2024-2025学年甘肃省临夏州高中高二上学期期末质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省临夏州高中2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为，方向向量，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由直线的倾斜角为可得直线的斜率为，又方向向量，即，解得.故选：D.2.椭圆的短轴长为（）A.4 B.6 C. D.【答案】A【解析】由题意可得，所以短轴长为.故选：A.3.过点，且与直线平行的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设与直线平行的直线方程为，因为点在直线上，所以，所以与直线平行的直线方程为.故选：C.4.二项式的展开式中的常数项为（）A. B.10 C. D.20【答案】C【解析】的展开式的通项为：，令，解得，此时，所以常数项为.故选：C.5.圆与圆相交，则公共弦长（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆即，两圆方程相减可得公共弦方程为，圆心到公共弦的距离为，所以公共弦长为.故选：B.6.已知等比数列为递减数列，若是方程的两个根，则公比（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】是方程的两个根，且等比数列为递减数列，所以，所以，当时，等比数列的奇数项为正数，偶数项为负数，不符合递减数列，故舍去，所以公比.故选：A.7.已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（）A.5 B.6 C.9 D.10【答案】C【解析】由题意知的圆心为，半径，又可得点在圆内，所以过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，，由弦长公式可得，过点的最长弦长为直径，所以，又过点的2025条弦长组成一个等差数列，所以，所以.故选：C.8.临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0A. B. C. D.【答案】D【解析】因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为，所以，则，又双曲线的离心率为，所以，即，则，所以，可得双曲线的方程为，将代入可得，所以该彩陶摆件的高为，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则曲线是椭圆B.若，则曲线是双曲线C.若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上D.若，则曲线是两条平行于轴的直线【答案】BCD【解析】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；对于B，若，则曲线表示双曲线，B正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．故选：BCD10.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（）A.任意站成一排，有120种排法B.学生不相邻，有24种排法C.教师相邻，有48种排法D.教师不站在两边，有72种排法【答案】AC【解析】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确；对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误；对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确；对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误；故选：AC.11.已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.抛物线的准线方程为B.抛物线的焦点到准线的距离为C.若，则的面积为D.若，点在轴上，则【答案】ACD【解析】已知抛物线，求得，则焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；对于B，抛物线的焦点到准线的距离为，故B错误；对于C，若，则到准线的距离为，所以即为点的横坐标，如图所示：根据，解得，所以，故C正确；对于D，，点在轴上，如图所示：根据抛物线的定义可得，则，即点是的中点，所以，则，故D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和公式为，则通项公式__________.【答案】【解析】当时，，当时，，则，满足上式，所以，故答案为：.13.已知圆过三点，则圆的标准方程为__________.过圆上的一点的圆的切线方程为__________（填一般式方程）.【答案】【解析】设圆的标准方程为，将三点代入可得，，解得，所以圆的标准方程为；过圆上一点圆的切线方程为：，化简得：，故答案为：；.14.如图，分别为椭圆的顶点与焦点，若，则椭圆的离心率__________.【答案】【解析】由题意可得，因为，，所以，又，即，同除可得，解得或（舍去）.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知抛物线，并且经过点.（1）求抛物线方程；（2）若直线与抛物线交于两点，求.解：（1）因为抛物线y2=2pxp>0所以，解得，所以抛物线方程为.（2）设Ax联立消去可得，.由一元二次方程根与系数的关系得，.方法一：.方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点，如图，设Ax1,y1,Bx由抛物线的定义可知，.于是.由方法一可得，于是.16.已知椭圆的右焦点为，点和点在上.（1）求点的坐标；（2）过点的直线经过原点，且与交于另一点，求的面积.解：（1）方法一：由题意得解得由，得，所以右焦点.方法二：由题意知，椭圆的上顶点为，显然，将点坐标代入椭圆方程得，解得，由，得，所以右焦点.（2）由（1）知椭圆的标准方程为.过点的直线的方程为.方法一：将直线与椭圆的方程联立，得方程组解得，显然点位于第三象限，所以，又因为，所以，点到直线的距离，所以.所以的面积为9.方法二：由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称，因为，所以，所以.所以的面积为9.17.已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前2025项和.解：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，则.因为等比数列的各项均为正数，所以.又因为，所以，解得.所以.所以数列的通项公式为.（2）因为，所以，，所以，故数列的前项和.18.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.（1）求方程；（2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程.解：（1）由题意知，，解得，故双曲线的方程为.（2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾；②当过点直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，设，因为点为线段的中点，所以，因为在双曲线上，所以，则，所以，则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.19.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“仿射圆”，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，交其“仿射圆”于点（在同一象限内），称点为点的“仿射点”.（1）若椭圆的“仿射圆”为，点为线段的中点，求椭圆的标准方程.（2）若椭圆上的点的“仿射点”.①求椭圆及其“仿射圆”的方程；②设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点.解：（1）设点的坐标为，“仿射点”的坐标为，因为点为线段的中点，则.因为“仿射点”Px0,y0把代入上述方程，得，即椭圆的标准方程为.（2）①设椭圆E:x2a“仿射圆”过点，所以解得.所以椭圆的方程为，“仿射圆”的方程为.②方法一：由①知椭圆的左焦点的坐标为，设，由，得，解得.又，所以，即.又过点存在唯一的直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点.方法二：由①知椭圆的左焦点的坐标为，设，由，得，解得.则，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，当时，，所以直线过点，所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点.甘肃省临夏州高中2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为，方向向量，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由直线的倾斜角为可得直线的斜率为，又方向向量，即，解得.故选：D.2.椭圆的短轴长为（）A.4 B.6 C. D.【答案】A【解析】由题意可得，所以短轴长为.故选：A.3.过点，且与直线平行的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设与直线平行的直线方程为，因为点在直线上，所以，所以与直线平行的直线方程为.故选：C.4.二项式的展开式中的常数项为（）A. B.10 C. D.20【答案】C【解析】的展开式的通项为：，令，解得，此时，所以常数项为.故选：C.5.圆与圆相交，则公共弦长（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆即，两圆方程相减可得公共弦方程为，圆心到公共弦的距离为，所以公共弦长为.故选：B.6.已知等比数列为递减数列，若是方程的两个根，则公比（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】是方程的两个根，且等比数列为递减数列，所以，所以，当时，等比数列的奇数项为正数，偶数项为负数，不符合递减数列，故舍去，所以公比.故选：A.7.已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（）A.5 B.6 C.9 D.10【答案】C【解析】由题意知的圆心为，半径，又可得点在圆内，所以过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，，由弦长公式可得，过点的最长弦长为直径，所以，又过点的2025条弦长组成一个等差数列，所以，所以.故选：C.8.临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0A. B. C. D.【答案】D【解析】因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为，所以，则，又双曲线的离心率为，所以，即，则，所以，可得双曲线的方程为，将代入可得，所以该彩陶摆件的高为，故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则曲线是椭圆B.若，则曲线是双曲线C.若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上D.若，则曲线是两条平行于轴的直线【答案】BCD【解析】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；对于B，若，则曲线表示双曲线，B正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．故选：BCD10.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（）A.任意站成一排，有120种排法B.学生不相邻，有24种排法C.教师相邻，有48种排法D.教师不站在两边，有72种排法【答案】AC【解析】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确；对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误；对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确；对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误；故选：AC.11.已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.抛物线的准线方程为B.抛物线的焦点到准线的距离为C.若，则的面积为D.若，点在轴上，则【答案】ACD【解析】已知抛物线，求得，则焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；对于B，抛物线的焦点到准线的距离为，故B错误；对于C，若，则到准线的距离为，所以即为点的横坐标，如图所示：根据，解得，所以，故C正确；对于D，，点在轴上，如图所示：根据抛物线的定义可得，则，即点是的中点，所以，则，故D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和公式为，则通项公式__________.【答案】【解析】当时，，当时，，则，满足上式，所以，故答案为：.13.已知圆过三点，则圆的标准方程为__________.过圆上的一点的圆的切线方程为__________（填一般式方程）.【答案】【解析】设圆的标准方程为，将三点代入可得，，解得，所以圆的标准方程为；过圆上一点圆的切线方程为：，化简得：，故答案为：；.14.如图，分别为椭圆的顶点与焦点，若，则椭圆的离心率__________.【答案】【解析】由题意可得，因为，，所以，又，即，同除可得，解得或（舍去）.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知抛物线，并且经过点.（1）求抛物线方程；（2）若直线与抛物线交于两点，求.解：（1）因为抛物线y2=2pxp>0所以，解得，所以抛物线方程为.（2）设Ax联立消去可得，.由一元二次方程根与系数的关系得，.方法一：.方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点，如图，设Ax1,y1,Bx由抛物线的定义可知，.于是.由方法一可得，于是.16.已知椭圆的右焦点为，点和点在上.（1）求点的坐标；（2）过点的直线经过原点，且与交于另一点，求的面积.解：（1）方法一：由题意得解得由，得，所以右焦点.方法二：由题意知，椭圆的上顶点为，显然，将点坐标代入椭圆方程得，解得，由，得，所以右焦点.（2）由（1）知椭圆的标准方程为.过点的直线的方程为.方法一：将直线与椭圆的方程联立，得方程组解得，显然点位于第三象限，所以，又因为，所以，点到直线的距离，所以.所以的面积为9.方法二：由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称，因为，所以，所以.所以的面积为9.17.已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前2025项和.解：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，则.因为等比数列的各项均为正数，所以.又因为，所以，解得.所以.所以数列的通项公式为.（2）因为