2025年下学期高中数学与空间思维测评试卷

2025年下学期高中数学与空间思维测评试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知空间向量a=(2,-1,3)，b=(1,2,-4)，则a·b的值为（）A.-8B.-10C.10D.8在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，则异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/3D.1/3已知平面α的一个法向量为n=(3,-4,5)，点P(2,1,-1)在平面α上，则点Q(1,0,1)到平面α的距离为（）A.√2/2B.√2C.3√2/2D.2√2某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.12πB.16πC.20πD.24π在空间直角坐标系中，球面方程为x²+y²+z²-2x+4y-6z=0，则球心坐标和半径分别为（）A.(1,-2,3)，√14B.(-1,2,-3)，√14C.(1,-2,3)，14D.(-1,2,-3)，14已知直线l的方向向量为s=(1,-1,2)，平面α的法向量为n=(2,λ,-1)，若l⊥α，则λ的值为（）A.-1B.0C.1D.2三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，则三棱锥外接球的表面积为（）A.3πB.4πC.5πD.6π已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的体积为（）A.12πB.16πC.18πD.20π在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)关于平面xOz对称的点B与点C(2,1,1)之间的距离为（）A.√3B.√5C.√6D.√10已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则其侧面积为（）A.12√10B.18√10C.24√10D.36√10如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=1，则直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正切值为（）A.√2/2B.√3/3C.√5/5D.√6/6已知点M在球O的表面上，过M的三条棱MA,MB,MC两两垂直，且MA=1,MB=2,MC=3，则球O的表面积为（）A.14πB.28πC.56πD.112π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知空间向量a=(m,1,-2)，b=(2,n,1)，若a//b，则m+n=________.正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为√3，则异面直线A₁C与B₁A所成角的大小为________.某几何体的三视图由一个三角形和三个半径为1的半圆组成，则该几何体的表面积为________.在四面体ABCD中，AB=CD=√5，AC=BD=√10，AD=BC=√13，则四面体的体积为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知空间三点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3).（1）求向量AB与AC的夹角余弦值；（2）求平面ABC的一个法向量.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为PD的中点.（1）求证：AE//平面PBC；（2）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知球O的半径为R，其内接正四棱柱的表面积为24，求正四棱柱体积的最大值.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，M为A₁B₁的中点.（1）求证：CM⊥平面A₁BC；（2）求二面角A₁-BC-M的余弦值.21.（本小题满分12分）已知圆锥SO的底面半径为2，母线长为4，点A,B在底面圆周上，且∠AOB=120°（O为底面圆心）.（1）求圆锥的体积；（2）求点S到直线AB的距离；（3）求异面直线SA与OB所成角的余弦值.22.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E,F分别在棱A₁D₁,C₁D₁上，且A₁E=C₁F=λ（0<λ<2）.（1）当λ=1时，求三棱锥B₁-EFD的体积；（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面B₁EF？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案与评分标准一、单项选择题B2.D3.C4.A5.A6.C7.A8.A9.B10.A11.C12.B二、填空题-314.60°15.5π16.8三、解答题17.（1）AB=(-1,2,0)，AC=(-1,0,3)，cosθ=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)=1/(√5·√10)=√2/10.（2）设法向量n=(x,y,z)，由n·AB=0且n·AC=0，得-x+2y=0，-x+3z=0，取x=6，则n=(6,3,2).18.（1）取PC中点F，连接EF,BF，可证四边形ABFE为平行四边形，得AE//BF，进而证AE//平面PBC.（2）以A为原点建立坐标系，PC=(4,2,-2)，平面AEC的法向量n=(1,-2,-2)，sinθ=|PC·n|/(|PC|·|n|)=√6/9.设正四棱柱底面边长为a，高为h，则2a²+4ah=24，体积V=a²h.由a²+2ah=12得h=(12-a²)/(2a)，代入V=a(12-a²)/2=6a-a³/2.求导得V'=6-3a²/2，令V'=0得a=2，此时h=2，Vmax=8.20.（1）以A为原点建立坐标系，CM=(1,-2,2)，A₁B=(2,0,-2)，A₁C=(0,2,-2)，可证CM·A₁B=0且CM·A₁C=0.（2）平面A₁BC的法向量n₁=(1,1,1)，平面MBC的法向量n₂=(2,2,1)，cosθ=(n₁·n₂)/(|n₁|·|n₂|)=5√3/9.21.（1）圆锥高h=√(4²-2²)=2√3，体积V=(1/3)πr²h=(8√3/3)π.（2）AB=2√3，点O到AB距离为1，点S到AB距离为√(h²+1²)=√13.（3）以O为原点建立坐标系，SA=(1,√3,-2√3)，OB=(-1,√3,0)，cosθ=|SA·OB|/(|SA|·|OB|)=1/4.22.（1）λ=1时，E(1,0,2)，F(0,1,2)，D(0,2,0)，DE=(1,-2,2)，DF=(0,-1,2)，体积V=(1/6)|DE·(DF×DB₁)|=2/3.（2）平面BEF的法向量