（2021-2025）5年高考数学真题分类汇编专题15 直线与圆10种常见考法归类（全国）（解析版）

五年（2021-2025）高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题15直线与圆10种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1直线的方程（5年2考）考点01直线与直线的夹角2021·上海1.圆的方程及相关应用是考查核心：从数据来看，“圆的方程”相关考点考查覆盖求圆的方程、圆心半径确定、直线与圆的位置关系、弦长、切线、对称及最值问题，几乎涵盖圆的全部核心知识点。其中，圆的弦长问题和圆的最值问题出现频率较高，体现了对直线与圆位置关系、几何性质应用的重点考查，且在天津、北京等地区的考题中尤为突出，稳定性强。2.直线方程相关考点考查较少但基础不减：“直线的方程”相关考点涉及夹角、距离等基础内容，虽频率低，但作为解析几何的基础，其与圆的综合应用（如直线与圆的位置关系中涉及的距离公式）是隐含的考查点，体现了对基础概念的间接重视。考点02两点间的距离2024·北京考点03求点到直线的距离2024·北京知识2圆的方程（5年5考）考点04求圆的方程2022·全国甲卷2022·全国乙卷考点05由圆的方程确定圆心和半径2023·上海2023·全国乙卷考点06直线与圆的位置关系2022·新高考全国Ⅱ卷2022·上海2021·新高考全国Ⅱ卷考点07圆的弦长问题2025·天津2024·全国甲卷2023·新课标Ⅱ卷2022·天津2021·北京2021·天津考点08圆的切线问题2023·新课标Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅰ卷考点09圆的对称问题2022·北京考点10圆的最值问题2025·全国一卷2023·全国乙卷2023·北京2021·新高考全国Ⅰ卷考点01直线与直线的夹角1．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为.【答案】〖祥解〗先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详析】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．考点02两点间的距离2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C〖祥解〗先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.【详析】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最大值，阴影部分面积.故选：C.【『点石成金』】方法『点石成金』：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．考点03求点到直线的距离3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详析】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.考点04求圆的方程4．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．【答案】〖祥解〗设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详析】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为：5．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．【答案】或或或．〖祥解〗方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．考点05由圆的方程确定圆心和半径6．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则．【答案】〖祥解〗根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.【详析】圆化为标准方程为：，圆的面积为，圆的半径为，，解得．故答案为：7．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详析】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，结合对称性可得所求概率.故选：C.

考点06直线与圆的位置关系8．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD〖祥解〗转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．【答案】〖祥解〗首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：10．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.则下列判断正确的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B〖祥解〗对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.【详析】对于①，取直线,则对于任意的，有，故圆均在直线的下方，而对任意的，有，故圆均在直线的上方，而当时，表示原点，它在直线的下方，故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.所以①成立.对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.故选：B考点07圆的弦长问题11．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详析】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，取得最小值为，解得.故选：C.12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C〖祥解〗根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.【详析】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时.故选：C13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C〖祥解〗结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时.

故选：C14．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则．【答案】2〖祥解〗先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.【详析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，圆的半径为，圆心到直线的距离为，故，解得；故答案为：2.15．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为．【答案】〖祥解〗计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.16．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．【答案】〖祥解〗设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详析】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．【答案】（中任意一个皆可以）〖祥解〗根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．【详析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．考点08圆的切线问题18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B〖祥解〗方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．【答案】或或〖祥解〗先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.考点09圆的对称问题20．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A〖祥解〗若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．考点10圆的最值问题21．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C〖祥解〗法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详析】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.22．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.【详析】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有个，∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B.23．【多选】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD〖祥解〗计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【『点石成金』】结论『点石成金』：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.24．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③〖祥解〗先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.【详析】依题意，，当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；对于②，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，，综上：取得最大值，故②正确；对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，此时，，当时，且接近于处，的距离最小，此时；故③正确；对于④，取，则的图像如下，

因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.故答案为：②③.【『点石成金』】关键『点石成金』：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.专题15直线与圆10种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1直线的方程（5年2考）考点01直线与直线的夹角2021·上海1.圆的方程及相关应用是考查核心：从数据来看，“圆的方程”相关考点考查覆盖求圆的方程、圆心半径确定、直线与圆的位置关系、弦长、切线、对称及最值问题，几乎涵盖圆的全部核心知识点。其中，圆的弦长问题和圆的最值问题出现频率较高，体现了对直线与圆位置关系、几何性质应用的重点考查，且在天津、北京等地区的考题中尤为突出，稳定性强。2.直线方程相关考点考查较少但基础不减：“直线的方程”相关考点涉及夹角、距离等基础内容，虽频率低，但作为解析几何的基础，其与圆的综合应用（如直线与圆的位置关系中涉及的距离公式）是隐含的考查点，体现了对基础概念的间接重视。考点02两点间的距离2024·北京考点03求点到直线的距离2024·北京知识2圆的方程（5年5考）考点04求圆的方程2022·全国甲卷2022·全国乙卷考点05由圆的方程确定圆心和半径2023·上海2023·全国乙卷考点06直线与圆的位置关系2022·新高考全国Ⅱ卷2022·上海2021·新高考全国Ⅱ卷考点07圆的弦长问题2025·天津2024·全国甲卷2023·新课标Ⅱ卷2022·天津2021·北京2021·天津考点08圆的切线问题2023·新课标Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅰ卷考点09圆的对称问题2022·北京考点10圆的最值问题2025·全国一卷2023·全国乙卷2023·北京2021·新高考全国Ⅰ卷考点01直线与直线的夹角1．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为.【答案】〖祥解〗先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详析】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．考点02两点间的距离2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C〖祥解〗先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.【详析】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最大值，阴影部分面积.故选：C.【『点石成金』】方法『点石成金』：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．考点03求点到直线的距离3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详析】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.考点04求圆的方程4．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．【答案】〖祥解〗设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详析】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为：5．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．【答案】或或或．〖祥解〗方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．考点05由圆的方程确定圆心和半径6．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则．【答案】〖祥解〗根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.【详析】圆化为标准方程为：，圆的面积为，圆的半径为，，解得．故答案为：7．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详析】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，结合对称性可得所求概率.故选：C.

考点06直线与圆的位置关系8．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD〖祥解〗转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．【答案】〖祥解〗首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：10．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.则下列判断正确的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B〖祥解〗对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.【详析】对于①，取直线,则对于任意的，有，故圆均在直线的下方，而对任意的，有，故圆均在直线的上方，而当时，表示原点，它在直线的下方，故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.所以①成立.对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.故选：B考点07圆的弦长问题11．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详析】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，取得最小值为，解得.故选：C.12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C〖祥解〗根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.【详析】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时.故选：C13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C〖祥解〗结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时.

故选：C14．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则．【答案】2〖祥解〗先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.【详析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，圆的半径为，圆心到直线的距离为，故，解得；故答案为：2.15．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为．【答案】〖祥解〗计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.16．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．【答案】〖祥解〗设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详析】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．【答案】（中任意一个皆可以）〖祥解〗根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．【详析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．考点08圆的切线问题18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B〖祥解〗方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．【答案】或或〖祥解〗先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.考点09圆的对称问题20．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A〖祥解〗若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．考点10圆的最值问题21．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C〖祥解〗法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角