2025年下学期初中数学竞赛初选试卷

2025年下学期初中数学竞赛初选试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）已知非零实数a、b满足a²+ab+b²=0，则(a/b)²⁰²⁵+(b/a)²⁰²⁵的值为（）A.-2B.-1C.1D.2若关于x的方程x⁴-2x³+3x²-2x+k=0有两个不相等的正实数根，则k的取值范围是（）A.0<k<1/4B.0<k≤1/4C.-1<k<0D.k<0在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是△ABC内切圆上的动点，则PA²+PB²+PC²的最小值为（）A.20B.22C.26D.28已知实数x、y满足x²+y²=1，则(1-xy)(1+xy)的最大值与最小值之和为（）A.1B.3/2C.2D.5/2如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F分别在BC、CD上，且BE=2EC，CF=FD，连接AE、AF与对角线BD交于点M、N，则MN的长度为（）A.5/3B.2C.7/3D.8/3已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像经过点(1,2)，且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-1<x₁<0，1<x₂<2，则a的取值范围是（）A.-1<a<0B.0<a<1C.-2<a<-1D.1<a<2从1到2025的所有正整数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有（）个A.544B.576C.608D.640已知a、b是正整数，且满足a²-b²=2025，则这样的有序数对(a,b)共有（）对A.6B.8C.10D.12二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）计算：(2025³-2×2025²-2023)/(2025³+2025²-2026)=_________已知关于x的方程x²+mx+n=0的两根分别为两个连续整数的倒数，则m²-4n=_________如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则图中阴影部分的面积为_________已知正整数n≤2025，且n满足条件：n除以5余3，除以7余2，除以11余4，则n的最大值为_________在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(3,4)，点P在x轴上运动，当∠APB最大时，点P的坐标为_________已知a、b、c为正实数，且满足a+b+c=1，则(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)的最小值为_________三、解答题（共4小题，第15-16题每题14分，第17-18题每题18分，满分64分）已知二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且△ABC是等腰直角三角形。（1）求b、c的值；（2）若点P(m,n)是抛物线上的动点，且点P在第一象限内，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当线段PQ上存在点M，使得△ABM是等边三角形时，求m的取值范围。如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC上，且BD=BA，点E在AD上，且BE=BC。（1）求证：∠CBE=20°；（2）求∠BEC的度数；（3）求证：AE=EC。已知关于x的方程x⁴+ax³+bx²+cx+d=0的四个根分别是某个正方形的四个顶点所对应的复数的实部，且该正方形的中心在原点，一边与x轴平行。（1）求a的值；（2）若该正方形的面积为16，求b+c+d的值；（3）若方程x⁴+ax³+bx²+cx+d=0的所有根都是整数，求该正方形的边长。已知点M、N分别在正六边形ABCDEF的边AB、AF上，且AM/AB=AN/AF=k（0<k<1），连接MN，将△AMN沿MN翻折，得到△A'MN，设A'到CD的距离为d。（1）当k=1/2时，求d的值（用正六边形的边长表示）；（2）若正六边形的边长为2，求d与k之间的函数关系式；（3）当点A'落在边CD上时，求k的值。四、附加题（共2小题，每小题20分，满分40分）已知正整数m、n满足m²+n²=2025，且m<n。（1）求所有满足条件的(m,n)；（2）对于每一组满足条件的(m,n)，求能同时被m、n整除的最小正整数；（3）在（2）中所得到的所有最小正整数中，找出最大的那个数。如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，且在第一象限内，连接PA、PB、PC，当