2025年下学期高中数学竞赛理想信念试卷

2025年下学期高中数学竞赛理想信念试卷一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）已知函数$f(x)=\log_a(9x)$，$\log_a(27x)$，$\log_a(3x)$成等差数列，且$a>0$，$a\neq1$，则正数$x$的值为______。设集合$A={1,2,3,\cdots,100}$，$B={a^2+2a\mida\inA}$，则$A\cupB$的元素个数为______。在平面直角坐标系中，椭圆$\Gamma:\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{914}=1$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$P$在椭圆上，线段$PF_1$交椭圆于点$Q$。若$\triangleF_2PQ$的周长为8，则线段$F_1Q$的长度为______。设函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，$g(x)=(x-1)f(x)$为奇函数，$h(x)=f(x)+x$为偶函数，则$f(x)$的最大值为______。若正整数$k$满足$\frac{\sin20^\circ}{\cos25^\circ}+\frac{\sin25^\circ}{\cos20^\circ}=k$，则$k$的最小值为______。在任意四棱柱的12条棱中随机选取两条不同的棱，记事件“两条棱所在直线平行”的概率为$P(T)$，则$P(T)$的所有可能值为______。平面内三个单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\lfloor\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\rfloor+\lfloor\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\rfloor$（其中$\lfloorx\rfloor$表示不超过$x$的最大整数），则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|$的取值范围是______。将数字1，2，3，…，9排列为$a,b,c,d,e,f,g,h,i$，使得三位数$\overline{abc}$，$\overline{def}$，$\overline{ghi}$之和等于2025，则不同的排列方法数为______。二、解答题（本大题共3小题，满分56分）9.（本题满分16分）在平面直角坐标系$xOy$中，点集$\Gamma={(x,y)\midy^2=2x+2|x|}$。若$\Gamma$中的三个不同点$M$，$P$，$Q$满足：$M$为$PQ$的中点，且$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=-2$，求点$M$的坐标。解题信念提示：面对复杂曲线方程，可通过分类讨论简化问题。正如数学家华罗庚所言“善于‘退’，足够地‘退’，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍”。本题中，绝对值符号的存在提示我们需分$x\geq0$与$x<0$两种情况讨论，将$\Gamma$转化为熟悉的抛物线与直线，再结合中点坐标公式与向量数量积求解。10.（本题满分20分）正四面体$ABCD$各棱长均为2，$P$，$Q$分别是棱$AB$，$AC$上的动点（允许位于棱的端点），且$AP+AQ=2$，$M$为棱$AD$的中点。在$\triangleMPQ$中，$MH$为$PQ$边上的高，求$MH$长度的最小值。解题信念提示：立体几何中的最值问题，常需通过转化思想将空间问题平面化。正如李杭真在数学竞赛中探索“构型优雅的平面几何”时所言：“关键结构往往隐藏在复杂表象之下，需通过辅助线与变换揭示本质”。本题可设$AP=t$，$AQ=2-t$，利用空间向量表示$M$，$P$，$Q$的坐标，将$MH$表示为关于$t$的函数，再通过导数或不等式求最值。11.（本题满分20分）设$a$为实数，$m$，$n$为正整数，且$\sinma\cdot\sinna\neq0$。证明：$$\frac{1}{\sinma}+\frac{1}{\sinna}=\frac{m\sinna+n\sinma}{\sinma\sinna}+\frac{\sin(m+n)a}{\sinma\sinna}$$解题信念提示：三角恒等式的证明需紧扣“目标导向”，通过和差化积、积化和差公式搭建已知与未知的桥梁。正如数学竞赛选手李明在面对复杂函数极值问题时的做法：“先拆解表达式结构，再逐步验证每一步变形的合理性”。本题可从右侧通分入手，利用$\sin(m+n)a=\sinma\cosna+\cosma\sinna$展开，化简后与左侧对比即可得证。三、解答题（本大题共4小题，每小题45分，满分180分）12.（平面几何）如图，在锐角$\triangleABC$中，$AB=AC$，$O$为外心，$H$为垂心，$AD$为高，$E$为$AD$中点。延长$EH$交$BC$于点$F$，连接$FO$。证明：$FO\perpBC$。信念拓展：本题需综合运用欧拉线、三角形五心等知识。正如数学家欧拉发现“三角形外心、重心、垂心共线”时的坚持，面对几何难题，需耐心寻找图形中的不变量与对称性。可通过构造辅助圆或向量法，将$O$，$H$的性质转化为代数关系，再结合$E$为中点的条件推导$F$的位置特征。13.（代数）设数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{1+a_n^2}$，$n\in\mathbb{N}^*$。（1）证明：数列${\arctana_n}$为等比数列；（2）求$\sum_{k=1}^na_k$的极限。信念拓展：递归数列的收敛性分析需结合函数单调性与不等式放缩。正如竞赛选手在日记中写道：“递归关系如同数学中的‘人生轨迹’，每一步迭代都蕴含着对初始值的传承与突破”。第（1）问可令$b_n=\arctana_n$，证明$b_{n+1}=2b_n$；第（2）问利用$\tanb_n=a_n$与$b_n$的极限值，通过泰勒展开或夹逼定理求级数和。14.（数论）求所有正整数$n$，使得$n^2+2025$为完全平方数。信念拓展：不定方程的求解需运用“无穷递降法”与“因式分解”，正如费马在研究数论问题时的执着：“数学的本质在于发现规律，而规律往往隐藏在简单数字的组合中”。可设$n^2+2025=m^2$，则$(m-n)(m+n)=2025$，通过分解2025的因数对，结合$m>n$且$m$，$n$同奇偶性求解。15.（组合数学）从20个数1，2，…，20中选出4个不同的数，使它们的乘积为2025的倍数，求不同选法的数目。信念拓展：组合计数问题需结合容斥原理与质因数分解，正如“抽屉原理”所揭示的：“合理分类是解决复杂计数问题的钥匙”。2025=3⁴×5²，先确定4个数中必须包含的质因数，再分情况讨论含3和5的数字组合，最后用排除法减去不符合条件的选法。四、数学与信念（本大题共1小题，满分36分）16.阅读以下材料，回答问题：数学家陈景润在证明“哥德巴赫猜想”时，曾经历数百次失败，最终在1966年发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，成为哥德巴赫猜想研究的里程碑。他在日记中写道：“在科学的道路上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。”（1）结合上述材料，说明数