2024-2025学年广西桂林市高二上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，.故选：C.2.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线可化为，所以斜率为，故选：A.3.根据如下两组数据，下列说法正确的是（）5678910Y54.83.543224679349711A.和呈正相关，和呈正相关B.和呈负相关，和呈负相关C.和呈正相关，和呈负相关D.和呈负相关，和呈正相关【答案】D【解析】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关.故选：D.4.方程表示一个圆，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，解得.故选：B.5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由于双曲线的一条渐近线为，所以.故选：A.6.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表：工作时间24568工资30405070若对的线性回归方程为，则的值为（）A.56.5 B.58 C.60 D.62.5【答案】C【解析】由表格数据知：，，由线性回归方程为，，解得.故选：C.7.设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆另一焦点，不妨设在第二象限，连接，根据题意，作图如下：因为为等边三角形，即可得：，则，则，由椭圆定义可知：，故可得：．故选：B.8.已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（）A.第二次取到3号球的概率为B.如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大C.在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是D.如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种【答案】C【解析】选项A：设为“第1次在1号口袋中取号球”，为“第二次取号球”则，故A选项正确.选项B：设为“第二次取号球”，则，故，，，所以则它来自1号口袋的概率最大，B选项正确.选项C：，所以C选项错误.选项D：将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个，先将个球分成组，有，，三种分法.对于，有种方法；对于，有种方法；对于，有种方法.所以不同的分配方法共有种，D选项正确.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，则，所以的坐标为、.故选：AB.10.如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】因为，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确；因为，故D错误.故选：AC.11.在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（）附：若随机变量服从正态分布，则A.B.C.D.估计该市数学成绩在区间的考生约645人【答案】ABD【解析】依题意，服从正态分布，所以，A选项正确.随机变量，所以，所以，B选项正确.，所以C选项错误.，估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中常数项是__________.（用数字作答）.【答案】160【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，即，∴常数项为.13.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________.【答案】0.8【解析】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则，则.14.如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为__________.【答案】【解析】依题意可知，正方体的棱长为3，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由于，则，为上靠近的三等分点，所以.因为平面，，，所以，则平面的一个法向量为.设平面与棱的交点为，设，则.因为，即，可得.又因为在棱上，，，代入可得，解得，所以.设平面与棱的交点为，设，则.因为，即，可得.又因为在棱上，，，代入可得，解得，所以.其中，，，.，所以，所以平面与正方体的截面为四边形，，，，所以四边形是等腰梯形，高为，所以面积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.15.某学生对40名同学的饮食习惯进行了一次调查，其中甲组为女同学，乙组为男同学，调查的饮食指数结果如下：甲组：乙组：（说明：饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数不低于70的人，饮食以肉类为主）（1）根据以上数据完成下列列联表：性别主食蔬菜主食肉类总计女男总计（2）是否有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关？附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）根据题目所给数据，填写列联表如下：性别主食蔬菜主食肉类总计女101020男41620总计142640（2），所以有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关.16.已知直线经过点，圆.（1）若经过圆的圆心，求的方程；（2）若与相切，求的方程.解：（1）由题意可得：圆的圆心为，半径，因为直线经过点，则直线的斜率为，所以l的方程为，即.（2）当斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，即，因为与相切，则，解得，所以的方程为所以直线的方程为或.17.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，点为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：连接，依题意，底面为直角梯形，平面，以为原点，分别为轴，与平行的方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，，，所以.（2）解：，，设平面的法向量为m=x则，故可设，所以点到平面的距离为.（3）解：，设平面的法向量为，则，故可设，设平面与平面的夹角为，则.18.设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为.（1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率；（2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值.解：（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，则，，则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为：；（2）随机变量可能的取值为：，由题意，甲、乙车投产的概率分别为，所以，，，X012P所以数学期望．19.已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足.（1）求的方程；（2）直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点：①证明：与的横坐标的积为定值；②求周长的最小值.（1）解：设双曲线的半焦距为，则，因为双曲线右顶点，所以，由，得：，所以，则双曲线的标准方程为.（2）①证明：当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，联立，消去得：，由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且，于是得，则，双曲线的渐近线为，联立，消去得：，设，，则.当直线的斜率不存在时，，故，综上，点与点的横坐标的积为定值3.②解：由①，且，，因为，分别在双曲线的两条渐近线上，不妨取，，则，当且仅当时取等号，所以△周长的最小值为6.广西桂林市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，.故选：C.2.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线可化为，所以斜率为，故选：A.3.根据如下两组数据，下列说法正确的是（）5678910Y54.83.543224679349711A.和呈正相关，和呈正相关B.和呈负相关，和呈负相关C.和呈正相关，和呈负相关D.和呈负相关，和呈正相关【答案】D【解析】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关.故选：D.4.方程表示一个圆，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，解得.故选：B.5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由于双曲线的一条渐近线为，所以.故选：A.6.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表：工作时间24568工资30405070若对的线性回归方程为，则的值为（）A.56.5 B.58 C.60 D.62.5【答案】C【解析】由表格数据知：，，由线性回归方程为，，解得.故选：C.7.设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆另一焦点，不妨设在第二象限，连接，根据题意，作图如下：因为为等边三角形，即可得：，则，则，由椭圆定义可知：，故可得：．故选：B.8.已知编号为的三个口袋中有除颜色外完全相同的小球，其中1号口袋中有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋中有两个1号球，一个3号球；3号口袋内有三个1号球，两个2号球.第一次先从1号口袋中取出1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（）A.第二次取到3号球的概率为B.如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大C.在第一次取到2号球的条件下，第二次取到1号球的概率是D.如果将6个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有540种【答案】C【解析】选项A：设为“第1次在1号口袋中取号球”，为“第二次取号球”则，故A选项正确.选项B：设为“第二次取号球”，则，故，，，所以则它来自1号口袋的概率最大，B选项正确.选项C：，所以C选项错误.选项D：将个不同小球放入这个口袋内，每个口袋至少放个，先将个球分成组，有，，三种分法.对于，有种方法；对于，有种方法；对于，有种方法.所以不同的分配方法共有种，D选项正确.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，则，所以的坐标为、.故选：AB.10.如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】因为，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确；因为，故D错误.故选：AC.11.在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（）附：若随机变量服从正态分布，则A.B.C.D.估计该市数学成绩在区间的考生约645人【答案】ABD【解析】依题意，服从正态分布，所以，A选项正确.随机变量，所以，所以，B选项正确.，所以C选项错误.，估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中常数项是__________.（用数字作答）.【答案】160【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，即，∴常数项为.13.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是__________.【答案】0.8【解析】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则，则.14.如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为__________.【答案】【解析】依题意可知，正方体的棱长为3，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由于，则，为上靠近的三等分点，所以.因为平面，，，所以，则平面的一个法向量为.设平面与棱的交点为，设，则.因为，即，可得.又因为在棱上，，，代入可得，解得，所以.设平面与棱的交点为，设，则.因为，即，可得.又因为在棱上，，，代入可得，解得，所以.其中，，，.，所以，所以平面与正方体的截面为四边形，，，，所以四边形是等腰梯形，高为，所以面积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.15.某学生对40名同学的饮食习惯进行了一次调查，其中甲组为女同学，乙组为男同学，调查的饮食指数结果如下：甲组：乙组：（说明：饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数不低于70的人，饮食以肉类为主）（1）根据以上数据完成下列列联表：性别主食蔬菜主食肉类总计女男总计（2）是否有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关？附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）根据题目所给数据，填写列联表如下：性别主食蔬菜主食肉类总计女101020男41620总计142640（2），所以有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关.16.已知直线经过点，圆.（1）若经过圆的圆心，求的方程；（2）若与相切，求的方程.解：（1）由题意可得：圆的圆心为，半径，因为直线经过点，则直线的斜率为，所以l的方程为，即.（2）当斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为2，等于半径，符合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，即，因为与相切，则，解得，所以的方程为所以直线的方程为或.17.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，点为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：连接，依题意，底面为直角梯形，平面，以为原点，分别为轴，与平行的方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，，，所以.（2）解：，，设平面的法向量为m=x则，故可设，所以点到平面的距离为.（3）解：，设平面的法向量为，则，故可设，设平面与平面的夹角为，