2025年下学期高中数学发现式学习试卷

2025年下学期高中数学发现式学习试卷一、集合与函数概念（20分）1.1探究性问题（10分）某电商平台在"双11"促销期间记录了每日订单量数据：|日期（11月）|1日|2日|3日|4日|5日||--------------|-----|-----|-----|-----|-----||订单量（万件）|2.1|3.5|5.3|7.4|9.8|（1）观察数据特点，猜想订单量y与日期x（x=1,2,3,4,5）可能满足的函数关系（可选择一次函数、二次函数或指数函数模型），并说明猜想依据；（2）根据你的猜想建立函数模型，预测11月6日的订单量，并计算该模型对前5天数据的平均误差（误差=|预测值-实际值|）；（3）若11月6日实际订单量为12.5万件，分析你的模型是否需要修正，若需要，请提出改进方案。1.2开放性问题（10分）设非空集合A是由满足某种共同特征的函数构成的集合，已知函数f(x)=x²、g(x)=2ˣ、h(x)=sinx均属于集合A。（1）请写出集合A中元素可能满足的2个不同特征，并举例验证；（2）若集合B={y|y=f(x)+g(x),x∈R}，试用描述法表示集合B，并说明理由。二、三角函数（25分）2.1情境探究题（15分）某游乐场的摩天轮半径为15米，中心距地面20米，旋转周期为6分钟。小明在摩天轮座舱内做数学观察：（1）建立适当的平面直角坐标系，写出小明座舱离地面高度h（米）与旋转时间t（分钟）的函数关系（以小明进入最低点为计时起点t=0）；（2）在摩天轮旋转一周过程中，计算小明离地面高度超过27.5米的持续时间；（3）若摩天轮加速旋转，周期缩短为4分钟，分析函数解析式中哪些量会发生变化，并说明对函数图像的影响。2.2实验设计题（10分）现有一块半径为10cm的圆形硬纸板，计划通过剪拼制作一个正三棱锥模型。（1）设计剪拼方案（用文字描述或作图说明），使三棱锥的侧棱长相等；（2）若要使三棱锥体积最大，求出此时底面边长与侧棱长的比值（参考数据：sin60°≈0.866，可使用计算器）。三、数列与不等式（30分）3.1问题链探究（18分）在"一尺之棰，日取其半"的经典情境中：（1）写出每日剩余长度构成的数列{aₙ}的通项公式，并证明该数列为等比数列；（2）若改为"日取其三分之一"，构造新数列{bₙ}，比较两个数列前n项和Sₙ与Tₙ的大小关系；（3）拓展思考：若"日取其k分之一"（k>1），求使得剩余长度不足原长万分之一的最小天数n（用含k的代数式表示）。3.2数学建模题（12分）某农场计划围建矩形养鸡场，现有可围100米篱笆的材料，鸡场一面靠墙（墙长不限）：（1）设养鸡场宽为x米，用x表示鸡场面积S，并求出S的最大值；（2）若在鸡场内部横向增加一道篱笆分隔成两个区域，重新求面积最大值，并比较两种方案的最优解差异；（3）结合生活实际，说明在选择养鸡场方案时还需考虑哪些因素（至少列举2点）。四、立体几何（25分）4.1动手操作题（15分）给定一个棱长为4cm的正方体橡皮泥：（1）用平面截正方体，能否得到截面为正六边形的几何体？若能，请画出截面位置示意图；若不能，说明理由；（2）若将正方体削成一个体积最大的球，计算削去部分的体积；（3）设计一个方案，将正方体分割成3个三棱锥，使每个三棱锥的体积相等（用文字描述分割方法）。4.2空间想象题（10分）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°：（1）画出该三棱柱的三视图（主视图、左视图、俯视图），标注尺寸；（2）若点P是侧棱BB₁上的动点，当P在什么位置时，三棱锥P-A₁BC的体积最大？求出最大值。五、概率与统计（20分）5.1数据分析题（12分）某班级40名学生的数学单元测试成绩如下（单位：分）：82,95,78,85,90,88,92,75,80,94,86,89,79,83,91,87,81,93,84,76,85,90,88,77,82,89,92,86,80,95,87,83,91,78,84,89,85,93,81,86.（1）制作该组数据的频率分布直方图（组距取5分，起点65分）；（2）计算成绩的中位数和平均数，分析两者差异的原因；（3）从成绩在[90,100]的学生中随机抽取2人参加数学竞赛，求其中至少有1名成绩超过93分的概率。5.2决策应用题（8分）某口罩厂有A、B两条生产线，A线生产普通口罩，B线生产N95口罩。根据市场需求，每日总产量需满足5000≤x+y≤8000（x为A线产量，y为B线产量），且N95口罩产量不超过普通口罩的1/3。已知A线每万只利润2000元，B线每万只利润5000元。（1）列出满足条件的不等式组，并画出可行域；（2）如何安排生产计划，使每日利润最大？求出最大利润。六、导数及其应用（30分）6.1探究性计算题（18分）已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1（1）求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间和极值；（3）若方程f(x)=k有三个不同实根，求实数k的取值范围，并结合函数图像说明理由。6.2优化设计题（12分）某工厂要设计一个容积为V的圆柱形储油罐，已知侧面材料单价为100元/平方米，上下底面材料单价为200元/平方米（厚度忽略不计）。（1）设圆柱底面半径为r，写出总造价C关于r的函数关系式；（2）求总造价最低时的底面半径与高的比值；（3）若实际制作时，底面半径不得超过2米，讨论此时最优解的变化情况。七、数学建模综合题（20分）某社区计划建造一个矩形休闲广场，要求广场内包含一个圆形花坛和一个长方形健身区。已知广场周长固定为100米，圆形花坛半径不小于3米，健身区面积不小于50平方米。（1）建立广