.（多选）若0<a<〃，且。+人=1,则在〃四个数中正确的是（)

A.a2+b2>labB.a<~C.begD.b>a2+b2

22

【答案】ABD

【解析】由于0<〃<力，Ka2+b2>2ab^

又4+/?=I,所以0<a<g</?<l,

Xa1+b2-b=^a+b'f-2ab-b=1-2ab-b=a-2ab=a(\-21))<0,&Pb>a24-/72.

故选：ABD

10.已知x>0,)，>0,2个，=x+4y+a.

(1)当a=16时,求冲的最小值；

21

(2)当。=0时，求*+丁+一+丁的最小值.

x2y

【答案】(1)16：(2)y

,

【解析】(1)当。=16时，2xy=x+4y+16>2yJx4y-^\6=4yfj^+\6,

即2.924而+16,即(而+2)(而-4)20,

所以而24,即封216,当且仅当x=4y=8时等号成立,

所以冲的最小值为16.

12

(2)当4=()时，2xv=x+4y,即丁+—=1,

2yx

所以

2172y入7cl2yx11

x+y+—+—=x+y+l=(x+y)2+_L+i=-+—+——>-+2p----=—

x2y2x2v2Vx2y2

当且仅当于书，即Z,遥时等号成立,

所以""/七的最小值为名

11.(1)已知〃>0,b>0,c>0.求讦：—+—+—^a+/?+c：

bca

(2)已知mb,c为不全相等的正实数，求证：a+b+c>4ab+4bc+\fca.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

2.22

【解析】⑴a~

~b

之2收"2g.e+2

=2(a+h+c)»

当且仅当。=b=c时等号成立,

2122

所以9-+二+/2°+力+C.

bca

(2)a+b+c=—(a+b)+—(b+c)+—(a+c)>4cib+\Jbc+\fca,

222

当且仅当a=〃=c时等号成立，

因为a,b,c为不全相等的正实数,

所以a+Z?+c>4ab+4bc+4ca.

12.近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的

可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节

并加班追产，为此，高邮玫府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供

Mxe（0,20］）（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，

产量将增加到，=*+3）（万件）.同时波司登制衣有限公司生产，（万件）产品需要投入成

本为⑺十：+3刈（万元）'并以每件（8+7元的价格将其生产的产品全部售出.注一：收

益:俏售金额+政府专项补贴一成本.

（1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万

元）的表达式；

（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y

（万元）最大？

Q1

【答案】（1）〉，-45一%——-；（2）6万元

x+3

(42A-r+x-7r+y+3x^=c81

【解析】(1)y=8+—，+42-2x---.

I1)

Q1Q1

因为，=(x+3),所以y=x+3+42-2x-----=45-x------

x+3x+3

Ol「QI-

(2)因为y=45-x-----=-(x+3)+------+48.

x+3Lx+3_

QI

又因为x«=(0,20],所以x+3>0,->0,

人IJ

所以(工+3)+/之2“x+3)x*=18(当且仅当1+3=*即1=6时取

所以），478+48=30

即当x=6万元时，j取最大值30万元.

可过关检测JI

，tlllllllllllUIIIIIMIIIIIMIIIBIMIIIUI

1.若a>b>0,则下列不等式成立的是（）

B.ci>"">4ah>b

A.〃>>>"+">4^

2

C.a>a+^>b>y/abD.a+^>a>\[cib>b

22

【答案】B

【解析】因为a>。>0、则等〉〃>o.

又空疯>正=力，所以土吆>而>/,.故选：B.

22

2.己知（）<x<3,则2M3-1）的最大值为（）

39

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】c

\29

-

【解析】2x(3-x)=2-^(3-.r)<22-

当且仅当x=3-x,即工=,时取等号.

所以2x（3-X）的最大值为£.故选：C

3.已知X>2,则工+一1的最小值是（）

x-2

A.3B.4C.5D.2

【答案】B

【解析】由于工>2,故x-2>0,所以x+」=x-2+」+222j（x-2）j-!7；］+2=4,

x-2x-2V\x-2）

当且仅当x-2=一1，即x=3时等号成立，故T+—=最小值为4,故选：B

x-2x-2

4.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用

为4%万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（）

A.20B.25C.28D.30

【答案】D

【解析】设一年的总运费勺总存储费用之和为y,显然.r>0,

Ijlljy=^.6+4A=—+4x>2/-.4x=240.当且仅当您=4工时取等号,

xxVxx

即x=3()时取等号，故选：D

5.已知〃>()/>(),且a+〃=4.则下列不等式恒成立的是()

A.a2+Z?2>8B.y/ab>2C.--—D.—"J"-<I

ab4ab

【答案】AC

【解析】当a=l，〃=3时，V^<2,-+y>l,所以BD选项错误.

ab

A,+从之回啰1=8，当且仅当。=6=2时，等号成立，A正确.

2

C,0<^<f—1=4,二之!，当且仅当。=8=2时，等号成立，C正确.故选:

[2)ab4

AC

6.(多选)设正建数〃z、〃满足〃什〃=2,则下列说法正确的是()

A.2+2的最小值为3B.〃?〃的最大值为1

mn

C.而+6的最小值为2D.机2+〃2的最小值为2

【答案】ABD

【解析】因为正实数〃八〃，所以2+2=2+竺士=巴+竺+1之2、叵》=2+1=3,

mnmnmnynin

当且仅当二='且〃计〃=2,即〃『〃=1时取等号，此时取得最小值3,A正确；

mn

由=1,当且仅当〃?=〃=1时，〃7“取得最大值I,B正确;

因为(〃?+«)?=m+n+lyfnui=2+2\fmn<2+/?/+;?=4,当且仅当m=n=1时取

等号，

故J/+6W2即最大值为2,C错误；

m2+ir=(/??+n)1—2mn=4-2mn>4-2x(m+Z)2=2,

2

当且仅当〃?=〃=1时取等号，此处取得最小值2,故D正确.故选：ABD

7.已知心/>c,则gb)(b-c)与肾的大小关系是

【答案】«a叫(…产审.

【解析］\'a>b>c,,\a-b>0,Z?-c>0,

，号=也竽3府标F

当且仅当=b—c,即2〃=a+c时取等号,

故答案为：Z，-b）（b_c）W巴

8.己知00,b>0,。+力=1,则（a+D（Hl）的最大道为

9

【答案】72.25

a+b>21

【解析】因为。>0,b>0,a+b=\,所以---.=—,

2)4

9

所以(a+l)(b+l)=aZ?+a+/?+l=ab+2sj,当且仅当〃=人=耳时取"="

9

故答案为：—.

4

9I

9.已知正数。，〃满足%+〃=1,则