2025年统计学期末考试：统计与决策案例分析题库

2025年统计学期末考试：统计与决策案例分析题库考试时间：______分钟总分：______分姓名：______案例一某快消品公司为了解其新推出的一款咖啡饮料的市场潜力，在目标消费区域随机抽取了1000名成年人进行问卷调查。问卷中包含对该饮料的口味偏好（非常喜欢、比较喜欢、一般、不太喜欢、非常不喜欢）、购买意愿（肯定购买、可能购买、不确定、可能不购买、肯定不购买）以及几个人口统计学变量（年龄：20-30岁、31-40岁、41-50岁、51岁以上；性别：男、女；收入水平：高、中、低）。调查数据经过初步整理后，公司市场部希望利用统计学方法进行分析，以回答以下问题：1.不同年龄段的消费者对咖啡饮料的口味偏好是否存在显著差异？2.性别与购买意愿之间是否存在关联关系？请具体说明。3.根据样本数据，该公司可以估计出整体市场中对该咖啡饮料“非常喜欢”的成年人比例，并希望这个估计的置信水平达到95%。如果他们希望估计的比例误差不超过3%，那么下次进行类似调查时，至少需要抽取多少名成年人？4.请构建一个简单的回归模型，用以分析哪些人口统计学变量（如果适用）对消费者的购买意愿有显著影响。解释模型中重要变量的系数含义，并讨论该模型在预测购买意愿方面的潜在价值。案例二一家银行想知道其信用卡客户的使用行为特征，并希望根据客户的收入水平来预测其月均消费额。银行随机抽取了200名信用卡客户，记录了他们的年收入水平（分为高收入、中等收入、低收入三组）和上个月的月均消费额（单位：元）。银行分析师初步观察到，不同收入水平的客户群，其月均消费额可能存在差异，并且月均消费额可能与年收入水平存在线性关系。基于这些信息，分析师希望运用统计方法完成以下分析：1.请使用适当的假设检验方法，判断不同收入水平的客户群体，其月均消费额是否存在显著差异。请说明检验的步骤和结论。2.如果检验结果表明存在显著差异，请进一步说明这种差异主要体现在哪些收入水平组之间。3.建立一个线性回归模型，以年收入水平（作为自变量）预测月均消费额（作为因变量）。请解释模型中回归系数的意义，并评估该模型的拟合效果。4.假设银行计划为“高收入”客户群体推出一项新的积分奖励计划，预计该计划会将该群体的平均月均消费额提高500元。请基于回归模型，评估这项计划可能带来的平均消费额变化，并讨论其不确定性。案例三某制药公司研发了一种新药，希望评估其疗效。研究人员将参与试验的病人随机分为两组：实验组（n=50）服用新药，对照组（n=50）服用安慰剂。在试验结束后，研究人员测量了两组病人的症状改善程度（使用评分量表，分数越高表示改善越明显）。初步数据显示，实验组病人的平均改善评分略高于对照组。公司统计顾问需要分析这些数据，以判断新药是否真的比安慰剂更有效。请协助统计顾问完成以下分析任务：1.描述两组病人症状改善评分的集中趋势和离散程度。比较两组分布的特点。2.请进行假设检验，以确定新药组与安慰剂组的症状改善评分是否存在统计学上的显著差异。请清晰地说明零假设、备择假设、检验方法的选择依据、检验过程的关键步骤以及得出的结论。3.计算并解释两组症状改善评分之差的95%置信区间。这个区间说明了什么？4.从统计学的角度，评价这项试验设计（随机分组）在确保试验结果有效性方面发挥了什么作用？如果试验设计存在不足，可能引入什么偏误？案例四一家电商公司担心其网站的用户停留时间（用户打开网站到离开所花费的时间）受到页面布局调整的影响。为了测试这一点，他们在同一时间段内，一部分用户（实验组）接触到了新的页面布局，而另一部分用户（对照组）保持了原有的布局。公司记录了两组用户的平均停留时间（分钟）。初步分析显示，实验组的平均停留时间比对照组短。请基于以下信息，进行统计分析以评估页面布局调整对用户停留时间的影响：1.描述实验组和对照组用户平均停留时间的差异。考虑使用合适的图表或统计量来概括这种差异。2.执行一个适当的假设检验，判断页面布局调整是否对用户的平均停留时间产生了统计上显著的效应。请说明检验的关键参数和结论。3.假设公司设定，如果新布局能显著降低用户平均停留时间（以分钟为单位），则考虑全面推广。请计算并解释该效应大小的95%置信区间。这个区间对公司的决策有何启示？4.除了平均停留时间，公司还可能考虑其他指标（如页面浏览量、转化率等）来评估布局调整的效果。从统计决策的角度，说明在仅依据平均停留时间结论的情况下，公司做出决策可能面临的风险。试卷答案案例一1.解析思路：使用单因素方差分析（One-wayANOVA）检验不同年龄组在口味偏好上的均值是否存在显著差异。需要先将口味偏好进行量化处理（如赋值：非常喜欢=4,比较喜欢=3,一般=2,不太喜欢=1,非常不喜欢=0），然后检验假设H0:不同年龄组的口味偏好均值相等vsH1:至少有两个年龄组的口味偏好均值不等。如果P值小于显著性水平（如0.05），则拒绝H0，认为存在显著差异。2.解析思路：使用卡方检验（Chi-squareTestofIndependence）分析性别与购买意愿之间是否存在关联关系。构建二维列联表，计算每个单元格的期望频数，然后计算卡方统计量。如果P值小于显著性水平（如0.05），则拒绝原假设，认为性别与购买意愿之间存在关联。3.解析思路：这属于大样本比例估计问题。使用公式样本量n=(Zα/2*σp)²/ε²来估计。由于是估计比例，标准差σp=√(p(1-p))，通常用样本比例p的极大值（0.5）来替代以获得最大样本量。置信水平95%对应Zα/2≈1.96。需要先根据初步调查或行业数据获得一个关于“非常喜欢”比例的初步估计（若无，可用0.5）。然后代入公式计算所需样本量，并向上取整。最后，将计算出的样本量作为下次调查的建议人数。4.解析思路：使用多元线性回归模型。因变量为购买意愿（可能需要量化，如肯定购买=5,...肯定不购买=1），自变量为年龄（可能需要量化或虚拟变量）、性别（虚拟变量）、收入水平（虚拟变量）。选择方法时注意因变量的类型（如果是分类变量，可能需要Logistic回归，此处按量化处理假设为线性回归）。建立模型后，检验模型整体显著性（F检验）和各系数的显著性（t检验）。解释系数时，说明该自变量每变化一个单位，因变量预计变化多少个单位（注意变量量化方式）。评估模型价值时，可看R方（解释变异比例）和调整R方（考虑自变量数量后的解释力），以及系数的显著性。案例二1.解析思路：使用单因素方差分析（One-wayANOVA）检验不同收入水平组在月均消费额上是否存在显著差异。需要检验假设H0:不同收入水平的月均消费额均值相等vsH1:至少有两个收入水平的月均消费额均值不等。计算F统计量，并根据P值判断是否拒绝H0。2.解析思路：如果ANOVA结果显著（即拒绝H0），需要进行多重比较（如TukeyHSD检验、Bonferroni校正等）来确定哪些特定的收入水平组之间存在显著差异。查看多重比较的结果，找出哪些组对的均值差异显著。3.解析思路：使用简单线性回归模型，月均消费额为因变量（Y），年收入水平（可能需要量化或编码为虚拟变量）为自变量（X）。建立模型Y=β0+β1*X+ε。估计系数β0和β1。解释β1：它表示年收入水平每增加一个单位（保持其他不变），月均消费额预计增加β1元。评估模型拟合效果主要通过R方和调整R方（看模型解释力），以及F检验（看模型整体显著性）和t检验（看自变量系数的显著性）。4.解析思路：基于回归模型，高收入群体的预测月均消费额为Y_pred=β0+β1*(高收入水平代表值)。新计划将消费额提高500元，意味着预测值增加了500。这相当于自变量X增加了500（或根据实际编码方式调整增加量）。因此，预测的消费额变化近似为β1*500元。讨论不确定性可以提及预测区间的宽度，或进行假设检验看500元的提升是否具有统计显著性。案例三1.解析思路：分别计算实验组和对照组病人症状改善评分的均值、中位数、标准差、方差等描述性统计量。可以简要描述分布的集中趋势和离散程度，并比较两组的中心位置（均值/中位数）和离散程度（标准差/方差）是否差异明显。2.解析思路：使用独立样本t检验（IndependentSamplest-test）来比较两组（新药组vs安慰剂组）症状改善评分的均值是否存在显著差异。需要检验假设H0:两个组的平均评分均值相等vsH1:两个组的平均评分均值不等。计算t统计量，查找或计算自由度，得到P值。如果P值小于显著性水平（如0.05），则拒绝H0，认为两组评分均值存在显著差异。3.解析思路：计算两组症状改善评分均值之差（Δ=Mean_实验组-Mean_安慰剂组）的95%置信区间。公式通常为Δ±(tcritical*SD_pooled*√(1/n1+1/n2))，其中tcritical是自由度对应的t分布临界值，SD_pooled是合并标准差。置信区间提供了未来样本均值之差可能落在的区间范围，如果区间不包含0，则进一步支持两组均值存在差异的结论。4.解析思路：随机分组是随机对照试验（RCT）的核心特征，它有助于确保两组在试验开始前除干预措施（新药vs安慰剂）外，其他可能影响结果的基线特征（如年龄、性别、收入等）在统计上是大致可比的，从而排除混杂因素的影响。这有助于提高试验结果的内部有效性，即能够更有信心地推断出观察到的差异确实是由新药本身引起的，而不是由其他因素造成的。如果缺乏随机分组，可能导致选择偏倚，影响结果的可靠性。案例四1.解析思路：计算实验组和对照组用户的平均停留时间，并比较两者的差值（实验组均值-对照组均值）。可以使用描述性统计量（均值、标准差）来描述各自的分布，并直接指出差异的大小。如果数据呈正态分布且方差齐性，可以绘制两组数据的重叠图（如正态Q-Q图或分布密度图）来直观展示差异。2.解析思路：使用独立样本t检验（IndependentSamplest-test）来比较实验组和对照组用户平均停留时间的均值是否存在显著差异。检验假设H0:两个组的平均停留时间均值相等vsH1:实验组的平均停留时间均值小于对照组的均值（因为是想检测新布局是否降低时间）。计算t统计量，得到P值。如果P值小于显著性水平（如0.05），并且t检验结果倾向于实验组均值更低，则支持新布局降低了停留时间的结论。3.解析思路：计算实验组与对照组平均停留时间之差的95%置信区间。公式类似于案例三中的均值差置信区间计算。解释该区间：如果区间完全位于负值区域（即低于0），则强有力地支持新布局降低了停留时间。区间的宽度反映了估计的不确定性。较窄的区间意味着估计较精确。公司决策需考虑：如果区间虽然为负但非常接近0（例如，-0.1到-0.01分钟），实际业务意义可能不大；如果区间跨越了0（例如，