2.4 圆周角 学案 2025~2026学年苏科版数学九年级上学期

/2025-2026学年苏科版数学九年级上册2.4圆周角（巩固练习）【典型例题】【例1】如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（）A. B. C. D.【例2】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A.50° B.80° C.100° D.130°【例3】如图，、是的弦，且，若，则的度数为（）A. B. C. D.【例4】如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为______．【例5】如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，，求的长．【例6】如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【举一反三】【变式1】的外接圆的半径，则斜边的长是（）A. B. C. D.【变式2】如图，是的内接三角形，若，则的度数是（）A. B. C. D.【变式3】如图，是的外接圆，已知，则的度数为（）A. B. C. D.【变式4】如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【变式5】如图，已知AB为半圆的直径，AD为半圆的弦，C是弧BD的中点．若∠BAD＝40°，求∠ABC的度数．【变式6】如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）若，求的长．【巩固练习】1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A.50° B.80° C.90° D.100°2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（）A.6 B.12 C.6 D.63.如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是()A.10 B.5 C.10 D.204.如图，AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB＝29°，则∠P等于（）A.29° B.30° C.31° D.32°5.如图，是半圆直径，半径于点O，平分交弧于点D，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知圆的一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________．7.如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则__________．8.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°9.如图，为的直径，点，都在上，且平分，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．10.如图，已知，交于点B，．（1）求的度数；（2）求弧的度数．11.已知：如图，在中，弦与相交于点，，给出下列信息：①；②是的直径；③．（1）请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；（2）在（1）的情况下，若，求的直径．12.【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，；（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为______；（用的代数式表示）【问题解决】（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；【实际应用】（4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______．答案解析【典型例题】【例1】如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【例2】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A.50° B.80° C.100° D.130°【答案】D【例3】如图，、是的弦，且，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【例4】如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为______．【答案】12【例5】如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D．若，，求的长．【答案】解：如图，连接，是直径，，在中，，，，是直径，，的平分线交于点，，，，在中，，即．【例6】如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明：平分，，，；【小问2详解】解：如图，过点作于点，为的直径，，，平分，，，∴，，，由勾股定理得，，，，，，的半径为12．【举一反三】【变式1】的外接圆的半径，则斜边的长是（）A. B. C. D.【答案】C【变式2】如图，是的内接三角形，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【变式3】如图，是的外接圆，已知，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【变式4】如图，四边形内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【变式5】如图，已知AB为半圆的直径，AD为半圆的弦，C是弧BD的中点．若∠BAD＝40°，求∠ABC的度数．【答案】如图，设半圆的圆心为O，连接OD，OC，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝40°，∴∠ABD＝90°－40°＝50°，∠BOD＝2∠BAD＝80°，∵C是弧BD的中点，∴∠DOC＝∠BOD＝40°，∴∠DBC＝∠DOC＝20°，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝50°+20°＝70°．【变式6】如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）如图，连接．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴；【小问2详解】解：如图，连接．∵，∴是的直径，∴，由（1）可得．∵，∴．∴在中，，在中，．【巩固练习】1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A.50° B.80° C.90° D.100°【答案】D2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（）A.6 B.12 C.6 D.6【答案】B3.如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是()A.10 B.5 C.10 D.20【答案】A4.如图，AB是半圆的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆于点C，若∠CAB＝29°，则∠P等于（）A.29° B.30° C.31° D.32°【答案】D5.如图，是半圆直径，半径于点O，平分交弧于点D，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B6.已知圆的一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________．【答案】或7.如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则__________．【答案】8.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°【答案】629.如图，为的直径，点，都在上，且平分，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴；【小问2详解】解：如图，作于点，∴，∵为的直径，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴的半径为．10.如图，已知，交于点B，．（1）求的度数；（2）求弧的度数．【答案】（1）解：连接，如图，∵，，∴，∴，∴，而，得，∴，而，∴，∴．【小问2详解】解：由（1）得，，又，∴∴弧的度数为．11.已知：如图，在中，弦与相交于点，，给出下列信息：①；②是的直径；③．（1）请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；（2）在（1）的情况下，若，求的直径．【答案】（1）解：条件为①②，结论为③，结论正确，理由如下：连接，如图：∵是的直径；∴，∵∵，∴，又∵，∴；故答案为：①②，③（答案不唯一）．【小问2详解】解：连接，，如图：∵是的直径；∴，∵∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，，，即，∴，∴．12.【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，；（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为______；（用的代数式表示）【问题解决】（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；【实际应用】（4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______．【答案】（1），．故答案为：50，13