小学数学租船问题教学案例及分析

引言“租船问题”是小学数学“解决问题”领域中的经典内容，通常出现在中年级段。它并非简单的计算练习，而是融合了运算能力、优化思想、策略选择以及生活经验的综合性问题。这类问题紧密联系生活实际，能够有效激发学生的探究兴趣，培养其有序思考、合理决策以及运用数学知识解决实际问题的能力。本文将通过一个具体的教学案例，详细阐述“租船问题”的教学设计思路、实施过程，并对教学效果与学生思维发展进行深入分析，以期为一线数学教师提供有益的参考。一、教学案例（一）教学内容人教版小学数学三年级下册“数学广角——优化”单元中的“租船问题”（注：不同版本教材可能在具体年级和单元设置上略有差异，此处以常见教学情境为例）。（二）教学目标1.知识与技能：使学生能结合具体情境，运用所学的乘除法知识解决租船问题，学会考虑多种方案，并尝试选择最优方案。2.过程与方法：引导学生经历从实际问题中抽象出数学模型，通过独立思考、合作交流等方式，体验解决问题策略的多样性，培养学生的有序思考能力和初步的优化意识。3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，培养学生勤俭节约的意识和应用数学解决实际问题的信心。（三）教学重难点*重点：掌握解决租船问题的基本方法，能列出多种租船方案。*难点：在多种方案中，如何根据实际情况（如尽量坐满、价格最便宜等）选择最优方案，理解“最省钱”的策略。（四）教学准备多媒体课件、学习单（包含情境图、问题及表格）。（五）教学过程1.创设情境，导入新课师：同学们，春天来了，阳光明媚，正是出游的好时节。我们班的班委们计划组织一次划船活动，想邀请大家一起去。但是，租船的时候遇到了一些小问题，需要我们帮忙解决，你们愿意吗？（出示情境图：公园湖边有不同类型的船只，如大船限乘6人，每条租金30元；小船限乘4人，每条租金24元。我们班一共有32人。）师：从图中你能获得哪些数学信息？生：（观察后回答）有大船和小船，大船能坐6人，30元一条；小船能坐4人，24元一条。我们班有32人要去。师：非常好！那么，怎样租船最合理、最省钱呢？今天，我们就一起来研究这个“租船问题”。（板书课题：租船问题）2.自主探究，合作交流师：“最合理、最省钱”是什么意思呢？（引导学生理解“合理”可能指安全、不浪费座位等；“省钱”就是花的钱最少。）今天我们主要从“最省钱”的角度来考虑。师：32人去划船，有大船和小船两种选择，我们可以怎么租呢？请同学们先独立思考，把你的想法在学习单上写一写，看看你能想到几种不同的租船方法。如果有困难，可以和同桌小声讨论一下。（学生独立思考，尝试设计方案，教师巡视指导，关注学生的思考过程和不同的表示方法。）（1）初步尝试，展示方案师：老师看到很多同学都有了自己的想法，谁愿意把你的租船方案和大家分享一下？（学生可能会出现以下几种初步方案，教师根据学生回答板书主要方案，如：）*方案一：全租大船。*方案二：全租小船。*方案三：大船和小船混着租。师：这些方案都能让32人坐上船吗？我们来验证一下，并算一算每种方案需要花多少钱。*方案一：全租大船师：全租大船，需要几条？32人，每条大船坐6人。生：32÷6=5（条）……2（人）。剩下的2人也要租一条船，所以一共要6条大船。师：费用是多少呢？生：6×30=180（元）。*方案二：全租小船师：那如果全租小船呢？生：32÷4=8（条），正好坐满。费用是8×24=192（元）。*方案三：大船小船混着租师：刚才我们考虑了全租大船和全租小船的情况。大家发现全租大船需要180元，全租小船需要192元，哪种更便宜些？生：全租大船便宜。师：但是，全租大船时，最后一条船只坐了2人，空了4个座位，是不是有点浪费呢？如果我们租一些大船，再租一些小船，会不会更省钱呢？比如，少租一条大船，剩下的人改租小船，看看怎么样？（引导学生思考：如果租5条大船，能坐多少人？还剩多少人？）生：5条大船能坐5×6=30人，还剩32-30=2人。剩下的2人租一条小船。师：这个方案需要几条大船几条小船？费用是多少？生：5条大船和1条小船。费用是5×30+1×24=150+24=174元。师：这个方案比全租大船（180元）更便宜了！还有没有更省钱的方案呢？如果租4条大船，剩下的人租小船，会怎么样？（学生独立计算，然后小组交流。）生：4条大船能坐4×6=24人，还剩32-24=8人。8人租小船，8÷4=2条。所以是4条大船和2条小船。费用是4×30+2×24=120+48=168元。师：哇，这个方案更省钱了！还有没有其他方案呢？比如3条大船？2条大船？1条大船？大家可以在学习单的表格里填一填，算一算。（出示学习单上的表格，学生分组合作，完成不同大船数量下的小船数量及总费用计算。）大船条数大船能坐人数剩余人数小船条数小船能坐人数总人数总费用（元）:-------:-----------:-------:-------:-----------:-----:-----------65432103.分析比较，优化方案师：同学们都完成得很认真。现在我们来看看各个小组填写的表格，一起汇总一下。（师生共同完成表格的填写，并重点关注总人数是否满足32人，以及费用情况。）师：观察表格中的总费用，哪种方案的总费用最低呢？生：租4条大船和2条小船，总费用168元。师：我们来看看这个方案：4条大船坐24人，2条小船坐8人，正好是32人，没有空座位。费用是168元。还有没有比这个更省钱的方案呢？比如租3条大船，剩下的人需要几条小船？费用是多少？生：3条大船坐18人，剩下14人。14÷4=3（条）……2（人），所以需要4条小船。总费用是3×30+4×24=90+96=186元，比168元贵。师：看来，并不是大船越少越省钱，也不是小船越多越省钱。那我们在选择方案的时候，要注意什么呢？生1：要尽量让船坐满，不要有空座位。生2：可以先考虑多租人均价格便宜的船。师：（引导学生计算人均价格）我们来看看，大船每人多少钱？小船每人多少钱？生：大船30元坐6人，30÷6=5元/人。小船24元坐4人，24÷4=6元/人。所以大船人均更便宜。师：所以，我们可以优先考虑租大船，因为大船人均更划算。但是，租大船的时候，如果剩下的人数比较少，租一条大船就不划算了，这时候可以考虑改租小船。而且，要尽量让所有的船都坐满，这样才最省钱。刚才的4条大船和2条小船，是不是正好坐满了？生：是！师：所以，这个方案既考虑了优先租人均便宜的大船，又保证了没有空座位，所以它是最省钱的方案。4.巩固练习，深化理解师：刚才我们一起解决了32人租船的问题。现在，老师这里还有一个类似的问题，看看大家能不能用今天学到的方法来解决。（出示练习题：如果我们班有40人去划船，大船限乘6人，租金30元；小船限乘4人，租金24元。怎样租船最省钱？）师：请大家独立思考，在练习本上列出你的方案，并算出最省钱的费用。做完后，可以和同桌交流一下你的想法。（学生独立完成，教师巡视指导，关注学生是否能有序思考，是否能找到最优方案。之后请学生汇报，重点说明自己的思考过程。）5.课堂总结，拓展延伸师：同学们，今天我们一起研究了“租船问题”，你有什么收获？生1：我学会了租船的时候可以有很多种方案。生2：我知道了要先算一算大船和小船哪种人均更便宜，然后优先租便宜的。生3：还要尽量让船坐满，这样才省钱。生4：如果有余数，剩下的人不够租一条大船时，可以考虑租小船，或者调整大船和小船的数量，看看哪种更划算。师：同学们总结得都非常好！在解决租船这类问题时，我们通常要先考虑哪种船的人均费用更低，优先租用。然后根据总人数算出需要多少条这种船，如果有剩余的人数，再考虑租用另一种船。同时，要尝试不同的组合，比较各种方案的总费用，选择最省钱的方案。生活中还有很多类似的问题，比如租车、租会议室等，都可以用今天学到的方法来解决。希望大家能把今天学到的知识运用到生活中去，做个会精打细算的小能手！二、案例分析（一）注重情境创设，激发学习内驱力本案例从学生熟悉的“春游划船”情境入手，迅速将学生带入问题情境中，使学生感受到数学与生活的紧密联系，激发了他们解决问题的兴趣和欲望。情境的创设不仅为教学提供了真实的问题背景，也让学生体会到学习数学的实用价值。（二）引导自主探究与合作交流，体现学生主体性在教学过程中，教师没有直接给出解决问题的方法，而是通过设问、引导，鼓励学生独立思考，尝试列出不同的租船方案。从“全租大船”、“全租小船”到“大船小船混租”，教师一步步引导学生深入探究。特别是在探究“混租”方案时，通过表格的形式，帮助学生有序地列举不同的组合，避免了思维的混乱和遗漏。小组合作交流则为学生提供了展示不同思路、相互启发、共同进步的平台，有效促进了学生思维的碰撞。（三）突出核心素养培养，落实教学目标1.数学抽象与模型思想：教师引导学生从具体的租船情境中，提取关键信息（人数、船的限载人数、租金），将实际问题转化为数学问题（如何分配船只使费用最低），这是一个数学抽象的过程。通过列表格整理方案，实际上是在构建解决此类问题的数学模型。2.运算能力与数据分析观念：学生在计算不同方案的船只数量和总费用时，熟练运用了乘除法运算。通过对表格中数据（总人数、总费用）的比较分析，才能得出最优方案，培养了数据分析观念。3.逻辑推理与有序思考能力：在寻找多种租船方案，特别是在调整大船和小船数量以达到“最省钱”目标的过程中，学生需要进行严密的逻辑推理。教师引导学生“从全租大船开始考虑，逐步减少大船数量，增加小船数量”，这种有序思考的方法，有效避免了方案的重复和遗漏，培养了学生的有序思考能力。4.优化思想的渗透：“最省钱”是租船问题的核心目标。教学过程中，教师不是直接告诉学生“要怎么租才省钱”，而是通过引导学生比较不同方案的费用，让学生在亲身体验和自主感悟中理解优化的策略——即“优先选择人均成本低的船只，并尽可能满载”。这种优化意识的培养，对学生未来解决更复杂的实际问题具有重要意义。（四）关注教学重难点的突破策略针对“如何选择最优方案”这一难点，教师采取了以下策略：1.分步探究：先易后难，从简单的“全租大船”、“全租小船”入手，再过渡到复杂的“混合租船”。2.对比分析：通过计算和比较不同方案的费用，让学生直观感受到哪种方案更优。3.关键提问：如“空座位是不是浪费？”“少租一条大船，剩下的人改租小船会怎么样？”等问题，引导学生深入思考，调整方案。4.表格辅助：利用表格梳理不同方案，使信息一目了然，有助于学生发现规律，找到最优解。（五）教学过程中的不足与改进*不足：1.在探究“混合租船”方案时，虽然教师引导学生从减少大船数量开始尝试，但对于部分思维不够活跃的学生而言，可能仍难以独立想到所有可能的组合。2.对于“人均价格”的比较，虽然点出，但可以更深入地引导学生理解其作为“优先选择”依据的合理性，帮助学生建立更清晰的策略意识。3.巩固练习环节，虽然设置了不同人数的练习题，但可以考虑加入更多变式，如“大船和小船的租金或限载人数发生变化”、“有老师带队，总人数变化”等，以检验学生是否真正掌握了解题策略的本质。*改进建议：1.可以在学生独立思考前，给予更明确的探究指引，例如提供一个简单的探究步骤提示。2.在比较人均价格后，可以引导学生思考：“如果大船坐不满，人均价格还是最便宜的吗？”从而让学生更辩证地看待“优先选择”策略。3.增加一些开放性的问题，如“如果预算有限，只有150元，最多能安排多少人划船？”等，拓展学生的思维广度。三、教学反思与启示“租船问题”作为一类典型的优化问题，其教学价值不仅在于让学生掌握具体的解题方法，更在于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。在教学实践中，教师应：1.强化生活联系，让数学“有用”：始终坚持从生活中来，到生活中去。选择学生熟悉的生活素材，使学生感受到数学的实用性，提高学习兴趣。2.给予充分时空，让学生“会学”：舍得放手，给学生足够的独立思考和合作交流的时间与空间，鼓励学生大胆尝试，不怕犯错。教师要耐心等待，适时引导，让学生在“做数