2025年统计学期末考试：与决策应用题库解析

2025年统计学期末考试：与决策应用题库解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述抽样调查中抽样误差和非抽样误差的区别，并各举一例说明其在统计推断中可能产生的影响。二、某公司生产一种新型电池，已知电池寿命服从正态分布。现随机抽取10块电池进行寿命测试，得到样本均值为4500小时，样本标准差为300小时。试计算样本均值的标准误，并解释标准误在此情境下的含义。三、假设某城市居民的平均月收入服从正态分布，总体标准差为1500元。现欲估计该城市全体居民的平均月收入，要求置信水平为95%，且估计误差不超过200元。请计算所需的最小样本量。四、某工厂关心其产品重量是否符合标准（标准重量为500克）。质检部门抽取了25件产品进行检验，发现样本平均重量为495克，样本标准差为10克。假设产品重量服从正态分布，请在显著性水平α=0.05下，检验该批产品重量是否显著低于标准重量。五、某市场调研公司想了解消费者对两种品牌（A和B）的偏好是否有差异。他们随机调查了200名消费者，其中120名消费者偏好品牌A，80名消费者偏好品牌B。请使用假设检验方法，分析两种品牌的偏好是否存在显著差异（α=0.05）。六、一家连锁餐厅想要分析其门店的日客流量（Y）与每日广告投入（X）之间的关系。以下是某周7天的数据：广告投入分别为100元、120元、140元、160元、180元、200元、220元，对应的日客流量分别为1500人、1800人、1600人、2000人、2200人、2100人、2500人。请计算简化的线性回归方程（YonX），并解释回归系数的经济含义。七、根据第六题的数据和计算的回归方程，若某天该餐厅计划投入150元广告费，请预测其可能的日客流量。并说明该预测值的含义。八、某公司管理层希望了解员工的工作满意度（Y）与其工作年限（X1）和奖金水平（X2）之间的关系。经过回归分析，得到如下方程：Y=50+2X1+1.5X2。请解释该回归方程中各个系数的意义。假设该模型的决定系数R²为0.65，请说明这个R²值的含义。九、在比较三个不同广告方案（A,B,C）对产品销售量的影响时，某公司随机选取了6个区域，每个区域随机使用一种广告方案，并在一个月后统计了销售量数据。请简要说明在这种情况下，应该使用哪种统计方法来检验三个广告方案的平均销售量是否存在显著差异，并解释理由。试卷答案一、抽样误差是由于抽样导致样本统计量与总体参数之间的随机差异，其大小受样本量、总体变异程度等因素影响，可通过增大样本量或提高抽样精度来减小。非抽样误差是指除抽样误差以外的所有误差，包括抽样框误差、无回答误差、测量误差、数据处理误差等，其性质较为复杂，可能随机也可能系统性地影响结果，难以完全消除。例如，抽样误差会导致不同样本计算出不同的样本均值，而问卷设计不合理导致的测量误差会使收集到的数据本身偏离真实情况，两者均会影响对总体的准确推断。二、样本均值的标准误（SE_μ）计算公式为：SE_μ=s/sqrt(n)。代入数据：SE_μ=300/sqrt(10)≈94.87小时。标准误在此情境下表示，在重复抽样下，样本均值围绕总体均值（μ）波动的平均标准偏差。它反映了用样本均值估计总体均值时的抽样不确定性大小，标准误越小，估计越精确。三、所需样本量（n）计算公式为：n=(Z_(α/2)*σ/E)^2。已知：置信水平为95%，Z_(α/2)≈1.96；总体标准差σ=1500元；估计误差E=200元。代入数据：n=(1.96*1500/200)^2≈216.09。由于样本量必须为整数，且需满足要求，取n=217。因此，所需最小样本量为217。四、检验假设H₀：μ≥500（产品重量符合标准）；H₁：μ<500（产品重量显著低于标准）。检验统计量：t=(样本均值-μ₀)*sqrt(n)/s。代入数据：t=(495-500)*sqrt(25)/10=-2.5。自由度df=n-1=24。显著性水平α=0.05。查t分布表得临界值t_(0.05,24)≈-1.711。由于计算得到的t值（-2.5）小于临界值（-1.711），且|t|=2.5>1.711，因此拒绝原假设H₀。结论：在α=0.05的显著性水平下，有证据表明该批产品重量显著低于标准重量。五、检验假设H₀：p_A=p_B（两种品牌偏好无差异）；H₁：p_A≠p_B（两种品牌偏好有差异）。样本比例p̂_A=120/200=0.6，p̂_B=80/200=0.4。合并样本比例p̂=(120+80)/(200+200)=0.5。检验统计量：Z=(p̂_A-p̂_B)/sqrt(p̂(1-p̂)(1/n_A+1/n_B))。代入数据：Z=(0.6-0.4)/sqrt(0.5*0.5*(1/200+1/200))=2.0。显著性水平α=0.05。查标准正态分布表得临界值Z_(α/2)=Z_(0.025)≈1.96。由于计算得到的|Z|值（2.0）大于临界值（1.96），因此拒绝原假设H₀。结论：在α=0.05的显著性水平下，有证据表明两种品牌的偏好存在显著差异。六、计算过程如下：设Y为日客流量，X为广告投入。计算均值：X̄=(100+120+140+160+180+200+220)/7=160；Ŷ=(1500+1800+1600+2000+2200+2100+2500)/7=1985.71。计算LXX=Σ(Xi-X̄)²=7600；LXY=Σ(Xi-X̄)(Yi-Ŷ)=7142.86。回归系数b₁=LXY/LXX=7142.86/7600≈0.9404。截距b₀=Ŷ-b₁X̄=1985.71-0.9404*160≈1567.15。简化的线性回归方程为：Ŷ=1567.15+0.9404X。回归系数0.9404的经济含义是，在其他因素保持不变的情况下，每增加1元广告投入，预计日客流量将平均增加0.9404人。七、将广告投入X=150元代入第六题计算得到的回归方程：Ŷ=1567.15+0.9404*150=1567.15+141.06=1708.21人。该预测值1708.21人表示，根据模型，当该餐厅计划投入150元广告费时，其估计的平均日客流量为1708.21人。这是一个基于历史数据和线性关系的预测值，实际值可能因其他未考虑因素而有所不同。八、该回归方程Y=50+2X1+1.5X2中：*截距项50表示，当工作年限X1为0且奖金水平X2为0时，员工工作满意度的估计值（尽管X1=0可能无实际意义）。*X1的系数2表示，在奖金水平X2保持不变的情况下，员工的工作年限每增加1年，其工作满意度的估计值将平均增加2个单位。*X2的系数1.5表示，在工作年限X1保持不变的情况下，员工的奖金水平每增加1个单位，其工作满意度的估计值将平均增加1.5个单位。*决定系数R²为0.65的含义是，在员工工作满意度的总变异中，约有65%可以用工作年限和奖金水平这两个自变量来解释。换句话说，这两个因素对员工满意度的解释力达到了65%。剩余的35%的变异可能由其他未包含在模型中的因素引起。九、在这种情况下，应该使用单因素方差分析（One-WayANOVA）来检验三个不同广告方案（A,B,C）的平均销售量是否存在显