2025年下学期高中数学第二课堂活动试卷

2025年下学期高中数学第二课堂活动试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.(\varnothing)函数(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和对称轴方程分别为（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b}))，则(m=)（）A.3B.5C.7D.9某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，则公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4函数(f(x)=\frac{\lnx}{x})的单调递增区间是（）A.((0,e))B.((e,+\infty))C.((0,1))D.((1,e))已知双曲线(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的离心率为(\sqrt{3})，则其渐近线方程为（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)从5名男生和4名女生中选出3人参加数学竞赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）A.80种B.100种C.120种D.140种已知函数(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})则(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所对的边分别为(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，则(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.3D.(\sqrt{11})执行如图所示的程序框图，若输入(n=5)，则输出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25已知函数(f(x)=x^3-3x^2+mx+1)在区间((-1,1))上单调递减，则实数(m)的取值范围是（）A.((-\infty,-3])B.((-\infty,0])C.([0,+\infty))D.([3,+\infty))二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若复数(z=(1+i)(2-i))，则(|z|=)________．已知(x)，(y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq2,\y\leq2,\end{cases})则(z=x+2y)的最大值为________．在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所对的边分别为(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(\angleC=60^\circ)，则(\triangleABC)的面积为________．已知函数(f(x)=e^x-ax-1)在(x=0)处取得极值，则(a=)，此时(f(x))的最小值为．（第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)．（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)．（本小题满分12分）某学校为了解学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生进行数学成绩调查，得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中(a)的值；（2）估计这100名学生数学成绩的平均数和中位数（精确到0.1）；（3）若从成绩在([80,90))和([90,100])的学生中随机选取2人，求至少有1人成绩在([90,100])的概率．（本小题满分12分）如图，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)的中点．（1）求证：(A_1D\perpBC)；（2）求二面角(A_1-BD-C_1)的余弦值．（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左、右焦点分别为(F_1)，(F_2)，离心率为(\frac{\sqrt{2}}{2})，且过点((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))．（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）过点(F_2)的直线(l)与椭圆(C)交于(A)，(B)两点，若(\triangleAF_1B)的面积为(\frac{4\sqrt{3}}{5})，求直线(l)的方程．（本小题满分12分）已知函数(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）．（1）当(a=1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）若函数(f(x))在(x=1)处取得极大值，求实数(a)的取值范围．（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，已知点(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，动点(P(x,y))满足(|PA|+|PC|=4)．（1）求动点(P)的轨迹方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与动点(P)的轨迹交于(M)，(N)两点，若(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0)（(O)为坐标原点），求证：直线(l)恒过定点，并求出该定点的坐标．四、附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．选做其中一题，若两题都做，按第一题计分）（选做题）在平面直角坐标系(xOy)中，曲线(C_1)的参数方程为(\begin{cases}x=2\cos\theta,\y=\sin\theta\end{cases})（(\theta)为参数），以坐标原点为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C_2)的极坐标方程为(\rho\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2})．（1）求曲线(C_1)的普