天津市五区县重点校2024-2025学年高一年级下册4月期中联考数学试题（含答案解析）

天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期4月期中联考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设i为虚数单位，若Z|：l+百）=2i,则岗=（）

A.1B.72C.2D.272

2.在VA8C中，4力是角AB的对边，a=2,b=遍,A=45,则角3的值为（）

A.60°B.150C.30°或150D.60。或120

3.设品了£〃向量〃=（.%1）力=（1,），）,。=（2,-4）,且aJ_c,b〃c,则1+）'=（）

A.0B.IC.2D.3

4.一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的等腰梯

形，则该四边形原来的面积为（）

&+1

5.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（）倍

A.9B.27C.81D.729

6.已知甲船位于灯塔A的北偏东70方向，且与A相距3海里，乙船位于灯塔A的北偏西50

方向，若两船相距M海里，则乙船与灯塔A之间的距离为（）

A.2GB.2C.73D.5

7.若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为正，则此正

3

四棱柱的体积是（）

A,随□r8>/3n

882727

8.四边形A3c。是边长为1的正方形，延长。。至E,使得CO=OE，若点尸为线段AE上

的动点，则尸的最小值为（）

37

A.-B.1C.-D.2

88

9.在VAAC中，分别是角A,5,C•的对边，下列四个命题中正确的个数为（）

①若/xx）sC+eosB=8，则VA4C是等腰三角形；

②若位osA=AosB,则VABC是等腰三角形；

③若/+/—。2>0,则VA8C一定是锐角三角形：

④在VA4c中，A=p«=>/6,若VA4c有一个解，则〃的取值范围是〃=2&或（）<〃<«.

A.IB.2C.3D.4

二、填空题

10.i是虚数单位，复数汽的虚部为.

11.己知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若

该四棱锥的体积为则它的表面积为________.

6

12.已知闷="忖=1，,同=2,若〃十助与“+2》的夹角为锐角，则实数次的取值范围

是.

13.如图，在正方体ABCD-ABCR中，用是棱4/9上的点，且AM=；A8,尸是棱4%上

的点，且“>=：例.延长Q4"P,CM,三条直线交于G,平面MCRP将此正方体分为两

部分，设两部分体积分别为匕和匕化〈匕），则*的值为.

14.在VWAC中,48=2.4C=3且|3/IA8+2(1—/l)AC|的最小值为3,则NMC=

若点E、F分别为线段AB与线段AC上的动点，且线段跖交中线AO于G「AEF的面积为

V人面积的一半，则AG-EZ7的取值范围是

三、解答题

15.若复数z=(〃/+6-6)+(m2—〃?-2)i(/HGR,i是虚数单位).

试卷第2页，共4页

(1)若Z是纯虚数，求〃?的值；

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求机的取值范围.

16.已知VA3C的内角A氏。所对的边分别为砥权c,a=2百口=3,且满足

b-asin^-sinC

=~,

csin/A+sinn

(I)求角A的值；

⑵求对24+胃的值.

—2—

17.如图，在VA8C中，AO=gA8,点E为4c中点，点尸为8c上的三等分点，且靠近

点C,设CA=a,C8=〃.

(2)若NAC8=60,AC=2,且C£>_L所,

①求8C的长；

②求C。在方向上的投影向量(结果用〃表示).

18.如图，已知正三棱柱人8。一人出6的体积为4"，点E”分别为棱4C与八4的中点.

(1)若V48C边长为2,求三棱柱48C-A同G的高;

(2)求三棱锥C-4£尸的体积；

(3)若球。与三棱柱A8C-A4G的各棱均相切，求球。的表面积.

《天津市五区县重点校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题》参考答案

题号123456789

答案ADAABBCBA

1.A

【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求得.

2i2i(l—后)£!.

［详解］--I-；-7---尸”----尸、~—»

1+V31(l+V3i)(l-V3i)22

所以忖r图+出=L

故选：A.

2.D

【分析】利用正弦定理计算，结合三角形内角范围即可得解.

【详解】在VA3C中，a=2,b=®A=45,

2=巫8

由正弦定理得加ZinB，则sin8=二，

—2

2

因()<8<180。，则8的值为60。或120。.

故选：D.

3.A

【分析】根据aJ.C的垂直关系，可求出汇=2；根据力〃c的平行关系，可求出2,进

而求出工+y的值.

【详解】因为£_LC,所以2x—4=0

因为Z?//c，所以~4-2)，=0

fx=2

所以《,所以x+y=。

故选：A.

4.A

【分析】利用已知条件求出直观图的面积，再利用S原=2aS直即可求解.

【详解】

答案第1页，共13页

D'C

如图，根据题意知，A'=45。，A,iy=CD,=\,

所以等腰梯形的高力=AO'sin45。=—,下底的长为1+2A'£=1+2x1xcos45°=1+6，

2

所以等腰梯形的面积为Sft-ly（l4-l+V2）x^-笥色

所以该四边形原来的面积为S原=2拒5「（=2&xL^g=2+>/L

故选:A.

5.B

【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比

的立方.

【详解】设扩大前后球半径分别为44，

4m.2I（rfr

由表面积之比为普=冬=二=9,得，=3,

4%26⑴「2

43X

一叫3（V

则体积之比为—=3=上=下=27.

料，G⑴

故选：B.

6.B

【分析】由图结合余弦定理可得答案.

【详解】设甲船位于点8处，乙船位于点C处，

则由题意可得，48=3,BC=M，ZC4B=500+70°=120°,

则由氽弦定理可得：BC'=AC'+AB'-2ACABcosziCAB

即19=AC2+9+3AC,即（4C+5）（AC—2）=0,得AC=2,

故乙船与灯塔A之间的距离为2海里.

故选：B.

答案第2页，共13页

NA

WE

7.C

【分析】求出圆锥的底面半径与高，设棱柱的底面对角线长的一半为X，而为人根据比例

式得出x,力的关系，可求工的值，根据柱体的体积公式可得答案.

【详解】设圆锥底面半径为「，因为母线长为/=2,

则半圆弧长=兀/=2兀=底面周长:271r，

所以r=1,圆锥的面为20=亚二产=6

如图，设O'3=x,则石4=&X，设<%>'=介，则尸0'=6一〃，

因为翳嘿

.xy/3-h.h

■.—=—,=—=1—尸>

1673

所以〃=>/3(1—x)=>

**«-V=,vh=2x±x3=述,

9327

故选：C.

【分析】以点A为坐标原点，AB.AD所在直线分别为x、V轴建立平面直角坐标系，设

点尸(X,T),其中-IWXWO,利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质求

答案第3页，共13页

得户的最小值.

【详解】以点A为坐标原点，48、A。所在直线分别为工、>轴建立如下图所示的平面直

角坐标系，

则A(0,0)、8(1,0)、设点尸(%,r),其中TWxWO,

所以，BF=(x-\-x)tCF=(x-l,-x-l),

所以，BFCF=(x-\)2-x(-x-1)=lx1

因为函数y=2卜-;j+g在区间卜I,。］上单调递减，

当x=0时，BFCP取最小值1.

故选：B.

9.A

【分析】先给出射影定理庆osC+eos8=〃，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式证明,

最后结合Z>cosC+ccos8=b判断①，举反例判断②，③,④即可.

【详解】对于①，首先，我们给出射影定理AosC+ccoW=。，

若证bcosC+ccosB=a,则证sinBcosC+sinCcosB=sinA即可，

即证sin(8+C)=sinA即可，

而在VA8C中，sin(8+C)=sinA成立，即射影定理得证，

因为ZJCOSC+ccosB=b,bcosC+ccosB=a,所以a=Z?,

则VA8C是等腰三角形，故①正确，

对于②，当从二^,8=2,〃=6，匕=3时，

63

满足acosA=AcsB,山勾股定理得c-2石，

答案第4页，共13页

但此时VABC不是等腰三角形，故②错误，

对于③，令a=3,〃=5,c=4,满足L+〃-c?＞0,

由勾股定理逆定理得"+。2=从，此时8=5，

此时VAKC不是锐角三角形，故③错误，

对于④，当〃=卡时，因为A=：〃=C，所以VA3C是等边三角形,

则A=B=C=?a=b=c=R,此时满足VA8C有一个解，

即则。的取值范围不可能是方=2&或0＜力＜"，故④错误，

综上，下列四个命题中正确的个数为1个，故A正确.

故选：A

10.-

2

【分析】利用复数除法运算和虚部定义可直接求得结果.

【详解】•辛=霜僵二号4+寺「•言的虚部％

1-1222

3

故答案为：

11.3

【分析】根据体积可求出四棱锥的高，可由此求出棱长，即可求出表面积.

【详解】如图，设底面中心为。,

则％.ABm=；xlxlxP°二可得尸°=当，

因为底面为正方形，贝1」从。=

则人244的边4A边上的高为

则该四棱锥的表面积为lx】+4xgxlxl=3.

故答案为：3.

答案第5页，共13页

p

AB

12.且义工2

【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可.

【详解】因同=有帆=中一,=2,

由,一/，=(a——2〃•/?=3+1—2〃•/?=4,解得a/=0，

若〃+/〃与〃+%的夹角为锐角，

贝lJ(a+/l〃)(a+2〃)>(),且“+力力与”+2〃不共线，

由同2+24忖2+(2+2)〃.〃>0,即3+24>0,解得2>-|,

由a+/ib与〃+2)不共线，可得义工2,

a

故实数％的取值范围为久>-5且/1。2.

故答案为：且丸工2.

13.兄

41

【分析】设正方体的棱长为3,求出正方体的体积、台体。AM-〃QC体积，得到剩余部分

的体积，即可求出答案.

【详解】连接A8,设正方体44co-A4GA的棱长为3,则正方体的体积

匕1d=3"=27,

由AP=；A4得尸M〃46,又〃D、C,所以

而0AD、P,CM的延长线交于G,所以P4M-ROC为三棱台，

)=：］+医+"、3=畀匕

VpAMfDC=§力(SPAM+\jS•S*.+SD{)iC

cr1341-M_13

匕=27-万=万，，所以％=

答案第6页，共13页

【分析】①令AP=3/UB+2（1-4）AC,4M=3A氏AN=24C,MN的中点为Q,则

AQ=\AP\=3,求得NMAQ=3,即可得NA4C②利用平面向量的共线定理结合基底表

I1mm3

示数量积，转化为函数求最值即可.

【详解】①令AP=34A8+2（1-4）4C,AM=3A8,AN=2AC,

则AP=4AM+(1—2)AN,

即AP-AN=A[AM-AN),

所以NP=/INM，即点。在直线MN上.

设MN的中点为Q,因为A〃=4V=6,所以AQ_LMN

因为AQ=|Q|=3,cosZMAQ=-^-=~,：.ZMAQ=-

IminAM23

所以ABAC=2ZMAQ=y

AG-/JAD

②设•AE=mAB,由向量共线的充要条件不妨设AG=.iAE+F4-x+)，=lb

AF=nAC

则AG=xAE+yAF=xmAB+ynAC,

又4G=〃AO=/(A8+AC)=348+/AC

则xm=yn=—即—+—=1,

2f2m2n

答案第7页，共13页

—xsin1200ME-AF..

乂的面积为VA3C面积的一半,得-f-------------------二5<=-

-xsin!20°22

2

所以合+〃-1,〃=玛.

由①得z4fi-4C=2x3cosy=-3

/.AGEF=AB+AC)(〃AC—〃nAB-AC-mABAC-mAB+nAC

3-m217

2/H2+1--2+4W2+2

172H

------；----€，-

24"+236

所以AGE/仁之与.

36

15.(1)-3

⑵（-3,-1）

【分析】（1）由纯虚数的定义建立方程，求解即可;

（2）由第二象限的点的特征建立不等式组，求解即可.

2

【详解】⑴解：因为Z是纯虚数,所以，二二2：。,解得〃I，

所以〃?的值为-3；

（2）解：因为z在复平面内对应的点在第二象限，

所以解得-3V-

nr-/K-2>0

所以，〃的取值范围为（-3,-1）.

16.（1）A=1

⑵

16

【分析】（D先由正弦定理边角转化结合余弦定理计算求解;

答案第8页，共13页

（2）先应用二倍角公式结合两角和差正弦公式计算求解.

【详解】（1）因为生工_sinB-sinC

sin4+sin^

由正弦定理可得生工=二,

ca+b

整理得从+。2一/=火，

be1

由余弦定理可得cosA=W"=---=—,

2bc2bc2

且Ae（O,兀），所以A=g.

ba32G..._3

—.sinDo=一

（2）由正弦定理知sin8si114sinBG4,

T

又人<a,二B<A,cosB=—,

4

•i•aai3"3币

sin28=zsinocoso=2x—x--=----»

448

cos28=2cos?B-l=-1=-^

•—c兀3>/7>/3i13V21-1

/.sin2B+—=sin2Bcos—+cos2^sin-=---x------x—=-------

\6J66828216

I-I-32-

17.（1）EF=-b一一a,CD=-a+-b

3255

（2）①8c=3；②？

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得;

（2）①由可得CDEF=0,根据数最积的运算律计算可得；②根据。。在C8方

CDCBCB

向上的投影向量为下一向计算可得.

【详解】（1）因为人。=：人8,点E为AC中点，点尸为BC上的三等分点，且靠近点C,

同〒以E尸=C/一CE=1CB—』CA=1匕一」a,

3232

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（CB-CA]=-CA+-CB=-a+-b.

55、75555

（2）①因为C£>_LE/,所以CDE产=（，+%'.3j）二°，

所以箭一/2=o,由同=2,可得忖=3（负值已舍去），即8c=3；

答案第9页，共13页

(32、

-a+-bb

②。。在C8方向上的投影向量为CDCB=CDb〃=_^—b

\CB\\CB\\bf

&"+||引-x2x3xl+-x9

525-3一

-------------0-b=-b,

~9~5

18.(1)4。

⑵当

(3)争

【分析】（1）根据三棱柱的体积公式求解;

（2）利用等体积法％T£F=%TCE，进行求解;

（3）设正三棱柱ABC-A4G的底面边长为a,高为。，上底面中心为。|,下底面中心为G,

连接QG,则球0的球心。在00的中点上，根据球。与三棱柱ABC-AAG的各棱均相切,

求得a=b=2&，可求解.

【详解】（1）设VA3C的高为力，

SABC=gx6x2=6,

kVABL=坐=4®；

S,ABC6

（2）VJAEF=匕-ACE=§,S.ACE.人尸

=；,：SA8c,:朋=5匕仆诏I=5'4指=乎；

。乙乙1乙D

（3）设正三棱柱ABC-A£G的底面边长为〃，高为力，上底面中心为。］，下底面中心为G,

连接。。,则球。的球心。在。。的中点上,

G

答案第10页，共13页

球。切棱AA于尸，切棱BC于E,

由题意匕8CABC=4几，①

A"(-A4cl4

ifOF=AG=---=—a,GE=ci口b

因ra为•兀36，乂n°rG=7,

2sin—2

3

所以。E=Ja丁+G炉

所以冬=持口解得a=〃②，

联立①②可得所以球。的半径为人生考,

32

所以球。的表面积为S=4兀R?=4n一71

3

19.⑴①。号②(1+6,3]

3-2加卜

Q)

"I-

【分析】（1）①利用正弦定理边角互化可得尸+/-1="，再利用余弦定理即可;

22

②利用正弦定理得到。=忑sinAh=耳sin8,再利用两角和差公式以及辅助角公式化简周

长，最后利用]<4<三求出三角函数的值域即可;

o2

（2）先将条件化为a+b=c（cosA+cos3）,再利用正弦定理得

sinA+siriB=sinC（cosA+cosfi）,利用两角和差公式化简得到C=],再利用基本不等式求

出〃十。的范围，利用直角三角形内切圆半径公式r=；g+〃-c）求出，•的范围，即可求出