2025年统计学期末考试题库：统计与决策假设检验试题

2025年统计学期末考试题库：统计与决策假设检验试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.在假设检验中，我们通常把需要重点考察的假设称为（）。A.备择假设B.原假设C.拒绝域D.检验统计量2.当我们做出拒绝原假设的错误决策时，这种错误称为（）。A.第一类错误B.第二类错误C.系统误差D.随机误差3.在单样本t检验中，当样本量n增大时，t分布的形状（）。A.越来越向左偏B.越来越向右偏C.越来越接近标准正态分布D.越来越分散4.在进行双样本t检验（假设检验）时，如果使用的是配对样本，那么应选择的检验方法是（）。A.独立样本t检验B.单样本t检验C.配对样本t检验D.Z检验5.对于分类数据，如果我们要检验样本的观测频数与期望频数之间是否存在显著差异，应该使用的检验方法是（）。A.t检验B.F检验C.χ²检验D.相关性检验6.在假设检验中，P值是（）。A.在原假设为真时，得到当前或更极端样本结果的概率B.在备择假设为真时，得到当前或更极端样本结果的概率C.拒绝域的临界值D.检验统计量的具体数值7.对于双侧检验，如果检验的显著性水平α=0.05，那么拒绝域位于分布的（）。A.左侧5%B.右侧5%C.左侧2.5%和右侧2.5%D.中央95%8.在方差分析（ANOVA）中，我们检验的是（）。A.多个总体的均值是否相等B.多个总体的方差是否相等C.两个总体的均值是否相等D.两个总体的方差是否相等9.如果一个假设检验的检验势（Power）为0.80，这意味着当备择假设为真时，（）。A.有80%的概率拒绝原假设B.有80%的概率接受原假设C.有20%的概率犯第二类错误D.样本量足够大10.在统计决策中，假设检验为我们提供了一种系统的方法来（）。A.估计未知参数B.描述数据分布C.在不确定性下做出推断和决策D.排除所有可能的错误二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在题中的横线上。）1.假设检验的结论是否成立，不仅取决于检验统计量的值，还与__________有关。2.在单样本均值检验中，如果总体方差未知且样本量较小，应选择__________分布作为检验统计量的基础。3.当我们接受了原假设，但事实上原假设是不正确的，我们犯的是__________错误，其概率用β表示。4.根据样本信息对总体参数做出区间估计的方法称为__________。5.在进行两个独立样本均值差异的t检验时，如果假设样本来自的总体方差相等，应使用__________（请写明公式中分子的自由度和分母的自由度）来计算检验统计量。6.χ²检验不仅可以用于检验拟合优度，还可以用于检验两个分类变量之间是否__________。7.假设检验中的显著性水平α，实际上代表了在__________的情况下，我们愿意犯第一类错误的概率。8.检验统计量是样本统计量与__________之差，经过标准化处理后得到的值。9.对于给定的样本量n、总体方差σ²和显著性水平α，假设检验的检验势取决于我们设定的__________。10.统计决策的核心在于根据样本信息，在__________之间做出选择。三、判断题（每小题2分，共10分。请将“正确”或“错误”填在题后的括号内。）1.假设检验的结论是绝对正确的，不会犯任何错误。（）2.对于同一个样本数据和同一个原假设，减小显著性水平α，会同时减小第一类错误和第二类错误的概率。（）3.单样本t检验和双样本t检验都可以用来检验总体均值，但它们的应用场景和计算方法不同。（）4.如果一个检验的P值小于显著性水平α，我们就应该拒绝原假设。（）5.方差分析（ANOVA）本质上是对多个总体的均值进行多次t检验的组合。（）四、计算题（共4小题，共50分。请写出详细的计算步骤和结论。）1.（12分）某公司声称其生产的灯泡平均寿命为1500小时，标准差为200小时。为了验证这一claim，随机抽取了25个灯泡进行测试，得到样本平均寿命为1450小时。假设灯泡寿命服从正态分布。请以α=0.05的显著性水平，检验该公司关于灯泡平均寿命的声明是否成立。请写出假设检验的完整步骤。2.（14分）某医生想知道一种新的降血压药物是否比传统药物更有效。他随机选取了20名高血压患者，让他们服用该药物一个月，记录下他们的血压变化（收缩压下降值）。假设血压变化数据服从正态分布。样本数据如下（单位：mmHg）：-10,-8,-12,-15,-6,-9,-11,-14,-5,-7,-10,-13,-16,-4,-8,-12,-15,-6,-9,-11。传统药物的平均降压效果已知为8mmHg。请以α=0.05的显著性水平，检验新药物的平均降压效果是否显著优于传统药物。请写出假设检验的完整步骤。3.（12分）为了检验不同广告方式对产品销售量的影响，一家公司随机选择了四个区域，每个区域采用一种不同的广告方式推广同一种产品。一个月后，记录了各区域的销售量（单位：件）：A方式：120,132,128,125；B方式：115,118,122,117；C方式：130,135,128,132；D方式：125,119,122,128。假设各区域的销售量服从正态分布且方差相等。请以α=0.05的显著性水平，检验四种广告方式下产品的平均销售量是否存在显著差异。请写出假设检验的完整步骤。4.（12分）一个包含100个观测值的样本，用于检验某个分类变量的分布是否符合某个理论比例：类别A占30%，类别B占50%，类别C占20%。样本观测频数分别为：类别A有35个，类别B有55个，类别C有10个。请以α=0.01的显著性水平，检验样本的观测频数是否符合理论比例。请写出假设检验的完整步骤。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.C5.C6.A7.C8.A9.A10.C二、填空题1.显著性水平（或α）2.t3.第二类4.参数估计5.sp²√(1/n₁+1/n₂)/√(n₁+n₂-2)（假设已合并方差，n₁和n₂分别为两组样本量）6.相关性（或独立性）7.原假设为真8.总体参数（或假设的参数值）9.备择假设（或H₁）10.原假设与备择假设三、判断题1.错误2.错误3.正确4.正确5.错误四、计算题1.解：a.提出假设：H₀:μ=1500H₁:μ≠1500b.选择检验方法：总体方差未知，小样本（n=25），选择单样本t检验。c.确定显著性水平：α=0.05，双侧检验。d.计算检验统计量：t=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(1450-1500)/(200/√25)=-50/40=-1.25e.确定拒绝域：查找t分布表，df=n-1=24，α/2=0.025，双侧。临界值约为±2.064。拒绝域为t<-2.064或t>2.064。f.做出决策：计算得到的t=-1.25不在拒绝域内。g.结论：在α=0.05的显著性水平下，没有足够证据拒绝原假设，不能认为该公司灯泡的平均寿命与声称的1500小时有显著差异。2.解：a.提出假设：H₀:μ_new≤μ_traditional(即新药效果不优于传统药)H₁:μ_new>μ_traditional(即新药效果优于传统药)b.选择检验方法：总体方差未知，独立样本，小样本（n₁=n₂=20），假设方差相等，选择两独立样本均值差异（相等方差）t检验。c.确定显著性水平：α=0.05，单侧检验。d.计算检验统计量：已知传统药均值μ₂=8,样本均值为x̄₁=-9,x̄₂=8,n₁=n₂=20。合并方差估计s_p²=[(19*(s₁)²+19*(s₂)²)/(20+20-2)]（此处未给方差，假设计算时可用样本方差代替或题目数据需补充）假设计算得s_p≈4.36,s_p√(1/n₁+1/n₂)/√(n₁+n₂-2)≈4.36*√(1/20+1/20)/√38≈0.948t=(x̄₁-x̄₂)/[s_p√(1/n₁+1/n₂)/√(n₁+n₂-2)]=(-9-8)/0.948=-17/0.948=-17.85（注：此处计算基于假设的方差估计，实际题目数据需带入）*修正思路：应为检验新药均值是否显著高于传统药均值（μ₁>μ₂）。样本数据是降压值，所以新药组均值应大于传统药均值（即应检验μ₁>8）。原题干描述可能意图是检验新药是否比传统药差（μ₁<8），则H₀:μ₁≥8,H₁:μ₁<8，单侧。计算t=(x̄₁-x̄₂)/...。假设是检验新药优于传统药，则计算t=(x̄₁-x̄₂)/...=(-9-8)/...=-17/...。但结果t为负，与原假设方向相反。如果原假设是μ₁≥8，t为负，应接受H₀。如果原假设是μ₁>8，t为负，则落在接受域，接受H₀。根据计算，接受H₀，即新药效果不显著优于传统药。*e.确定拒绝域：查找t分布表，df=n₁+n₂-2=38,α=0.05，单侧。临界值约为1.686。拒绝域为t>1.686。f.做出决策：计算得到的t≈-17.85远小于临界值1.686。g.结论：在α=0.05的显著性水平下，有足够证据拒绝原假设，认为新药物的平均降压效果显著优于传统药物。（根据计算结果修正为：没有足够证据支持新药优于传统药，接受H₀）3.解：a.提出假设：H₀:μ_A=μ_B=μ_C=μ_D（四种方式的平均销售量相等）H₁:至少有两种方式的平均销售量不等b.选择检验方法：多个总体均值比较，使用单因素方差分析（ANOVA）。c.确定显著性水平：α=0.05。d.计算各组的样本均值和总均值：A:x̄₁=(120+132+128+125)/4=125B:x̄₂=(115+118+122+117)/4=118.75C:x̄₃=(130+135+128+132)/4=130.5D:x̄₄=(125+119+122+128)/4=121.5总均值x̄=(120+...+128+125+119+...+128)/16=124.25e.计算组间平方和（SSBetween）、组内平方和（SSWithin）及总平方和（SST）：SST=Σ(xi-x̄)²=(120-124.25)²+...+(128-124.25)²=795.25SSB=Σnᵢ(x̄ᵢ-x̄)²=4[(125-124.25)²+(118.75-124.25)²+(130.5-124.25)²+(121.5-124.25)²]=4[0.5625+30.25+40.0625+7.5625]=4*78.4375=313.75SSW=SST-SSB=795.25-313.75=481.5f.计算自由度：df_B=k-1=4-1=3,df_W=N-k=16-4=12g.计算均方：MSB=SSB/df_B=313.75/3≈104.58,MSW=SSW/df_W=481.5/12≈40.125h.计算检验统计量F：F=MSB/MSW=104.58/40.125≈2.604i.确定拒绝域：查找F分布表，df₁=3,df₂=12,α=0.05。临界值约为3.490。拒绝域为F>3.490。j.做出决策：计算得到的F≈2.604小于临界值3.490。k.结论：在α=0.05的显著性水平下，没有足够证据拒绝原假设，不能认为四种广告方式下产品的平均销售量存在显著差异。4.解：a.提