四川省2024-2025学年高一年级下册期中质量监测数学试题（含答案解析）

四川省嘉祥教育集团2024-2025学年高一下学期期中质量监测

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知向量4=(2,3),b=(.v,-6),若联〃力，贝ljx=()

11

A.—4B.4C.-D.—

44

2.化简1-2COS222.5°的结果是()

「五门五

AA・1BR._—1—C・一D・

2222

3.为得到函数/(x)=sinx+酊的图象，只需把余弦曲线上的所有点的(

)

A.向左平移5个单位长度B.向左平移方个单位长度

6

C.向右平移J个单位长度D.向右平移1个单位长度

6

4.若方为单位向量，O「_L75，则。彳(。4+。8)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.在V/8C中，/BW，AB=8,AC=7,则〃C=()

A.5B.3或5C.4D.2或4

«C

6.已知sina-cos(a-5)=；,贝ijcos(2a-J)的值为()

633

7217

氏C

A.9--3-3-D.-9-

7.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具”.如图，一个半径为4米

的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心。距离水面的高度为2米.在筒车转动的

一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4米的时间为()

试卷第1页，共4页

A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒

8.如图，在△//。中，。是4C的中点，E在边力8上，BE=2EA,AD与CE交于点O,

__AR

若7鼠衣=碗.瓦,则二7；的值是()

A.-B.2C.75D.—

22

二、多选题

9.下列说法错误的是()

A.[ab^c^a(b

B.若向量工与£共线，则存在唯一的实数/M吏石=4)

c.若非零向量零5满足同邛|巾一可,则£与五+5的夹角为60°

D.若非零向量入[满足则|1+6|=,/

10.已知函数/(X)=JJsin2x+sin'x-cos"x,则()

A.f(x+-^)+f(~x)=0B.|/Cv)|</(^)

o3

C./*)在-%:上单调递增D.若〃X+。)为偶函数，则闸的最小值为专

11.记△力8c中三个内角4,B,C所对边分别为mb,c.如图，M,N分别是函数

/(x)=sin(/u-4)[。<4<9与直线y=^的两个交点,其中眼叫=雪，则()

%

叵G

、2/'M'N_______

A./(V3TI)=-1

乙

B.NABC面积的最大值为起

4

C.周长的取值范围为(2G,3G]

试卷第2页，共4页

D.若V48C为锐角三角形，贝Ij20+c的取值范围为(4,2近]

三、填空题

—2——

12.已知两点『2,-1),々(-1,3),点P在直线上，且满足4P=4理，则点尸的坐标

为.

13.若sin]cosx=(l+cos])sinx,XG(O,TC),贝ljx=.

____i____?____

14.在V/8。中，已知初屈:4音•赤+]配万，则tan〃的最大值为.

JJ

四、解答题

15.已知|：|=4,山=2,且」与否的夹角为120°.

⑴求|22-同；

⑵若向量4-超与苏-记不能作为平面向量的一组基底，求实数义的值.

16.已知〃？=(行，一后)，,7=(sin2x,cos2x),f(x)=mn.

O-xi—I-I—L.J—J—J-4-Jx

c0IIIIIIIII

-2.，---1.

X

cox+(p

/(x)

⑴将函数/(X)化简为《sin(3+0)的形式并用五点法画出/(X)在J器上简图；

_OO

(2)求函数/(x)取得最大值时x所组成的集合，并试从向量数量积坐标表示的角度，结合数

量枳的定义解释/("的最大值为2.

17.已知函数八x)="sm2工一Latir.

'''sin2x+2cos*x2

⑴求/(X)的定义域4并化简函数/(X);

试卷第3页，共4页

《四川省嘉祥教育集团2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ACCDBADCABCABD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程,解得即可.

【详解】因为：=(2,3),5=«-6)且；〃力，

所以3x=2x(-6),解得x=-4.

故选：A

2.C

【分析】由二倍角公式可得答案.

【详解】由二倍角公式：1—2COS222.5=-(2cos222.5°-l)=-cos45°=-当.

故选：C

3.C

【分析】根据诱导公式及三角函数平移规则判断即可.

【详解】余弦曲线y=cosx=sin(x+g］上的所有点的向右平移丁个单位长度得到函数

\2；6

717C

/(-v)=sinX---+---—

62

故选：C.

4.D

【分析】依题意5.方=0,即可求出方.赤，再根据数量积的运算律计算可得.

【详解】因为E_L茄，次为单位向，所以方方=刀•(砺-刀)=0,

印万•丽一方2=0，所以苏•。石=|可2=1，

所以刀.(刀+砺卜刀•万+方.丽=1+1=2.

故选：D

5.B

【分析】利用余弦定理求解即可.

答案第1页，共13页

【详解】由余弦定理，^AB2BC2-2AB-BCcosB=AC2,

即64+8。2-88。=49,即8c?-88。+15=0，

解得8C=3或5,

经检验，均满足题意.

故选：B.

6.A

【分析】由题可得而然后由二倍角公式可得答案.

3

【详自军】sina-cos(<z-=sina-^-cosa-Lina

622

1.6.(兀)1

一sina-------cosa=sina---=-

22I3J3

27t

则cos(2a—=1-2sin

故选：A

7.D

【分析】以0为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合题意中的实际意义，确定盛水筒P

距离水面的高度不低于4门的时间为:圆周，即可得到答案.

【详解】根据题意，以。为坐标原点，平行于水面的直线为x轴，垂直于水面的直线为F轴,

建立平面直角坐标系，如留所示，

则OC=2m,则sinZ.AOx=sinZ.OAC=—,所以Z.AOx=Z.OAC=—,

26

如图，盛水筒P距离水面的高度为4m时，分别在点〃”处，

则由对称性可得NMOx=-,则/MON=TT-2X-=—,

663

因筒车按逆时针方向每分钟转1圈，所以筒车转1圈的时间为60秒，

由上分析，盛水桶尸距离水面的高度不低于4m的时间为"圆周，

所以盛水筒P距离水面的高度不低于4m的时间为20秒.

故选：D.

答案第2页，共13页

【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，设施=久而（0<2<1）,用平面

AR

向量基本定理求出力的值：进而求要的值.

AC

【详解】因为。在力。上，所以彩与而共线,

设力。=2/力（0<2<1）,因为8E=2£4,所以南=2而，

乂。是8c的中点，所以44+/C=2/Q，所以力。=5/14+54C,

^C=6J3EC=62^D｛成+困=6/1而1~方+可，

方•正=6怒•反=6义（/月+■+方），

所以荔•沅=6而屈=62—刘

所以22=1,BP/t=1,所以一鼻肉+京研=0,故同=6|羽

所以要=石,

AC

故选：C

9.ABC

【分析】根据向量数量积及向量共线可判断A：分£=限（/和£=B=6时讨论可判断B；

根据向量的三角形法则和平行四边形法则可判断C；根据垂直的向量表示及向量运算可判断

D.

【详解】对于A：当（万万”工0时,（小可七与r共线,

小01户0时，1・0•司与G共线,

而万与亍不一定共线，所以仅石"=小（小“不一定成立，故A错误；

对于B：若16,力力时，向量B与"共线，但不存在实数义使7筋；

答案第3页，共13页

当7=B=d时•，向量坂与£共线，但实数2不唯一，任意实数之都能使坂=笳成立.故B错误;

对于c：同叩=卜-可，则以同,w，B-川为三边的三角形为等边三角形,

则C；与月的夹角为60°，所以£与万+坂的夹角为30''，故C错误；

对J,D：ci.Lb则d•在=0,

则B+同2+2;不+|甲小门甲,

忖一陷=J,—2d./)+川-=J424甲，即B+/)卜,一,故D正确.

故诜：ABC.

10.ABD

【分析】先由二倍角公式与辅助角公式化简函数为正弦型函数，然后由正弦函数的性质逐项

判断即可.

【详解】/(X)=x/3sin2x4-sin4x-cos4x=V3sin2x+(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)

=y/3sin2.r+sin?x-cos?x=\A-sin2x-cos2x=2sin|2x--

I6)

对于A,

71n

，Y）+/（T）=2sin2n+2sin-2x--1=2sin2x+--2sin\2x+=0，故

6H]66J4

A正确;

对于B,|/（x）|=2sin（2x=、K2=/g）,故B正确;

对于C,由一5+247142.1-2«]+2左兀（左£2）,得一己+,E«xWg+4花（4wZ）,

所以/(x)的单调递增区间为—£+杭f+E(AeZ),

03

故/(X)在「-?,-5]上单调递减，在上单调递增，故C错误；

_46JL64_

对于D,/(x+^)=2sinf2(x+^)-^l=2sinf2x+2^-y\为偶函数,

k6)I61

答案第4页，共13页

所以2夕一Z=—+kn(keZ),即e=鸿(丘力,

62

所以|同的最小值为故D正确;

326

故选：ABD

11.BCD

【分析】由题可得/(x)=sin(71r+"对于A,由诱导公式可判断选项正误；对于B,由

题可得S/y*=由"，然后由余弦定理，基本不等式可得讹工3,据此可判断选项正误；对

于C,由正弦定理边角互化可得C”c=G+2(sin/+sirC),然后利用力+C=g结合和差

化积公式可判断选项正误；对于D,由正弦定理边角互化可得2q+c=2(2sin/+sinC),然

后由/+C=；结合辅助半公式可判断选项正误.

【详解】由图可得/(O)=sin8=当，而故8=g,

注意至ljsin(/?x+¥]=，=6x+—=—+2^7i»£/>x4--=—4-2kn,kGZ.

I3j23636

由题可得从女=2—2=女=〃=百，则/(x)=sin(ex+g、.

9663I3J

对于A,f(yfin)=sin-!-^=sin—=sinn+—=-£故A错误;

33I3J

-acs\nB=^-ac

对于B,S谢

24

由余弦定理，b~=a2+c2-laccos8=>3=a2+c2—acfil基本不等式,

3=a2+c2-ac>2ac-ac=ac>当且仅当a=c=6取等号.

则Sm邛K乎,故B正确;

b

对于C,C&ABC=a+b+c=yf3+a+c=x[3H-(--s-i--n--J--+sinC)

sinR

=V3+2(sinJ+sinC),因8=：n=/+c=¥2兀，则力jo",结合和差化积公式,

J33\J

r2北\冗

7t

则sinX+sinC=sinJ+sin--Jj=2sinycoscosA--

3l3J

nn

因力兀,l||ijJ--e3,3j

3

因y=cosx在卜合0)上单调递增，在0,：nJ上单调递减,

3

答案第5页，共13页

则sinJ+sinCe忤如c山•e(2瓜3伺，故C正确;

对于D,2a+c=―-—(2sinJ+sinC)=2(2sinJ+sinC),

sinB

0八<A4<—兀

因V4?C是锐角三角形，N+C==,则:=>7<C<T-

3八,2兀门兀62

0<A=----C<—

32

2sinJ+sinC=2sin--C+sinC=2sinC+\fcosC=Win(7+6),

其中tan8=—，。e0,：X—<—<1=><?€

2I-32

e兀-7in八八八n八„n门(兀5兀、兀27137cl

因工<。<7，则z+°<c+°<7+°，又工+ec二，77二，

6262O\3\2J2\54J

则…门在序词上单调递增，在„+。)上单调递减,

min."sin仁+"sin［：+，),<而in(C+9R<T.

2

因tan0=—,Ow，则sin"与cos®

2z)万

则"/H*4喙=嘉帖+q3+

542

因访>丽二万则2<V7sin(C+，)K近.

故2a+c=2(2sin4+sinC)e@,2故D正确.

故选：BCD

31

12.35

____7__

【分析】设尸a,y),根据炉=5理，得到丑=结合向量的坐标运算，列出方程

组，求得xj的值，即可得到答案.

【详解】由点耳(2,-1),月(-1,3),可得福=(—3,4),

__?______o____o

设尸*,y),因为肝=鼻所，可得即二M硒，所以(工一2/+1)=三(一3,4),

JJJ

答案第6页，共13页

43

解得片寸二:，所以点尸的坐标为

故答案为:

n

13.

10

【分析】由同角三角函数关系，结合二倍角公式，正切函数单调性可得答案.

八.兀

s.in—7T2sin—cos—7T

【详解】由题可得——=—也一①=tan3=tanx,因XG（0,兀）,

1+cos三2cos2至10

510

因y=tanx在卜卦仁”上单调递增，则x兰.

故答案为：

14.巫J而

22

【分析】由平面向量数量积公式和余弦定理得到2/+02=3/，进而由余弦定理和基本不等

式求出COS4=±%SN攵，从而求出⑶仍有最大值，最大值为巫.

6ac32

------1--------2---------12

【详解】由切•8C=y以•C8+§4C•48得accosB=-abcosC+-bccosA,

即3accosB=ahcosC+2/?ccosA,

士工田,日、«2+c2-b2.a2+b2-c2r,b2+c2-a2

又由余弦定理得：3ac----------=ah-----------\-2hc-----------

lac2ab2bc

化简得：2a2+c2=3b\

222/+02

a2+c2-b2a+c3a2+2c22\[2ac及，

2ac2ac6ac6ac3

当且仅当〃=&。时，等号成立,

将〃=J丞代入2/+02=3〃中，可得/）=也。，满足任意两边之和大于第三边，

3

故cos3有最小值，且8为锐角，此时sin8=Jl-［正］=^,tanZ?=—

YI3J3cos52

由于y=cosx在（0,：）上单调递减，y=tanx在（0,^）上单调递增,

故taiB有最大值，最大值为好.

2

答案第7页，共13页

故答案为：亚

2

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关

的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，

或其他的限制，通常采用这种方法：

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

15.（1）2721;

（2）±76.

【分析】（1）利用数审:积的定义及运算律求解.

（2）利用共线向量定理歹J式求解.

11一一］

【详解】（1）由|a|=4,g|=2,且々与B的夹角为120°,得。力=4*2、（-5）=-4,

\2a-b\=\）4a2-4ab+l^=74x42-4x（-4）+22=2后.

（2）由向量力-泥与笳-35不能作为平面向量的一组基底,得2，-力与b-33共线,

则存在实数〃，使得2。-4二以义。一3杨二〃:。一3女刃，而〉与否不共线，

2=kA

于是4=-3/解得金G

所以实数2的值为土石.

16.⑴/（x）=2sin（2x-列表，作图见解析

Q）・xx=言+kjt,keZ、解释见解析

O

【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简可得〃x）=2sin（2x-再利用

五点作图法画出图象即可;

（2）结合正弦函数的性质求解即司,再结合赢〃斗斗网进行解释即可.

【详解】（1）由题意，/（幻=m-n=>/2sinlx-41cos2x=2sin(2x--^-1,

列表如下:

答案第8页，共13页

n37c57r77r9n

TTTT

X8

c九n3兀

2x——0T2兀

42n

0-2

/(%)200

作图如下:

(2)令2丫一色二色+2而，kwZ,解得彳=」+女冗,左eZ,

428

故函数/(x)取得最大值的x所组成的集合为卜x=彳+伍4eZ

O

因为/(工)=机〃=|w卜同,COS@i,〃卜M，p

=’(可+(—国・衍2x4-COS22X=2»

当且仅当cos(尿。=1时等号成立，此时而与;;同向，夹角为0,

则函数/(x)的最大值为2.

17.(l){x|xeRKH+w-彳+桁,％wZ},；

(2)3.

【分析1(1)根据正弦函数及余弦函数定义域计算，再根据二倍角正弦及同角三角函数关系

化简计算；

(2)应用函数值域把恒成立转化为最值计算求解.

【详解】(1)/(力的定义域由满足sin2x+2cos2/0及"桁+^的值组成，

即2cosx(sinx+cosx)00及xoKi+1,

jrir7E

所以tanx工一1及+—,得xhE—,x工kn+-,

答案第9页，共13页

因此｛x|xeR^r*—++kn,keZ).

24

在xw彳前提下，化简函数/(x)="2si**「普

2slmcosx+2cosx2cosx

(sirix+cosx)"simsinx+cosxsinvcosx1

=----------------------=-----------------=-----=—.

2cos.r(sinr+cosx)2cosx2cosx2cosx2cosx2

(2)对任意不等式/(x)Vsinx+%o；Ssinx+3恒成立,

222

m>\-2sinx恒成立.

而当xwA时，1-2sinx€(-l,3),所以实数〃7的最小值为3.

18.⑴。=£

4

(2)证明见解析

2

(3)0C=§

【分析】(1)由已知结合正弦定理边角转化再应用余弦定理求角；

(2)设OC=x,。8=N，则由余弦定理计算求解证明；

(3)根据二倍角正弦及余弦公式化简求出cos"=2叵，再应用两角和正弦求解应用正弦定

5

理计算求值.

【详解】(1)(V^sinA-sinC)=sin?。+sin2B—CsinAsinC,

化简得：sin%+sin2C-sin2^=J5sinBsinC.

在A80C中，由正弦定理得：OC'OB?-BC2=&)C0B,

由余弦定理可得：cos。=竺卫上区~二包,故。=5.

2OCOB24

(2)设OC=五，OB=y,则CM=2—x,OD=2五-y.

在△40。中，由余弦定理得：

AD~=^2—x)+^2\/2—y)—2x(2-x卜gy}.

在小。。中，由余弦定理得：BC2=x2+y2-2xyx^.

由BC=/O,所以(2-%『+(2五一y)-2x(2-x)2/2-x^-=x2+y2-2xy1

化简得：y=,故。为BD中点、.

(3)如图：过,D点、做DE〃BC,交力。与E.则NEZ)O=NC8O.

答案第10页，共13页

A

所以4C=QE,乂BC=AD,所以=

所以=

所以/OEZ)=兀一力，又40ED=2C,4+。=兀一四=巫.所以月=8+色.

444

由于石sin2/l+co3=6n底桁2(8+(+cosB=后=石cos28+co必=«

所以石(2cos*-l)+cos8=V^n2瓜0CB+cosB-26=0.

又-l<cos〃<l,所以coW=2旧,所以sin8=^^.

55

所以sinf8+三］=sinBcos-+cos^sin4=立x=巨=地鼻,即sinC=独。.

I4J442510^10

CR"=oc

在△04。中，根据正弦定理，可得：/=丹=诉'-石=。。=1

sinCsinB........-3

105

19.(1)2兀，理由见解析

(2)(仇0),keZ

(3)无对称轴，理由见解析

【分析】(1)由周期的概念即可判断；

(2)化简/'(x)=；sinx(2+3cosx+4cos2x),问题转换成sinx=0,即可求解；

(3)由对称性的定义即可判断.

【详解】(I)y=sinx/=；sin2x/=；