一元二次方程、不等式-2026年高考数学一轮复习基础梳理（原卷版）

■第5讲一元二次方程、不等式

------------------------图知识点目录/---------------------------

【知识点1】求解一元二次不等式........................................................2

【知识点2】一元二次方程根的分布......................................................3

【知识点3】三个二次之间的关系........................................................5

【知识点4】一元二次不等式恒成立问题.................................................6

®基础知识/

1.二次函数v=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不等式ax2+bx+

c>0(a>0)的解的对应关系

方程的判别式/=

/>04=021<0

t)-4ac

Lk

二次函数△

的图象

~GIX|=X2^

有两个相等的实数

有两个不相等的实

方程的根b没有实数根

数根M,x(x<x)根x]=x2=—

2122a

不等式

{x|或x>xjR

的解集Ll

2.分式不等式与整式不等式

尸

(1)3(x>)0(<0)。。(*)冢。)>0(<0);

g(x)

f(x)

(2)20(W0)oAx)鼠x)20(WO)且g(x)#=0.

g(x)

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3.简单的绝对值不等式

|x|>a(a>0)的解集为(—8,一a)U(a,+8),|x|<a(a>0)的解集为(―a,a).

【常用结论】

1.一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式ax'+bx+cXHaHO),x£R恒成立=a>0且/<0;

⑵不等式ax'+bx+KOSRO),xGR恒成立。水0且/<0;

⑶若a可以为0,需要分类讨论，一般优先考虑a=0的情形.

2.对于不等式af+6x+c>0,求解时不要忘记方=0时的情形.

■知识点1/

知识点

【知识点1】求解一元二次不等式

对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类.

⑵根据判别式4与0的关系判断根的个数.

⑶有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

典型例题

【例1】(2025•开远市校级开学)已知〃<0,则关于x的不等式/一4批一5/<0的解集是()

A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}

C.{T|—〃vrv5〃}D.{r|5r/<x<-a]

【例2】(2025•广东学业考试)不等式Y-2x<0的解集是()

A.(-oo,2)B.(-oo,0)

C.(0,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

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【例3】(2024秋•中山区校级期末)关于x的一元二次方程尔+6x+c=0(上YO)的解集为卜2,

3},则不等式ex1+bx+叭6的解集为()

A.B.[-2,3]

JJ

C.S，TU〔I，+8)D.y,-2]J[3,+8)

【答案】A

【分析】由方程的解集和根与系数关系得a,b,c的关系，并由Mc、<0得a的正负，代人不等

式以2+8+小内后即可求解.

【解答】解：•.■关于x的一元二次方程a/+〃x+c=()的解集为{-2,3},

——=-2+3=1

/.­a,/?=-47,c=-6a,/.abc=6/<0,^IJa<0.

£=-2X3=-6

a

：.ex2+bx+a=-6ax2-ax+a=-a(6x2+x-1)^0,

即6x2+x—18,即(2x+l)(3x-|)w,解得一

23

故选：A.

【例4】(2024秋•深圳校级期末)已知函数/(x)=ax2一(a+l)x+\(aeR).

(1)若/(x)在区间(-8,1]上单调递减，求a的取值范围.

(2)求关于工的不等式/*)>0的解集.

【例5】(2024秋•海淀区校级期中)解关于x的不等式：ax2-(a+2)x+2^)(aeR).

@知识点2/

知识点

【知识点2】一元二次方程根的分布

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【例10】（2024秋•青海期末）若二次方程/+（。_6口+26-4=0在（0,3）上有两个不相等的实根,

则。的取值范围是（）

A.（10+46+8）B.（—,6）C.（―J0-4V3）D.（2,10+4回

55

-------------------------屯知识点3一/---------------------------

知识点

【知识点3】三个二次之间的关系

已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可

以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负

典型例题

【例11】（2023秋•信阳期中）已知关于x的不等式〃（x+l）（x-3）+l>0的解集是（司，当）（再<当）,

则下列结论正确的是（）

A.X)+x2=2B.xtx2<-3C.-1<^1<x2<3D.x2-xt>4

【例12】（2024秋•吉林期末）已知不等式aF+bx+cyo的解集为*|X<T或其>3},则下列结

论正确的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.ex?-bx+a<0的解集为{x|-;vx<1}

【例131（2023秋•云南期末）已知关于x的不等式/-如+49的解集为{x|2E5},则关于x的

不等式/-bx+a<0的解集为（)

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A.{x|2<x<3}B.{x11<x<3}C.{x12<x<5}D.{x11<x<5}

【例14】（2024秋•集安市月考）已知关于x的不等式尔+加+c>0的解集为（-co,-2）U（3,+oo）,

则下列选项中正确的是（

A.a<0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x>-6}

C.a+b+c>0

D.不等式ad一也工<o的解集为（-X,-—）|J（―,+00）

32

【例15】（2024秋•大理市期末）若关于实数x的不等式寸+加+c>0的解集是"|x<-5或x>2},

则关于x的不等式ex?+bx+|>。的解集是（）

A.（-<3°,-J）U（:,+8）B.y,一：）U（；，+8）

C（-兵）D.

52

El知识点4

知识点

【知识点4】一元二次不等式恒成立问题

恒成立问题求参数的范围的解题策略

⑴弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，雄就是参数.

⑵一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式■;一元二次不等式在给定区间上恒成立，不

能用判别式』，一般分离参数求最值或分类讨论.

典型例题

【例16】（2024秋•武强县校汲期末）时，不等式/x成立，则，〃的取值

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范围是（）

A.{m|B.{m\C.{w11<w<2}D.{〃?|〃?T}

【例17】（2024秋•中牟县期末）设xeR,不等式a/+2“_3<0恒成立的一个充分条件可以是

（）

A.-3<a<0B.—3-^?<0C.-3<«<1D.<1

【例18】（2025•芒市校级开学）一元二次不等式Ax，？履+2>o对任意恒成立，则实数上的

4

取酒范围是（）

A.0<Z:<1B.0-^<1C.k<0D.0<Arvb

【例19】（2024秋•宁波期末）若不等式（ar-2）（x-b）W对任意的xe火恒成立，则〃+2方的最小

值为（）

A.3B,272C.4D.36

【例20】（2025•山东模拟）己知不等式3/+（a-2）x+4力对任意的xw（0,+oo）恒成立，则实数a的

最小值_2_46_.

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一Ei牛刀小试/----------

第5讲一元二次方程、不等式

一.选择题（共10小题）

1.（2025春•临泉县月考）不等式-/+3》_2＜（）的解集为（）

A.{x\x<-2^x>-\]B.{x|x<1或x>2}

C.{x11<x<2}D.{x\-2<x<-\]

2.（2024秋•鹤山市期末）一元二次不等式-4x2—x+13的解集为（）

7

A.{x|-2Wx4—}B.或xi2}

7

C.{x\~<x<2}D.{x\x<-2^x>^]

3.（2024秋•吕梁期末）己知关于工的一元二次不等式-2/+忆_〃/的解集为{x|；w2},则

竺的值为（）

n

AA.-3BD

5-I-4

4.（2024秋•金山区期末）当0＜。＜1时，关于x的不等式（x—3）[。—4口+（。-3）]＜0的解集为（）

A.S,^^^）U（3收）B.（—8,3）U（9=,+8）

a-\G~\

c.（3,二）D.”3）

a—1a—1

5.（2024秋•大兴区期末）关于x的不等式尔+瓜+cW（"0）的解集不可能是（）

A.RB.[-1,1]C.0D.[-1,+oo）

6.（2024秋•佛山期末）若关于x的方程x?-at+4=0有两相异实根演，x2,且05＜》2＜4,

则实数°的取值范围是（）

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A.(-00,-4)kJ(4,+00)B.(0,5)

C.（4,5）D.（4,8）

7.（2024秋•固镇县期末）关于x的不等式父-（〃+1口+4<0的解集中恰有1个整数，则实数”的

取值范围是（）

A.（-1,0]|J[2,3）B.[-2,-1）53,4]

C.[-1,0）52,3]D.（-2,-1）U（3,4）

8.（2024秋•屯溪区期末）若关于x的不等式（〃?+l）x+9泡在0,4]上有解,则实数机的最

小值为（）

A.9B.5C.6D.—

4

9.（2024秋•宿迁期末）设a,/）,c为实数，不等式ax?+bx+c>o的解集是｛x|x<l或x>3｝,

则的最大值为（）

A.-日B.号C.-迪D.迪

3333

10.（2024秋•济南期末）若MwR,必2+2（〃.3口+49,则实数”的取值范围为（）

A.（1,9）B.（-a）,0）

C.（-00,1）U（9,+8）D.（-co,1]|J[9>+00）

二,多选题（共4小题）

（多选）11.（2025•余姚市模拟）关于x的一元二次不等式尔+6+1>0的解集为（-1-），则下

2

列成立的是（）

A.a2+b2=5B.a+5=-3C.ab=-2D.—=2

b

（多选）12.（2024秋•西峰区期末）关于x的不等式——G+3”0的解集为/?的充分不必要条

件有（）

A.Iga=1B.0<<12C.1<a<11D.-1<a<15

（多选）13.（2024秋•南昌县期末）已知关于x的不等式ad++ca的解集为｛x|3yT｝，

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则下列说法正确的是（）

A.a<0

B.不等式ex2-bx+a<0的解集为｛》|--<x<-｝

43

C.a+b+c<0

D.上+5的最小值为7

36+42

（多选）14.（2024秋•日照期末）已知关于X的不等式G2+&+ca的解集为｛x|_3g｝,则（

）

A.a<0

B.a+b+c<0

C.不等式ex?-fox+a<0的解集为｛x|-;vxv；｝

D.上+£的最小值为6

3/）+12

三,填空题（共4小题）

15.（2025春・宝山区月考）已知不等式』+2初+》<0的解集为｛2一2<“<3｝,贝1」实数而=—.

16,（2025•南通模拟）己知二次不等式——加+2〃-3<0的解集为&,小），-+—<2,则的

王々

取值范围是—.

17,（2024秋•许昌期末）若不等式r2