2025年下学期高中数学竞赛培优班试卷

2025年下学期高中数学竞赛培优班试卷一、选择题（共8小题，每小题6分，满分48分）已知集合(A={x\midx^2-5x+6\leq0})，(B={x\mid2^x>4})，则(A\capB=)（）A.((2,3])B.([2,3])C.((2,+\infty))D.([3,+\infty))复数(z=\frac{3-i}{1+2i})（(i)为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限函数(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))在区间([0,\pi])上的对称轴方程为（）A.(x=\frac{\pi}{12})B.(x=\frac{7\pi}{12})C.(x=\frac{\pi}{6})D.(x=\frac{2\pi}{3})已知等差数列({a_n})中，(a_3+a_7=10)，则(a_2+a_4+a_6+a_8=)（）A.10B.20C.30D.40椭圆(\frac{x^2}{2025}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(b>0)）的左焦点为(F_1)，过(F_1)的直线交椭圆于(A,B)两点，若线段(AB)的中点坐标为((-3,1))，则椭圆的离心率为（）A.(\frac{2\sqrt{5}}{5})B.(\frac{\sqrt{5}}{3})C.(\frac{\sqrt{3}}{2})D.(\frac{\sqrt{6}}{3})设向量(\vec{a},\vec{b})满足(|\vec{a}|=2)，(|\vec{b}|=1)，且(\vec{a}\cdot\vec{b}=-1)，则(|\vec{a}+2\vec{b}|=)（）A.(2\sqrt{3})B.(2\sqrt{2})C.(\sqrt{10})D.(\sqrt{14})若正整数(n)满足(2025=3^4\times5^2)，则(n)的正因数个数为（）A.12B.15C.18D.20从1到2025的所有正整数中，能被3或5整除的数的个数为（）A.810B.972C.1080D.1215二、填空题（共6小题，每小题8分，满分48分）函数(f(x)=\log_3(9x)\cdot\log_2(27x))的最小值为________。已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)，则(a_n=)________。在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，则该三棱锥外接球的表面积为________。若实数(x,y)满足(x+2y=1)，则(x^2+y^2+2y)的最小值为________。圆(x^2+y^2-4x+6y-12=0)上到直线(3x-4y+2=0)的距离为1的点的个数为________。甲、乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定先掷出6点者获胜，若甲先掷，则甲获胜的概率为________。三、解答题（共4小题，满分104分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分20分）已知函数(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+2\cos^2x)。（1）求(f(x))的最小正周期及单调递增区间；（2）若(x\in[0,\frac{\pi}{2}])，求(f(x))的值域。16.（本题满分24分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范围。17.（本题满分28分）设数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，满足(S_n=2a_n-n)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）证明：数列({a_n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的通项公式；（3）设(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。18.（本题满分32分）如图，在平面直角坐标系中，已知点(A(0,2))，(B(2,0))，(C(-2,0))，(D(0,-2))，动点(P)满足(|PA|+|PB|=2\sqrt{5})。（1）求动点(P)的轨迹方程；（2）设直线(PD)与轨迹交于另一点(Q)，直线(PC)与轨迹交于另一点(R)，证明：直线(QR)恒过定点，并求出该定点坐标。四、附加题（共2小题，每小题25分，满分50分）19.（几何证明选讲）如图，(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圆，(D)为(BC)延长线上一点，(AD)交(\odotO)于点(E)，连接(BE)。（1）证明：(\angleAEB=\angleADB)；（2）若(AB=5)，(BC=6)，(CD=2)，求(AE)的长。20.（数论与组合）（1）证明：对于任意正整数(n)，(n^5-n)能被5整除；（2）从1到2025的正整数中，随机选取两个不同的数(a,b)，求(a^2+b^2)能被5整除的概率。注意事项：本试卷共20题，满分300分，考试时间180分钟；答题前需填写姓名、准考证号，字迹工整，卷面整洁；解答题需写出详细推