2024-2025学年湖南省益阳市高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省益阳市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的斜率为，故选：B.2.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设与直线平行的直线可设为，因为点在上，所以，所以方程为.故选：A.3.已知两个向量，则的值是（）A. B. C.1 D.5【答案】D【解析】根据可得，解得，故选：D.4.已知等差数列的前项和为，则（）A.36 B.64 C.72 D.88【答案】C【解析】由可得，故，进而可得，故，故选：C.5.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即，故，故选：A.6.已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有，可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为，则有，因为，所以，所以，直线的方程为.故选：D.7.在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为为的中点，则，即，所以，，因为、分别为、的中点，同理可得，故选：C.8.已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角，此时，，则点在以线段为直径的圆上，且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为，所以，直线与圆相切，直线的一般方程为，则，解得.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知直线，则（）A.的倾斜角为B.在轴上的截距为C.原点到的距离为1D.与坐标轴围成的三角形的面积为2【答案】ABC【解析】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；选项C：原点到的距离为，故选项C正确；选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.故选：ABC.10.已知数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.数列为等比数列【答案】AB【解析】因为，所以，所以数列是以首项为，公比为2的等比数列，所以，故A正确；数列的前项和为，故B正确；因为，故C错误；令，所以数列为等差数列，故D错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（）A.在线段上存在一点，使得B.三棱锥的体积为C.与平面所成角的余弦值的最小值为D.若平面，则平面与正方体的截面面积是【答案】BCD【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，对于A，，当时，与不共线，当时，与不共线，因此不平行，A错误；对于B，，设平面的法向量为，则，令，得，点到平面的距离，，，则，，因此三棱锥的体积，B正确；对于C，，设与平面所成的角为，则，当且仅当时取等号，此时取得最小值，C正确；对于D，，取中点，过点的平面截正方体的截面为正六边形，，则，，于是，而，平面，则垂直于该截面，该截面与的交点为，因此平面，截面正六边形的面积为，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知两个向量，则__________.【答案】【解析】.13.已知圆，直线与交于两点，则的面积等于__________.【答案】【解析】的圆心为半径为，故圆心到直线的距离为，弦长，故.14.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______.【答案】2【解析】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，所以，所以，，，双曲线的方程为：，如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设，，与圆分别相切于点，，，由切线长定理得，而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为，同理可求得的横坐标为，则，设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为，要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有，在，中，有，，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）若，记，求的值.解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，.所以数列的通项公式是.（2）由题意知，则，数列是首项为，公比为的等比数列，又因为，所以，.16.已知抛物线的焦点为，点在上.（1）求焦点的坐标及的值；（2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程.解：（1）由题意可得焦点的坐标为.点在上，.解得（舍去），.（2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知.设过三点的圆的方程为，代入点得，解得.所以，过三点的圆的方程为（或者）.17.如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点.（1）若，求证：平面；（2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：正三棱柱平面平面.为正三角形，为中点，.又平面平面平面.又平面，.所以，..又平面,故平面.（2）解：以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，可取.设平面的一个法向量为，则，可取.平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆过点，且的离心率为.（1）求的方程；（2）设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点.①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距；②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.解：（1）由题意可知解得.故的方程为.（2）①由题意知.则直线的方程为.设平行于直线的直线的方程为.联立，消去得：.，解得：.设与椭圆的交点坐标为，..又直线与直线的距离，由于以线段为直径的圆与直线相切，则，即.解得.经检验：，故在轴上的截距为；②由.为定值.19.若各项均为正整数的数列，对任意的，均有成立，则称数列为“下凸正整数数列”.（1）若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对；（2）设数列满足，且，判断数列是否为“下凸正整数数列”，并说明理由；（3）已知“下凸正整数数列”中，，，，，求最大值.解：（1）因为数列为“下凸正整数数列”，则，所以，，可得，又、，当时，或，当时，不符合题意.即所求的数对有、.（2）数列是“下凸正整数数列”，理由如下：因为，所以，.对任意的，所以，，即，且.则当时，，，，，，累加得，则，也满足，故对任意的，.①由可知是正整数，②因，其中且，即成立，综合①②可得数列是“下凸正整数数列”.（3）因为，对任意的，令，则且，故对任意的恒成立，当，，，时，因为，所以，，此时，，即，解得，故.若取，则对任意的，，此时，数列为“下凸正整数数列”，且，即符合题意.综上，的最大值为.湖南省益阳市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的斜率为，故选：B.2.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设与直线平行的直线可设为，因为点在上，所以，所以方程为.故选：A.3.已知两个向量，则的值是（）A. B. C.1 D.5【答案】D【解析】根据可得，解得，故选：D.4.已知等差数列的前项和为，则（）A.36 B.64 C.72 D.88【答案】C【解析】由可得，故，进而可得，故，故选：C.5.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由于双曲线的两条渐近线互相垂直，故渐近线的斜率为，即，故，故选：A.6.已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为圆的半径为，设原点到直线的距离为，则有，可知当最大时弦的长最短，所以当直线时，弦的长最短，设直线的斜率为，则有，因为，所以，所以，直线的方程为.故选：D.7.在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为为的中点，则，即，所以，，因为、分别为、的中点，同理可得，故选：C.8.已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，当为直角时，直线的方程为，此时，直线与直线有一个公共点，由题意可知，在直线上有且只有一个点，使得为直角，此时，，则点在以线段为直径的圆上，且该圆的圆心为原点，半径为，且圆的方程为，所以，直线与圆相切，直线的一般方程为，则，解得.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知直线，则（）A.的倾斜角为B.在轴上的截距为C.原点到的距离为1D.与坐标轴围成的三角形的面积为2【答案】ABC【解析】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确；选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确；选项C：原点到的距离为，故选项C正确；选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误.故选：ABC.10.已知数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.数列为等比数列【答案】AB【解析】因为，所以，所以数列是以首项为，公比为2的等比数列，所以，故A正确；数列的前项和为，故B正确；因为，故C错误；令，所以数列为等差数列，故D错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（）A.在线段上存在一点，使得B.三棱锥的体积为C.与平面所成角的余弦值的最小值为D.若平面，则平面与正方体的截面面积是【答案】BCD【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，对于A，，当时，与不共线，当时，与不共线，因此不平行，A错误；对于B，，设平面的法向量为，则，令，得，点到平面的距离，，，则，，因此三棱锥的体积，B正确；对于C，，设与平面所成的角为，则，当且仅当时取等号，此时取得最小值，C正确；对于D，，取中点，过点的平面截正方体的截面为正六边形，，则，，于是，而，平面，则垂直于该截面，该截面与的交点为，因此平面，截面正六边形的面积为，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知两个向量，则__________.【答案】【解析】.13.已知圆，直线与交于两点，则的面积等于__________.【答案】【解析】的圆心为半径为，故圆心到直线的距离为，弦长，故.14.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______.【答案】2【解析】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以，所以，所以，，，双曲线的方程为：，如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设，，与圆分别相切于点，，，由切线长定理得，而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，轴，所以的横坐标为，同理可求得的横坐标为，则，设直线的倾斜角为，由双曲线渐近线为，倾斜角分别为，要使直线与双曲线的右支交于两点，则，有，在，中，有，，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求；（2）若，记，求的值.解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，.所以数列的通项公式是.（2）由题意知，则，数列是首项为，公比为的等比数列，又因为，所以，.16.已知抛物线的焦点为，点在上.（1）求焦点的坐标及的值；（2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程.解：（1）由题意可得焦点的坐标为.点在上，.解得（舍去），.（2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知.设过三点的圆的方程为，代入点得，解得.所以，过三点的圆的方程为（或者）.17.如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点.（1）若，求证：平面；（2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：正三棱柱平面平面.为正三角形，为中点，.又平面平面平面.又平面，.所以，..又平面,故平面.（2）解：以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，可取.设平面的一个法向量为，则，可取