山西省晋中市某中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

山西省晋中市榆次区晋中大唐现代双语中学2024-2025学年上学期第一次

月考九年级数学试卷

一、单选题

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3.x-2+1=0

B.5/一6)，—3=0

x

C.3x2-2x-1=0D.ax2+Z?x+c=0

2.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）

A.有一个内角等于90。B.对角线互相平分

C.邻边相等D.对角线相等

3.一元二次方程入2・工-1=0的眼的情况是（)

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

4.如图，在正方形48c。外侧作等边VAOE，则的度数为（）

A.15°B.22.5°C.20°D.10°

5.根据下面表格的对应值：

X-111.11.2

X2+\2X-15-26-2-0.590.84

由此可判断方程d+124-15=0必有一个解x满足（）

A.-1<x<IB.I<x<1.1

C.0.59<X<0.84D.l.l<x<l.2

6.如图，矩形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，且AB=2,ZAO8=60。，点E为BD上一点，OE=\,

连接AE,则AE的长为（）

AD

A.73B.y/jC.近或石D.6

7.如图，菱形A6CZ）的对角线AC、6。相交于点O,过点。作。〃_LA6于点“，连接若。4=6,

。〃=4,则菱形八BCO的面积为（）

A.72B.24C.48D.96

8.如图，在一边靠墙（墙足够长】的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙,

另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，贝J下列各方程中，符合题意的是（）

A.x(55-2x)=375

D.,v(55-x)=375

二、填空题

9.一元二次方程5/=%的解是.

10.如图，连接四边形A6C。各边中点，得到四边形EFG”,只要添加条件，就能保证四边形EFG”

是菱形.

H.已知等腰二角形的两边长分别是一元二次方程f-5x+6=0的两根，则该等腰二角形的周长为

12.如图，正方形ABC。和正方形EFG。的边长都是1,正方形EPG。绕点。旋转时，两个正方形重叠部分

的面积是：

13.如图，在边长为6的正方形45co中，E是边的中点，将AO石沿AE对折至AFE,延长耳'交BC

14.如图，直线A8的表达式为)=2x+5,与下轴交于点A,与x轴交于点4,点尸为线段45上的一个动

点，作轴于点E,P厂上工轴于点尸，连接EF,则线段即的最小值为.

三、解答题

15.解下列方程:

(l)(2x+5)(x-6)=0

⑵2/一4工一3=0

⑶[2X+3)2=(3X+2)2

4x—1=6或4x—1=4.

以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想.

请仿照材料解下列方程：

(1)/-X2-6=0;

(2)(X2-2X)2-5X2+10X-6=0.

20.综合与实践

问思情境：

如图①，点E为正方形A8CO内一点，N/\£8=90°,将由A48E绕点8按顺时针方向旋转90。，得到

(点A的对应点为点C),延长AE交CE于点F,连接。£.

猜祖证明：

(1)试判断四边形8£正的形状，并说明理由；

(2)如图②，若DA=DE,请猜想线段CF与庄’的数量关系尹加以证明;

解决问题：

(3)如图①，若A8=15,CF=3,请直接写出OE的长.

参考答案

1.C

解：A、方程3/+,=()不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；

x

B、方程5--6y-3=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；

C、3/-2x-1=0是一元二次方程，故本选项符合题意：

D、当。=0时，方程at2+/»+c=()为云+。=0,不是一元二次方程，故本选项不合题意:

故选：C.

2.C

【详解】A、矩形具有，菱形不一定具有，故此项错误；

B、矩形和菱形都具有，故此项错误；

C、矩形不一定具有，菱形具有，故此项正确；

D、矩形具有，菱形不一定具有，故此项错误.

故选：C.

3.A

解：•・•根的判别式△=(-1)2-4x(-1)=5>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

4.A

解：•・•正方形"CO外侧作等边VAOE，

AB=4。,AD=AE,ABAD=90°4DAE=60°,

•••AB=AE,ZBAE=15OP,

..ZABE=ZAEB=\5n,

故选：A.

5.D

解：・.・x=l.l时，f+12x-15=-0.59<0;%=1.2时,x2+12x-15=0.84>0,

；・1.1<x<1.2时，存在V+121-15=0,

即/+12x—15=0必有一个解工满足1.1<X<L2,

故选：D.

6.C

解：•・•四边形ABCD是矩形，

：.OA=OC=^-ACtOB=OD=LBD,AC=BD,ZABC=90°,

22

：・OA=OB,

'：ZAOB=60°,

・•・A6O是等边三角形，

・•・OD=OB=OA=OC=AB=2,

①当点E在08上时，如图所示，

,:OE=\,

：・0B=20E,即点E是08的中点，

•I是等边三角形，

・•・AEVOB,

,ZAEO=9()0,

•**AE=ylo^-OE2=V22-12=^：

②当点E在0。上时，过点A作于点“，则NA”E=90。，如图所示,

由①可知，0H=0E=l,AH=43,

:.HE=2,

:.AE=y/HE2+AH2=,2?+（可=不.

・•・AE的长为77或＞/5,

故选：c.

7.C

解：•・•四边形ABC。是菱形，

：,OA=OC,OB=OD,AC1BD,

DH工AB,

/.NBHD=9(T,

BD=2OH,

OH=4,

；・BD=8,

・；0A=6,

；・AC=12,

・••菱形八〃8的面积,AC"/)=Lx12x8=48.

22

故选：C.

8.C

解：・・・A4=x米，

55——x

・•・AO=■米.

2

依题意得：x•”广=375,

即'55-)=375.

故选：C.

9.x}=0,x2=-

解：,**5x2=x

/.JC(5X-1)=0,

二工=0或51=0,

；・一元二次方程5f=x的解是N=0,〜二；，

故答案为：X[=。，W=；.

10.AC=BD

解：添加AC=8O时，四边形EFG”为菱形.

■:点、E、F、G、，分别为A。、AB.BC、C7)的中点，

:.EF〃BD,EF」BD,GH〃BD,GH=-BD,EH//AC,EH=-AC,

222

:.EF〃GH,EF=GH,

・•・四边形EFGH为平行四边形，

当AC=3£＞时，EF=EH,

・•・四边形以七”为菱形.

故答案为：AC=BD.

11.7或8

解：x2-5x+6=0

(A-2)(X-3)=0

解得：尸2或尸3,

当等腰三角形的三边为2,2,3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为7；

当等腰三角形的三边为2,3,3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为8,

所以三角形的周长为7或8,

故填:7或8.

12.-/0.25

4

解：如图，设A3与交点M8C与OG交点、M,

四边形人8c。和四边形EFGO都是正方形，

OB=OC,ZOBA=ZOCB=450,/BOC=ZEOG=90°,

・•・/BON=^MOC.

在△O8N与，0cM中,

N0BN=ZOCM

-OB=OC,

NBON=/COM

0BN-0CM(ASA),

•€_q

•*OBN-、'.OCM，

=

S四边形0M8N=SOBC=4S正方形A8CC*

故答案为：7.

4

13.2

解：在正方形ABC。中，AD=AB=BC=CD,ND=/B=NBCD=90。,

•・•将.ADE沿AE对折至AFF.,

/.AD=AF,DE=EF,ND=/AFE=90°,

AAB=AF,NB=NAFG=900,

又AG=AG,

在RtABG^RtAF、G中，

AB=AF

AG=AG，

JRi.4BG丝Rt"G(HL),

:.BG=GF,

*/E是边C。的中点，

:.DE=CE=3,

设BG=x,则CG=6-x,GE=X+3,

GE'=CG'+CEy

：222

.(X+3)=(6-X)+3,

解得x=2

・•・BG=2.

故答案为2.

14.亚

解：连接OP,如图,

・・・尸七1.），轴于点七，尸产_11轴于点产，

・•・/PEO=/PFO=90。,

XVNEO尸=90°,

・•・四边形O样尸是矩形，

：,OP=EF,

当时，OP有最小值，如图，

，线段EF的最小值为后,

故答案为：后.

15.⑴百=-|，％=6

力2—VH)2+V10

⑵再=---，&=—一

(3)3=1,x2=-\

/八,2X/6

⑷弘=1-之，%=1，+子2显

(1)解：•・・(2x+5)(x-6)=0,

:.2x+5=()或尤-6=0,

.5,_A

⑵解：a=2,b=-4,c=-3>

/.A=(^)2-4X2X(-3)=40>0,

.4±V402±V10

••x=----------=-----------,

2x22

.2-Vio2+Vio

.•百=2，“2=2；

(3)解：V(2X+3)2=(3X+2)2,

:.2x+3=±(3x+2),

即2x+3=3x+2或2x+3=-(3x+2),

・M=1,x2=-l；

(4)解：V3/-6y-5=0,

Ay2-2y-|=0,

Ay2-2.y+l=-+l,

即g)Y，

・ij瓜

••v-1=i------,

•3

・,2762>/6

••M=l-----*%=1+^~•

16.（1）详见解析；（2）四边形AEFD是菱形，理由详见解析.

（2）猜想：四边形AEFD是菱形.

证明：•・•四边形ABCD为平行四边形，

AAB/ZDC,

AZCDE=ZDEA,

二,DE平分NADC,

AZCDE=ZADE,

AZADE=ZDEA,

/.AD=AE,

又*・AD=DF,

ADF=AEfiDF/7AE,

・•・西边形AEFD是平行四边形，

VAD=DF,

/.□AEFD是菱形.

考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.

17.10cm

解：剪去正方形的边长为定m,

由题意得，1Q（）-2VX（60-2A）=1600,

整理得，x2-80x+700=0»

解得内=10,々=70（不合，舍去），

答：剪去正方形的边长为10cm.

18.（1）见解析

（2）DF//AB,DF=^AB

(I)四边形A/X五为矩形，

理由：・・・4。平分NBAC,AN平分NC4M,

AACAD=-ABAC,NGAN」/CAM,

22

・•・土DAE=Z.CAD+/CAN=g(N8AC+ZCAM)=^xl80°=90°,

在V/1BC中，

VAB=AC,AO平分/HAC,

AD1BC.

；・ZADC=90°,

•/CE±AN,

JZAEC=90°.

・•・/DAE=ZAOC=ZAEC=90°,

・•・四边形A/X石为矩形；

理由：

四边形石是矩形，

二AF=CF,

•••点产为AC中点,

vAB=AC,4。平分/8AC,

BD=CD,

，点。为8c中点，

是VA4C的中位线，

DF//AB,DF=^-AB.

2

解：(1)设/=)，,则原方程可化为)尸-幻，-6=0,

整理得(y-3)(y+2)=0,解得x=3,%=2

当尸3时，即f=3,.•」=±百；

当y=-2时，/=_2无解.

原方程的解为玉=,x2=—5/3.

(2)设V—2x=)，，贝IJ原方程可化为)，2一5)，一6=0,

整理得(y-6)(y+l)=0,解得％=6,y2=-\.

当P=6时，即f—2x=6,解得!=1+4，-币;

当y=-i时，即丁-2%=-1,解得占=冗=1.

综上所述，原方程的解为玉=1+6,%=1-币,鼻=凡=1.

20.(1)四边形8E'正是正方形，理由详见解析；(2)CF=FEt,证明详见解析；(3)3而.

解