2025年下学期初中数学竞赛在线挑战试卷

2025年下学期初中数学竞赛在线挑战试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）若正整数(a)、(b)满足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，则(b-a)的最小值为（）A.9B.15C.21D.27已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像经过点((-1,2))、((1,0))、((2,5))，则(a+b+c=)（）A.-1B.0C.1D.2如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，点(D)为(BC)中点，以(D)为圆心作圆与(AB)相切，则该圆的半径为（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{18}{5})C.(\frac{24}{13})D.(\frac{30}{13})若关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的两个根互为倒数，则(m=)（）A.(-\sqrt{3})B.(\sqrt{3})C.(\pm2)D.2已知(a=\sqrt{5}-2)，(b=\sqrt{5}+2)，则(a^2+ab+b^2)的值为（）A.18B.19C.20D.21一个正多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的对角线共有（）A.35条B.40条C.45条D.50条若不等式组(\begin{cases}x+a>2\b-2x>0\end{cases})的解集为(-1<x<2)，则(a+b=)（）A.2B.3C.4D.5在平面直角坐标系中，点(A(1,2))绕原点顺时针旋转(90^\circ)后得到点(A')，再将(A')向右平移3个单位得到点(B)，则点(B)的坐标为（）A.(5,-1)B.(2,-1)C.(-1,5)D.(-1,2)已知(x)为实数，且(x+\frac{1}{x}=3)，则(x^4+\frac{1}{x^4}=)（）A.47B.49C.51D.53从1到2025的所有正整数中，能被3或5整除的数共有（）A.1080个B.1134个C.1176个D.1224个二、填空题（共8题，每题6分，共48分）分解因式：(x^3-4x^2y+4xy^2=)__________。若(\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+y=3)，则(x^y=)__________。已知扇形的半径为6，圆心角为(120^\circ)，则该扇形的弧长为__________，面积为__________。若一组数据(2,3,x,5,7)的众数为7，则这组数据的中位数为__________。如图，在平行四边形(ABCD)中，(E)为(AD)中点，(BE)与(AC)交于点(F)，若(\triangleAEF)的面积为2，则平行四边形(ABCD)的面积为__________。已知关于(x)的分式方程(\frac{2x}{x-1}-\frac{m}{1-x}=3)有增根，则(m=)__________。若(a)、(b)为实数，且满足(|a-2|+\sqrt{b+3}=0)，则((a+b)^{2025}=)__________。一个不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黑球，从中随机摸出2个球，则摸出的两球颜色不同的概率为__________。三、解答题（共6题，共102分）（16分）计算：（1）(\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{2}}-|1-\sqrt{2}|)（2）(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x}{x-2}\right)\div\frac{x+2}{x-2})（16分）解方程组与不等式组：（1）解方程组(\begin{cases}x+2y=5\2x^2-3xy-2y^2=0\end{cases})（2）解不等式组(\begin{cases}3(x-1)<5x+1\\frac{x-1}{2}\geq2x-4\end{cases})，并写出所有整数解。（16分）如图，在(\triangleABC)中，(\angleACB=90^\circ)，以(AC)为直径作圆(O)交(AB)于点(D)，过点(D)作圆(O)的切线交(BC)于点(E)。（1）求证：(BE=CE)；（2）若(AC=6)，(BC=8)，求(DE)的长。（18分）某商店销售一种进价为每件40元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足关系(y=-2x+200)（(40\leqx\leq100)）。（1）设每天的销售利润为(w)元，求(w)与(x)的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若该商店每天的固定成本为200元，要想每天获利1200元，销售单价应定为多少元？（18分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(y=ax^2+bx+c)经过点(A(-1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))。（1）求抛物线的解析式；（2）点(P)为抛物线上一点，且位于第四象限，若(\trianglePAB)的面积为12，求点(P)的坐标；（3）点(Q)为抛物线对称轴上一点，是否存在点(Q)使得(\triangleQAC)为等腰三角形？若存在，直接写出点(Q)的坐标；若不存在，说明理由。（18分）已知点(M)为正方形(ABCD)边(BC)上一点，连接(AM)，过点(D)作(DE\perpAM)于点(E)，延长(DE)交(AB)于点(F)。（1）求证：(AF=BM)；（2）若(M)为(BC)的中点，且(AB=4)，求(AE)的长；（3）连接(CE)，若正方形边长为4，当点(M)在(BC)上运动时，求(CE)的最小值。四、附加题（共2题，每题15分，不计入总分，供学有余力的同学挑战）已知正整数(n)满足(n^2+n+1)能被13整除，求(n)的最小值。在平面直角坐标系中，点(A(0,4))，点(B(3,0))，点(P)为线段(AB)上一动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，(PE\perpy)轴于点(E)，求矩形(PDOE)面积的最大值。参考答案及评分标准（仅部分展示）一、选择题A解析：(2025=45^2)，列举勾股数得(a=18)，(b=27)，(b-a=9)。B解析：代入三点坐标解得(a=1)，(b=-1)，(c=0)，则(a+b+c=0)。...二、填空题11.(x(x-2y)^2)12.413.(4\pi)，(12\pi)14.5...三、解答题19.（1）原式(=3\