思维提升：孙子定理-小升初数学思维拓展数论问题专项训练

专题12-孙子定理

小升初数学思维拓展数论问题专项训练

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

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知拥梳理

1、孙子定理的含义：也叫中国剩余定理.《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，

不知其数，三三数之剩二,五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被

五除余三，被七除余二的最小整数.这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵.其正确解法叫

做孙子剩余定理.

2、中国剩余定理的结论：

令任意固定整数为M,当M/A余a,M/B余b,M/C余c,M/D余d,…，M/Z余z时，这里的

A,B,C,D,•••,Z为除数，除数为任意自然数（如果为。，没有任何意义，如果为1,在

孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时：余数a,b,c,d,z为自然

整数时.

I

当观褊，]

【典例一】某小学的六年级有一百多名学生.若按三人一行排队，则多出一人：若按五人一

行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人.该年级的人数是（）。

【分析】此题属于孙子定理，义叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总

数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分

部求解.

【解答】解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多

1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、•••

其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数

同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2,所以总人数的最后

一位数字应该是2或7

最终符合题意的是127.

答：该年级的人数是127.

故答案为：127.

【点评】此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然

后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键.

【典例二】甲、乙、丙三数分别是603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得

余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A是多少？

【分析】丙数扩大4倍，乙数扩大2倍，那么甲、乙、丙三数余数就相同了，即939x2=1878,

393x4=1572,然后两两相减求出三个差，再求出三个差的不小于4的公园数即可.

【解答】解:根据分析可得,

939x2=1878

393x4=1572

1878-1572=306

1878-603=1275

1572-603=969

306=2x3x3x17

1275=3x5x5x17

969=3x19x17

所以，入的值为17或3x17=51

经脸证，只有17符合题意.

答：A是17.

【点评】本题考查了剩余定理的灵活应用，关键是统一余数，然后根据因数与倍数的关系解

答即可.

【典例三】求满足除以7余5,除以8余4,除以9余3的最小自然数？满足条件的从小到

大第二个数是多少？

【分析】除以7余5的数最小是7+5=12,12+8=1…4,12+9=1…3,正好符合要求，

然后加上7、8、9的最小公倍数，找到符合要求的第二个数即可.

【解答】解：除以7余5的数最小是7+5=12

12+8=1…4

12+9=1...3

所以，满足除以7余5,除以8余4,除以，余3的最小自然数12.

7、8、9的最小公倍数是：7x8x9=504

12+504=516

答：满足除以7余5,除以8余4,除以9余3的最小自然数12;满足条件的从小到大第二

个数是516.

【点评】本题考查了孙子定理，本题是求出符合要求的最小自然数.

专项制称

一.填空题

1.篮子里有鸡蛋若干个，每次取出3个，最后剩1个；每次取5个，最后剩下3个；每次

取7个，最后剩下5个，则篮子里最少有个鸡蛋.

2.一个数被3除余2,被4除余3,被5除余4,符合这个条件的500以内的最大数是.

3.有一些气球，不到20个，平均分给3个小朋友或5个小朋友，都剩下2个，想一想，有

个气球。

4.在小于1000的数中，被5除余4、被3除余2的最大奇数是o

5.将618,516,448被某一数整除所得的余数相同（不能为0）,这个数最大是,余

数是—.

6.有个三位数，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5

就能被3整除.这样的三位数最大是,最小是.

7.一个自然数了除以7余5,除以11余1,除以9余3,这个数最小是.

8.一个数被3除余2,被4除余2,被5除余4,符合条件的500以内的最大数是.

9.一个自然数除以3余2,除以5余4,除以7余6,这个自然数最小是.

10.有一筐苹果，每次从中取出3个，最后筐内还剩2个，每次从中取出5个，最后还剩3

个，每次从中取出7个，最后还剩2个.这筐苹果至少有个.

11.自然数390,369,425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2014被这个自然

数除的余数是.

二.解答题

12.你知道吗？

《孙子算经》记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问

物几何？”它的意思是：有一些物品,如果3个3个地数，最后剩2个：如果5个5个地数.

个地数，最后剩3个：如果7个7个地数，最后剩2个：这些物品至少有多少个？这个问题

人们通常把它叫做“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理“你知道怎么解答这

个问题吗？

18.一个三位数加5能被3整除，加2能被5整除，加1能被7整除，这个三位数最大是多

少

19.一个自然数在1000和1200之间,且被3除余1,被5除余2.被7除余3,求符合条

件的数.

20.一个数用3除余1,用4除余2,用5除余3,这个数最小是多少？

参考答案

一.填空题

1.【分析】根据题意得出此题要求的数是能够被3、5、7整除还少2的数，由此求出3、5、

7的最小公倍数再减去2即可.

【解答】解：因为3、5和7的最小公倍数是3x5x7=105,

所以篮子里的鸡蛋最少有：105-2=103（个），

答：篮子里最少有103个鸡蛋；

故答案为：103.

【点评】本题主要考查了利用求最小公倍数的方法解决生活中的实际问题.

2.【分析】根据“一个数被3除余2,被4除余3,被5除余4”，可知这个自然数是比3、

4和5的公倍数少1的数，进而先求出3、4和5的最小公倍数，再求出符合这个条件的500

以内,最大公信致.然后再减去1即可.

【解答】解：3、4和5的最小公倍数是：3x4x5=60

500+60=8…20

60x8-1=479

答：符合这个条件的500以内的最大数是479.

故答案为：479.

【点评】解决此题关键是理解把这个数增加1,所得数就正好祓3、4和5整除；从而得出

该数是比3、4和5的公倍数少1的数.

3.【答案】17。

【分析】根据题意，求出3和5的最小公倍数，3和5互质，其最小公倍数是它们的乘积，

即15,然后加上2就是气球的个数。

【解答】解：3和5的最小公倍数是：3x5=15,

15+2-17（个）

答：有17个气球。

故答案为：17。

【点评】解答本题的关键是求出3和5的最小公倍数。

4.【答案】989

【分析】被5除余4、被3除余2,那么这个数加上1就是［5x3）的倍数，先用1000除以（5x3）

求出商，然后结合商与这个数是奇数解答即可。

【解答】解:1000+(5x3)=66....10

66x15=990

990-1=989

答：被5除余4、被3除余2的最大奇数是989。

故答案为：989o

【点评】本题考查了余数问题和倍数问题，关键是明确这个数加上1就是15的倍数。

5.

【分析】根据同余定理，618,516,448这三个数两两的差都是这个整数的倍数，这个整数

为这三个差的因数；然后把这三个差分解质因数，即可找出这个整数，进一步求出余数.

【解答】角机618-516=102=2x3x17

516-448=68=2x2x17

618-448=170=2x5x17

所以这个整数为三个差的最大公因数：2x17=34

448+34=13...6

所以余数是6;

答：这个数最大是34；余数是6.

故答案为：34：6.

【点评】本题解答的依据是同余定理之一：a、人对于模〃同余的充要条件是：a8b的基

能被〃整除.

6.

【分析】首先根据题意，可得这个数除以5余4,除以2余1,除以3余1：然后根据这个

数除以5余4,可得这个数个位上的数字为4或9,再根据这个数除以2余1,可得这个数

个位上的数字只能是9,所以满足的三位数为：109、119、129、139、…、969、979、989、

999；醺后根据这个数除以3余1,求出这样的三■位数最大、最小各是多少即可.

【解答】解：据题意，可得这个数除以5余4,除以2余1,除以3余1;

因为这个数除以5余4,

所以这个数个位上的数字为4或9,

又因为这个数除以2余1,

所以这个数个位上的数字只能是9,

所以满足的三位数为：109、119、129、139、…、969、9/9、989、999：

因为这个数除以3余1,

所以满足的数为：109、139、169..........979,

所以这样的三位数最大是979,最小是109.

答：这样的三位数最大是979,最小是109.

故答案为：979、109.

【点评】此题主要考查了中国剩余定理，考查了分析推理能力，要熟练掌握，解答此题的关

键是要明确是2、3、5的倍数的特征.

7.【分析】一个自然数了除以7余5,那么符合这一条件的最小的自然数是1x7+5=12,

然后再验证是否符合后两个条件，据此解答即可.

【解答】解：符合“除以7余5”的最小的自然数是1x7+5=12,

12+11=1…1,符合要求，

12+9=1…3,符合要求,

所以，这个数最小是12.

故答案为：12.

【点评】本题考查了简单的孙子定理问题，也可分别列举出符合每个条件的数，然后找到最

小的共同的数即可.

8.【分析】被5除余4,个位上的数是4或9,被4除余2,说明这个数是偶数，所以这个

数的个位一定是＞1,符合条件的500以内的最大数百位一定是4,3的倍数中492+2=494符

合题意，所以这个数是494.

【解答】解：被5除余4,个位上的数是4或9,

被4除余2,说明这个数是偶数，所以这个数的个位一定是4,

籽合条件的500以内的最大数百位一定是4,

被3除余2,个位减去2就是2,这个数就能被3整除，2+4=6,十位上能填0、3、6、9,

9醺大，所以这个数是494.

故答案为:494.

【点评】解答此题的关键是根据题意确定个位数，也可以根据3和4的最小公倍数来求解.

9.【分析】一个自然数除以3余2,除以5余4,除以7余6,这个自然数就是比3、5、7

的最小公倍数少1的数.据此解答.

【解答】解：3、5和7的最小公倍数=3x5x7=105

1U5-1=1O4

答：这个自然数最小是104.

故答案为：104.

【点评】本题的重点是观察余下的数再添上1都能被3、5、7整除，所以这个数是比3、5、

7的最小公倍数少1.

10.

【分析】先找到除以7余2的数；再在这些数中得到除以3余2的数；再在这些数中得到除

以5余3的最小正整数.

【解答】解：除以7余2的数是：9,16,23,30,37,44,51,58,65...:

其中除以3余2的数有：23,44,65...;

其中除以5余3的数有：23.

所以23是符合题意的最小正整数.

答：这筐苹果至少有23个.

故答案为：23.

【点评】考查了求一个数的公倍数的方法，本题依次筛选即可得到所求的结果.

11.

【分析】可设390=x+a（a是余数），369=y+〃，425=z+a,x,y,z能被这个自然

数整除，两两相减之后，比如390-369=工-），能被这个自然数整除，所以得到这个结论：

这个数能同时能卷除它们的差，然后求出公约数即可解客.

【解答】解：390-369=21=3x7

425-369=56=7x8

425-390=35=5x7

21,56,35能同时被这个数整除，

21,56,35大于1的公约数为7,

2014-5-7=287...5

答：2014被这个自然数除的余数是5.

故答案为：5.

【点评】本题主要考查了公约数的概念，通过同余得出它们的差能够被这个自然数整除是解

答本题的关键.

二.解答题

12.【答案】23。

【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍

数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2,然后除以5,看看余数是否是3解答即

可。

【解答】解：因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：3x7=21

21+2=23（个）

23+5=4……3,符合题意。

答：这些物品至少有23个。

【点评】此题解答关键是理解最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。

13.

【分析】根据题意，先求6、11的公倍数，求出其公倍数再减去1,再找到这些数中列成五

队余一人，列成七队余四人即可.

【解答】解：6x1I=66

66x1-1=65,65列成五队没有余数,不合题意；

66x2-1=131,131列成七队余五人,不合题意;

66x3-1=197,197列成五队余二人,不合题意;

66x4-1=263,263列成五队余三人,不合题意;

66x5-1=329,329列成五队余四人,不合题意:

66x6-1=395,395列成五队余三人,不合题,意；

66x7—1=461,461列成七队余六人,不合题意:

66x8-1=527,527列成五队余二人,不合题意;

66x9-1=593,593列成五队余三人,不合题意;

66x10-1=659,659列成五队余四人，不合题意;

66x11-1=725,725列成五队没有余数，不合题意;

66x12-1=791,791列成七队没有余数，不合题意：

66x17-1=1121,1121列成七队余一人，不合题意;

66x22-1=1451,1451列成七队余二人，不合题意;

66x27-1=1781,1781列成七队余三人，不合题意；

66x32-1=2111,2111列成五队余一人，列成七队余四人，符合题意.

答：韩信最少有2111卫兵.

【点评】此题考查的是带余数的除法，根据题意得出“士兵人数+1”是6、11的公倍数是

解答此题的关键.

14.

【分析】根据中国剩余定理的方法分别求出3和13,3和19,13和19的最小公倍数，然后

再用两两的最小公倍数去除以另一个数，把余数调整为与原数同余，则再把得到的三个数相

加，去掉3、13、19的公倍数即是这堆棍子的最少数，据此解答.

【解答】解：3和13的最小公倍数是：3x13=39,394-19=2...1,余数扩大5倍，则3和

13的最小公倍数也扩大5倍是39x5=195;195+19=10…5,符合要求：

同理,3和19的最小公倍数是：3x19=57.57+13=4…5,余数扩大11倍，则3和19

的最小公倍数也扩大11倍是57x11=627;627+13=48…3,符合要求；

同理，13和19的最小公倍数是：13x19=247,247-3=82...1,余数犷大2倍，则13和

19的最小公倍数也犷大2倍是247x2=494;494+3=164…2,符合要求；

195+627+494=1316,

3、13和19的最小公倍数是：3x13x19=741,

1316-741=575,

575<741,

所以：被3除余2,被13除余3,被19除余5的数最小为575,

所以，这堆棋子最少575个：

答：这堆棋子最少575个.

【点评】本题考查了剩余定理，关键先求两两的最小公倍数，难点是调整最小公倍数使之成

为符合余数为2、3、5的数：中国剌余定理的方法是“死的”，关犍是把“死的”方法灵活

巧妙地运用.

15.【分析】吗个数字依次是保险柜的编号除以2,3,5,7所得的余数，编号是1233,就

找出除以2余数1,除以3余数是2,除以5余数是3,除以7余数是3的数即可.

【解答】解：设这个数是x,x是除以2余数1,除以3余数是2,除以5余数是3,除以7

余数是3的数.

如果x减少3,则同时被2、5、7整除，井且被3除余2;

2x5x7=70:

70+3=23…1,

余数是1,那么

70x2+3余数就是2；

所以符合条件的最小的一个数是：70x2+3=143;

在1〜200范围内，只有143一个符合要求.

答：这个钥匙是143号保险箱的钥匙.

【点评】根据这个数除以2,3,5,7的余数是1233进行求解，先找出能同时被其中的2、

5、7三个数整除的数，由此时余数是2进行推算.

16.【分析】用逐步增加条件的方法，找到同时满足被3除余2,被5除余2的最小数，然

后不断加上3、5的最小公倍数15,找到同时满足前三个条件的最小数：接下来不断加上3、

5、7的最小公倍数105,找到同时满足前四个条件的最小数.恰好同时满足最后一个条件.

即是所求的数.

【解答】解：同时满足被3除余2,被5除余2的数，最小是3x5+2=17;

然后不断加上3、5的最小公倍数15,始终满足前两个条件，可以找到17+15x2=47,同

时满足前三个条件：

接下来不断加上3、5、7的最小公倍数105,可始终满足前三个条件，从而找到

47+105x2=257,同时满足前四个条件，，吩好同时满足最后一个条件；

所以，满足条件的最小自然数是257.

【点评】此题考查了带余除法，本题用逐步增加条件的方法依次找到满足条件的自然敷，从

而最后求解.

17.【答案】23。

【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍

数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2,然后除以5,看看余数是舌足3解答印

可。

【解答】解：因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：3x7=21,

21+2=23（个）

23+5=4……3,符合题意，

答：这些物品至少有23个。

【点评】此题解答关键是理解最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的方法。

18.

【分析】一个三位数加5能被3整除，加2能被5整除，加1能被7整除，即这个数被3

n=

除余1,被5除余3,被7除余6,则《〃=3(〃地45),然后根据孙子定理解答即可.

n=6(mod7)

【解答】解：设这个数是〃，根据题意可得，

n=1(mod3)

-n=3(modS)

n=6Q〃od7)

(