探索勾股定理-2024浙教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

2.7探索勾股定理浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习

分数：120分；考试时间：120分钟；；命题人：

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，一个梯子A8长2米，顶端人靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.2米，梯子滑动后停

在。£的位置上，测得8。的长为0.4米，则梯子顶端A下滑了（）

A.0.4米B.0.5米C.0.6米D.0.7米

2.下列结论中，正确的有（）

①在中，已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5；

②△48C的三边长分别为力氏BC,AC,^BC2+AC2=AB2,则乙力二90。；

③在△48C中，若乙4：乙B：ZC=1：5：6,则△力BC是直角三角形；

④若三角形的三边长之比为3：4：5,则该三角形是直角三角形.

A.4•个B.3个C.2个D.1个

3.如图所示，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△的三个顶点

A,B,C都在格点上，G）是边AB上的中线，则CD的长为（）

A./5

B./6

4.如图，在团4BC中，48的垂直平分线交BC于点D,4c的垂直平分线交BC于点E,点M,N为垂足，若

BD=W，DE=2,EC=1,则4c的长为()

D.苧

5.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中

小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为由几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分

别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（）

A.65平方里B.60平方里C.325平方里D.30平方里

6.如图，每个小正方形的功长为1,4、B、。是小正方形的顶点,则乙4BC的度数为（）

B.60°C.45°D.30°

7.如图，在3x3的网格中，每一个小正方形的边长都是1,点4B,C,D都在格点上，连接AC,BD相交

于P.那么44PB的大小是（）

A.80°B.60°C.45cD.30c

BG=DH=3,连接GH,则线段GH的长为i：）

A.72B中C.2/2D.10-572

9.如图是用4个全等的直角三角形与r个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方

形面积为49,小正方形面积为4,若用％,y表示直角三角形的两直角边Q>y),下列

四个选项：(T)x2+y2=49：@x-y=2；③％+y=9；®2xy+4=49；其中正确

的是()

A.①②B.①@@C.①②④D.①②③④

10.如图，一束光线从点4(2,0)出发，经过y轴上的点B反射后经过点。(4,8),则光线从4点到C点经过的路

线长是()

11.如图，OA,OB,OC都是O。的半径，AC,08交于点D.若AD==4,OD=

3,则80的长为（）

A.2.5

B.2

C.1.5

D.1

12.如图，C是弱的中点，弦为8=8,CDLAB,且C。=2,则蓝所在圆的半径为

A.4B.5C.6D.10

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.已知a,b,c为团的三边，且满足Q2c2—川。2=Q4—/,则国48c为三角形.

BC

19.（本小题8分）

如图，等边I34BC内有一点P,分别连结4P,BP,CP.若力P=6,BP=8,CP=10.

⑴乙4P8的度数.

（2）求S1348P+S®BPC，

20.（本小题8分）

如图，在用力BC中，E点为4c的中点，其中80=1,DC=3,BC=/TO,ADV7,求DE的长.

21.（本小题8分）

如图，已知N4DC=90°,AD=8,CD=6,AB=26,BC=24.

A

(1)求证：团718c是直角三角形.

(2)求图中阴影部分的面积.

22.(本小题8分)

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，团48c的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题:

(1)画线段力。//BC且使40=BC,连结CD.

(2)线段4。的长为,CD的长为,4。的长为.

(3)目力C0为三角形.

23.(本小题8分)

如图，一张直角三角形的纸片FBC,两直角边4c=6cm,BC=8cm.现将直角边4C沿直线4D折叠，使它

落在斜边力B上，比4c与力E重合，求CD的长.

24.体小题8分)

如图，在等腰直角团力"中，AABC=90°,点P在AC上，将团力BP绕顶点B顺时针旋转90。后得到回CBQ.

⑴求乙P”的度数.

(2)当力8=腌，4P:PC=1:3时,求PQ的长.

(3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点4重合)，请直接写出P42,pc2,PB2之间的数量关系.

25.(本小题8分)

如图，回力CB与团ECD均为等腰直角三角形，^ACB=LECD=90°,。为48边上的一点.若AD=1,BD=

2.求。E的长.

答案和解析

1.【答案】A

【4铝斤】略

2.【答案】C

【解析】解：①RE△48c中，已知两边分别为3和4,则第三条边长为＞42+32=K=5或V4?-3?=

故结论①错误，不符合题意；

②△48C的三边长分别为4B,BC,AC,^BC2+AC2=AB2,则4C=90。，

故结论②错误，不符合题意；

③△4BC中，若乙4：乙B：Z.C=1：5：6,此时NC=-77X1800=90。，则这个三角形是一个直角三角

X।DIO

形，

故结论③正确，符合题意；

④若三角形的三边比为3：4：5,则设三边为3r,4r,5r,

v(3r)2+(4r)2=25r2=(5r)2,

.••该三角形是直角三角形，

故结论④正确，符合题意；

综上所述，结论正确的有③④，共2个，

故选：C.

根据勾股定理可得①中第三条边长为5或，7,根据勾股定理逆定理可得②中应该是4C=90。，根据三角

形内角和定理计算出NC=90。，可得③正确，再根据勾股定理逆定理可得④正确.

本题考查了三角形内角和性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定

理：如果三角形的三边长a,b,c满足Q2+/)2=C2,那么这个三角形就是直角三角形.

3.【答案】C

【解析】解：根据网格特点，由勾股定理得：AC2=12+22=5,5C2=22+42=20,AB2=32+42=

25,即4B=5,

AC2+BC2=AB2,

••.△ABC是直角三角形，且乙1CB=9O。，

•••CO是边上的中线，

：.CD=\AB=\,

故选：c.

先利用勾股定理及其逆定理判断△48。是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求

解即可.

本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，判断△4BC是直角三角形解答的关键.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是是添加辅助线构造直角三

角形.

根据线段垂直平分线的性质得出力D，4E当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用

勾股定理解答即可.

【解答】

解：连接力0,AE,

48的垂直平分线交8c于点。，的垂直平分线交BC于点E,

35

・•・AD=BD=芯AE=EC=今

-DE=2,

乂•；AD2+DE2=?+4=学=毋，

44

・••△/WE是直角三角形，£ADE=90°,

由勾股定理可得：AC=>JAD2+DC2=J(|)2+(2+%=写1

5.【答案】0

【解析】解：•••52+122=169,132=169,

.•.根据勾股定理，52+122=132,

二三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

.••这块沙田面积为：；x5x12=30(平方里).

综上所述，只有选项。正确，符合题意，

故选：D.

直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.

此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理，关键是勾股定理的熟练掌握.

6.【答案】C

【解析】根据勾股定理即可得到力氏BC,4C的长度，进行判断即可.

【详解】解：连接4C,如图：

根据勾股定理可以得到：AC=BC=x<5,=710.

v(/5)2+(V-5)2=(/10)2.

222

AAC+BC=AB.

••.△ABC是等腰直角三角形.

•••£ABC=45°.

故选C.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形，平行线的性质等知识点，能构造直角三角形是

是解此题的关键.

如图，过B作连接DM,根据勾股定理求出。M、BM、8D的平方，再根据勾股定理的逆定理和

等腰三角形的判定得出aOMB是等腰直角三角形，求出乙D8M=45。，再根据平行线的性质得出即可.

【解答】

解：如图，过8作8M〃4C,连接DM,

由勾股定理得：DM2=12+22=5,BM2=5,=32+I2=10,

•••DM=BM,DM2+BM2=BD2,

••.△DMB是等腰直角三角形，

•••,DBM=45°,

vAC//BM,

Z.APB=乙DBM=45°,

故选：C.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形

全等得出△GEH为等腰直角三角形是解题的关键.延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明△

CDH,进而证明8G0△8CE,可得GE=8E-8G=1,HE=CH-CE=1,LHEG=90S由勾股定

理可得GH的长.

【解答】

解：如图，延长BG交C”于点E,

在△486和4CDH中,

(AB=CD

\AG=CH,

SG=DH

:小ABG咨4CDH(SSS),

vAG24-BG2=25=AB2,

zl=z5,42=Z6,Z-AGB=Z.CHD=90°,

zl4-z2=90°,Z5+Z6=90S

又••・42+/3=90°,Z4+z5=90°,

•••zl=z.3=z.5»z.2=z.4=z.6；

在A/18G和△BCE中，

zl=z3

AB=BC，

z2=乙4

•.^ABG^^BCECASA),

.•.BE=AG=4,CE=BG=3,乙BEC=A.AGB=90°,

GE=BE-BG=4-3=1,

同理可得=CH-CE=1,

所以△GE”为等腰直角三角形，

在At△GE”中，GH=>/GE2+EH2=Vl2+l2=/I，

故选：A.

9.【答案】C

【解析】解：①MABC为直角三角形,

.•.根据勾股定理：x2+y2=AB2=49,

故本选项正确；

②由图可知，*-y=CE=「=2，

故本选项正确；

④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积,

列出等式为4xgxy+4=49,

即2xy4-4=49；故选项④正确.

③由2xy4-4=49可得2xy=45(1),

又••1x2+y2=49(2),

•••(1)+(2)得，x2+2xy+y2=49+45,

整理得，(x+y)2=94,

x+y=，而工9,故选项③错误；

・•・正确结论有①②④.

故选：C.

根据两个正方形的面积，分别表示出图中各条线段的长度，再利用勾股定理和完全平方公式等知识点综合

进行解答即可.

本题考查了勾股定理和完全平方公式，正确表示出图中各条线段的长度是解题的关键.

1().【答案】B

【解析】本题考查了点的坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，延长。8交汇轴于点E,过点C作CF

垂直”轴于点F,根据已知条件得到：4E/C=NBOE=NAOB=90°,zl=Z2,然后根据对顶角的性质得

到』2=43,再根据全等三角形的判定定理证明团/1B。三回EBO,从而得到8E=4B,0A=0E,再根据

点的坐标求出。F=8,。力=。£=2,。2=4,从而求出EF,然后根据勾股定理求出CC,从而求出答案即

可.

【详解】解：如图所示：延长。8交汇轴于点E,过点。作CF垂直无轴于点F.

vzl=Z3,

:.z2=z3,

在团力80和团E80中，

42=43

OB=0B,

4408=乙E0B

.'.^ABO=^EB0(ASA),

AB=BE,0A=0E.

•.•点4(2,0),C(4,8),C(0,0),

CF=8,OA=0E=2,OF=4,

­.EF=0E+OF=2+4=6.

在mEC尸中，由勾股定理，得C£2=£尸2十。尸2=62+82=100,即C£=10,

.•次线从4点到C点经过的路线长是48+BC=BE+BC=CE=10.

故选：B.

11.【答案】B

【解析】解：,・•。8是O。的半径，AC,OB交于点D,AD=CD=4,

BO1AC,

在/^△0力。中，由勾［投定理口［得0主=V4Z)'+0Dz=V4'+3Z=5,

•.BD=OB-OD=5-3=2.

故选:B.

根据垂径定理的推论得OB1AC,再根据勾股定理得OA=5,即可求出答案.

本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得。81AC是解题的关键.

12.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了垂径定理，勾股定理等内容，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，

学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.设弧所在圆的圆心为0,联结。B,设半径。8=

0C=R,0D=0C-CD=R-2,在中，利用勾股定理构建方程求解即可.

【解答】

解：是伞的中点，DCLAB,

：,AC=BC,OC经过圆心，

设弧48所在圆的圆心为0,

vAB=8^

AD=BD=4,

联结08,设半径OB=OC=R,0D=0C-CD=R-2,

•••OD1AB,

:.乙BDO=90°,

在RtAOBD中，OB?=BD2+0D?,

R2=42+(R-2)2,

解之得R=5.

则&所在圆的半径为5.

13.【答案】等腰或直角

【解析】略

14.【答案】＜6-72

【解析】略

15.【答案】18

【解析】略

16.【答案】4.8

1.6

【解析】在AtO/9。中，AB=7AC?+BC?=10.由题意知CEJL48,因为S^BC=•"C=去/〃•

CE,所以CE=瞽=g=4.8.在日AEC中，依据勾股定理得4E二V心一CE?=J62一管）“二,理翻

折的性质可知4ECD=；44以），乙DCF="CB,且NAC8=90°,所以4ECF=45°.因为CE1.4。，所以

CE=EF=F，所以8F=AB-AE-EF=10-^-^=l=1.6.

DOOO

17.【答案】解：因为4c=10m,BC=12m,AC1BCtCDLAB,

所以48=丹心+B\2=V102-122=V^44(m).

4cBe_10x12

所以CD=AB=xf244x7.7(m).

所以A。=VAC2—CD2«6.4m.

答：立柱。。的长约为7.77m点。在距点4约6.4m处.

【解析】见答案

18.【答案】84

【解析】略

19.【答案】【小题1】

解：如图，以BP为边作乙PBP'=60°,

且BP=BP',连结P'P,.也8火'是等边二角形.

•••国48。是等边三角形，，=BC,^LABC=60°.

又.•乙PBP'=60°,•••Z-ABC-乙PBC=乙PBP'-4PBC.即zABP=乙CBP'.

.••图48P三团CBP'(SAS)..••4P=CP'=6,乙APB=LCP'B.

vPPr=BP=8,P'C=6,PC=10,PP'2+p'C2=PC2,

:.乙PP'C=90%乙CP'B=60°+90°=150°,:.乙4PB=150°.

【小题2】

作;77,8。'于点月，:回8。尸'是等边三角形，:8，=：8。'=4,

2222

:.PH=y/BP-BH=V8-4=4/3,:.SaBPPl=16/3,

1673+24.

•：PP'=8>P'C=6，SQPP，C=24»AS®ABP+S(38PC=^QBPP/+^QPPFC~

【解析11.略

2.略

20.【答案】解：vBD=1,DC=3,=

BD2+CD2=BC?,

.•.目8。0是直角三角形且NBDC=90°,

."ADC=90°,AAC=y/AD2+DC2=4,

又"E点为力。的中点，，DE=^=2.

【月豺斤】略

21.【答案】【小题1】

证明：•••在Rt图力OC中，Z-ADC=90°,AO=8,CD=6,

・••AC2=AD2+CD2=82+62=100,:.AC=10(取正值).

在自ABC中，vAC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,

力。2+8。2=482,.•.