2025年下学期初中数学竞赛九点圆定理试卷

2025年下学期初中数学竞赛九点圆定理试卷一、选择题（本题共6小题，每小题7分，满分42分）九点圆的基本性质：在任意三角形中，九点圆不经过的点是（）A.三边中点B.三条高的垂足C.顶点与垂心连线的中点D.内心与外心连线的中点九点圆与外接圆的关系：已知△ABC的外接圆半径为8，则其九点圆的半径为（）A.2B.4C.6D.8四点共圆判定：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD、BE为两条高，若AB=10，AC=8，则九点圆上任意两点间的最大距离为（）A.5B.6C.8D.10欧拉线与九点圆圆心：△ABC的外心为O，垂心为H，九点圆圆心为N。若OH=6，则ON的长度为（）A.2B.3C.4D.6费尔巴哈定理应用：已知△ABC的九点圆与内切圆相切，若内切圆半径r=2，外接圆半径R=5，则九点圆半径与r的比值为（）A.1.5B.2C.2.5D.3动态几何中的九点圆：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0,0)、B(4,0)、C(0,3)，当点C沿y轴向上移动2个单位时，九点圆圆心的坐标变化为（）A.向上移动1个单位B.向右移动1个单位C.向上移动2个单位D.坐标不变二、填空题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）九点圆方程：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(2,0)、C(0,2)，则其九点圆的标准方程为__________。垂心与九点圆：在锐角△ABC中，H为垂心，若九点圆经过点H，则△ABC的形状为__________。多点共圆证明：已知△ABC的三条高交于点H，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，连接DE、EF、FD，若∠EDF=45°，则九点圆中∠EHF的度数为__________。综合计算：△ABC的外接圆半径R=6，九点圆与AB边相切，若AB=8，则△ABC的面积为__________。三、解答题（本题共3小题，满分50分）1.九点圆的存在性证明（15分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，G、H、I分别为三条高的垂足，J、K、L分别为AH、BH、CH的中点（H为垂心）。求证：D、E、F、G、H、I、J、K、L九点共圆。证明思路提示：（1）连接DE、EF、FD，证明△DEF为△ABC的中点三角形；（2）通过SAS相似证明∠DGF=∠DEF，进而得到D、E、F、G四点共圆；（3）同理可证其他点均在同一圆上。2.九点圆性质的综合应用（15分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，H为垂心，O为外心，N为九点圆圆心。（1）求△ABC的外接圆半径R；（2）求OH的长度；（3）求九点圆的面积。解答步骤：（1）利用余弦定理求∠BAC的余弦值，再通过正弦定理R=AB/(2sin∠ACB)计算R；（2）根据外心、垂心坐标公式或欧拉定理OH²=9R²-(a²+b²+c²)求解；（3）九点圆半径r=R/2，进而计算面积。3.费尔巴哈定理的拓展探究（20分）费尔巴哈定理指出：“三角形的九点圆与内切圆及三个旁切圆均相切”。（1）已知△ABC的内切圆半径r=1，九点圆半径R_九点=2，且内切圆与九点圆的圆心距d=1，验证两圆相切；（2）若△ABC为正三角形，边长为a，分别求出其内切圆、九点圆、旁切圆的半径，并证明九点圆与旁切圆相切。附加思考：若△ABC为钝角三角形，费尔巴哈定理是否仍然成立？请说明理由。四、附加题（本题满分20分，不计入总分，供学有余力的同学挑战）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(t,0)、B(-t,0)、C(0,t)（t>0），动点P在△ABC的外接圆上运动，Q为P关于原点的对称点。（1）证明：Q的轨迹为△ABC九点圆的等圆；（2）当t=2时，求线段PQ中点的轨迹方程，并判断该轨迹与九点圆的位置关系。参考答案及评分标准（另附详解）：一、选择题：1.D2.B3.A4.B5.C6.A二、填空题：1.(x-0.5)²+(y-0.5)²=0.52.等边三角形3.90°4.24三、解答题：证明过程需体现中点三角形性质、四点共圆判定及对称性应用（15分）；（1）R=25/8（2）OH=7/8（3）面积=π(25/16)²（15分）；（1）d=R_九点-r=1，故相切（2）内切圆半径r=a/(2√3)，九点圆半径R_九点=a/(2√3)，旁切圆半径r_旁=a/√3，圆心距d=r_旁-R_九点=r_旁-r=R_九点，故相切（20分）。命题说明：试卷立足九点圆定理的核心概念，覆盖存在性证明、性质应用、拓展探究三个层次；结合初中数学竞赛考纲，融入坐标系、动态几何、综合计算等题型，强调逻辑推理与空间想象能力；附加