2024-2025学年河南省信阳市固始县高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省信阳市固始县2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题第I卷（选择题，共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为向量，且，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以．故选：C．2.椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（）A.10 B.12 C.16 D.20【答案】D【解析】由题意得，由椭圆定义可知，，所以的周长为.故选：D．3.已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，所以，由解得，则，而，所以，，两边除以得，解得或（舍去）.故选：D．4.已知直线l：的倾斜角为，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率，所以，解得.故选：C．5.已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】因为，为BC的中点，所以，又，则，，，所以.故选：B.6.已知点在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，表示到点和的距离之和.又在直线上，关于的对称点为，所以，三点共线时等号成立，所以，所求最小值为：.故选：B．7.年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】C【解析】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；综上，满足题意的分配方法共有种.故选：C.8.过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，渐近线方程为.因为，所以直线的方程为.由得，即，由得，即，所以，，因为，所以，整理得，所以双曲线的离心率.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.曲线与曲线恰有三条公切线，则D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点【答案】BCD【解析】由，得，联立，解得，直线恒过定点，故A错误；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，曲线化为标准式，圆心距为，解得，故C正确；设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．故选：BCD．10.已知曲线：，则下列结论正确的是（）A.若，，则是两条直线B.若，则是圆，其半径为C.若，则是椭圆D.若，则是椭圆，其焦点在轴上【答案】AD【解析】对于A：若，，则曲线：，即，表示两条平行于轴的直线，故A正确；对于B：若，方程化为，则是圆，其半径为，故B错误；对于C：当，时满足，但是曲线：表示焦点在轴的双曲线，故C错误；对于D：若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D正确；故选：AD．11.在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（）A.当时，点在棱上B.当时，点到平面的距离为定值C.当时，点在以的中点为端点的线段上D.当时，平面【答案】BCD【解析】对于A，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在上，故A错误；对于B，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在棱上，由三棱柱性质可得平面，所以点到平面距离为定值，故B正确；对于C，当时，取的中点的中点，所以且，，即，所以即，又，所以三点共线，故在线段上，故C正确；对于D，当时，点为的中点，连接，由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，设与相交于点O，则，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，由正方形性质可知，又，平面，所以平面，故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知实数满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】方程可化，所以是以为圆心，半径为的圆上的点，与的距离是，所以的最小值是.13.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为______.【答案】4【解析】根据椭圆定义可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面积为.14.已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________.【答案】【解析】设，，则，，又，两式相减，得，即，整理得，直线的方程为，化简得，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）计算：；（2）若，则x的值为_____；（3）若，求正整数n．解：（1）.（2）依题意，，则，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.16．已知直线与直线．（1）若，求m的值；（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．解：（1）因为，所以，且，由，得，解得或（舍去），所以.（２）因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为，所以设直线的方程为（），令，则，令，则，因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，所以，解得或，所以直线的方程为或.17.椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．（1）写出椭圆C的焦点坐标和离心率；（2）求的面积．解：（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，所以，离心率.（2）由（1）知，直线的方程为，由消去得：，解得，所以的面积.18.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点．（1）求直线的方程；（2）若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：．解：（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，则，所以抛物线的方程为，当斜率存在时，设过点的直线的方程为，因为直线与抛物线相切，则联立得，，由解得，，所以直线的方程为.当直线斜率不存在时，满足过点的直线与抛物线相切，故过点与抛物线相切的直线方程为或（2）因为直线不与轴垂直，则直线的方程为，根据题意如图所示：由得，因为点为抛物线C上的点，设，由，则为的中点，则，因为轴，且直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，则得，由得，由，所以为的中点，即.19.如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：在中，因为，，，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：由（1）可得，，又，所以，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以，所以点到平面的距离.（3）解：假设存在，设，则，所以，设平面DHP的一个法向量，因为，所以，即，令，则，，所以，设平面的一个法向量，因为，，所以，即，令，则，，所以，设平面与平面的夹角为，则，解得或（舍），所以存在点，使得满足要求，此时，即.河南省信阳市固始县2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题第I卷（选择题，共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为向量，且，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以．故选：C．2.椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（）A.10 B.12 C.16 D.20【答案】D【解析】由题意得，由椭圆定义可知，，所以的周长为.故选：D．3.已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，所以，由解得，则，而，所以，，两边除以得，解得或（舍去）.故选：D．4.已知直线l：的倾斜角为，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率，所以，解得.故选：C．5.已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】因为，为BC的中点，所以，又，则，，，所以.故选：B.6.已知点在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，表示到点和的距离之和.又在直线上，关于的对称点为，所以，三点共线时等号成立，所以，所求最小值为：.故选：B．7.年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】C【解析】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；综上，满足题意的分配方法共有种.故选：C.8.过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，渐近线方程为.因为，所以直线的方程为.由得，即，由得，即，所以，，因为，所以，整理得，所以双曲线的离心率.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.曲线与曲线恰有三条公切线，则D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点【答案】BCD【解析】由，得，联立，解得，直线恒过定点，故A错误；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，曲线化为标准式，圆心距为，解得，故C正确；设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．故选：BCD．10.已知曲线：，则下列结论正确的是（）A.若，，则是两条直线B.若，则是圆，其半径为C.若，则是椭圆D.若，则是椭圆，其焦点在轴上【答案】AD【解析】对于A：若，，则曲线：，即，表示两条平行于轴的直线，故A正确；对于B：若，方程化为，则是圆，其半径为，故B错误；对于C：当，时满足，但是曲线：表示焦点在轴的双曲线，故C错误；对于D：若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D正确；故选：AD．11.在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（）A.当时，点在棱上B.当时，点到平面的距离为定值C.当时，点在以的中点为端点的线段上D.当时，平面【答案】BCD【解析】对于A，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在上，故A错误；对于B，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在棱上，由三棱柱性质可得平面，所以点到平面距离为定值，故B正确；对于C，当时，取的中点的中点，所以且，，即，所以即，又，所以三点共线，故在线段上，故C正确；对于D，当时，点为的中点，连接，由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，设与相交于点O，则，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，由正方形性质可知，又，平面，所以平面，故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知实数满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】方程可化，所以是以为圆心，半径为的圆上的点，与的距离是，所以的最小值是.13.已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为______.【答案】4【解析】根据椭圆定义可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面积为.14.已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________.【答案】【解析】设，，则，，又，两式相减，得，即，整理得，直线的方程为，化简得，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）计算：；（2）若，则x的值为_____；（3）若，求正整数n．解：（1）.（2）依题意，，则，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.16．已知直线与直线．（1）若，求m的值；（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．解：（1）因为，所以，且，由，得，解得或（舍去），所以.（２）因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为，所以设直线的方程为（），令，则，令，则，因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，所以，解得或，所以直线的方程为或.17.椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．（1）写出椭圆C的焦点坐标和离心率；（2）求的面积．解：（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，所以，离心率.（2）由（1）知，直线的方程为，由消去得：，解得，所以的面积