21.3.2实际问题与一元二次方程 第2课时　平均变化率与销售问题　教学设计　人教版数学九年级上册

21.3.2实际问题与一元二次方程第2课时平均变化率与销售问题教学设计人教版数学九年级上册主备人备课成员设计思路本课时以实际问题与一元二次方程为教学主线，结合人教版数学九年级上册课本内容，引导学生通过实际案例学习平均变化率与销售问题。通过设计一系列与实际生活相关的数学问题，帮助学生理解和掌握一元二次方程的应用，提高学生解决实际问题的能力。教学过程中注重理论与实践相结合，让学生在解决问题的过程中体验数学的趣味性和实用性。核心素养目标1.发展逻辑推理能力，通过分析实际问题，理解一元二次方程在解决平均变化率问题中的应用。

2.培养数学建模意识，将实际问题转化为数学模型，提高解决实际问题的能力。

3.增强数学应用意识，认识到数学在生活中的重要性，提升跨学科思维。重点难点及解决办法重点：一元二次方程在平均变化率问题中的应用。

难点：将实际问题转化为数学模型，并正确列出方程。

解决办法：

1.通过实例分析，引导学生理解平均变化率的含义，明确一元二次方程的应用场景。

2.通过小组合作，让学生尝试将实际问题转化为数学模型，教师适时指导，帮助学生突破难点。

3.加强练习，通过不同类型的题目，让学生熟练掌握方程的列法和求解方法。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.软硬件资源：电子白板、计算机、投影仪

2.课程平台：人教版数学九年级上册教材配套资源

3.信息化资源：相关数学教育软件、在线教学平台

4.教学手段：多媒体课件、实物教具、学生作业本教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一组商品打折前后的价格变化图，引导学生思考价格变化的规律。

2.提出问题：如何根据商品的原价和折扣率计算实际售价？

3.引导学生回顾一元二次方程的概念和求解方法，为新课的学习做好铺垫。

二、讲授新课（20分钟）

1.讲解一元二次方程在平均变化率问题中的应用，强调方程的列法和求解步骤。

2.通过实例分析，展示如何将实际问题转化为数学模型，并引导学生列出方程。

3.讲解求解方程的方法，包括配方法、公式法和因式分解法。

4.强调方程求解过程中的注意事项，如系数的确定、方程的化简等。

三、巩固练习（15分钟）

1.学生独立完成课本上的例题，教师巡视指导，解答学生疑问。

2.学生小组合作，讨论解决实际问题，如计算商品在不同折扣率下的实际售价。

3.教师选取典型题目，组织学生展示解题过程，共同分析解题思路。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问：如何判断一元二次方程的解的性质？

2.提问：在实际问题中，如何确定方程的系数和常数项？

3.提问：在求解方程时，如何避免计算错误？

五、师生互动环节（10分钟）

1.教师提问：如何将实际问题转化为数学模型？

2.学生回答，教师点评并总结。

3.教师提问：在求解方程时，如何判断方程的解的个数？

4.学生回答，教师点评并总结。

5.教师提问：在实际问题中，如何应用一元二次方程？

6.学生回答，教师点评并总结。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.教师引导学生思考：一元二次方程在实际生活中的应用有哪些？

2.学生讨论，分享自己的见解。

3.教师总结：一元二次方程在物理学、经济学等领域有广泛的应用。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.教师总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

2.布置课后作业，包括课本上的练习题和拓展题。

用时：45分钟拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《数学史上的名题精选》：阅读有关一元二次方程发展历史的文章，了解一元二次方程在数学发展史上的重要地位。

-《一元二次方程的实际应用》：收集并阅读一些关于一元二次方程在实际生活中的应用案例，如工程问题、物理问题、经济问题等。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-设计一个简单的商品销售问题，要求学生根据所学知识，通过一元二次方程计算出不同折扣率下的商品售价。

-学生可以尝试将一元二次方程应用于其他领域，如物理学中的抛体运动问题、经济学中的供需关系分析等。

-组织学生开展小组讨论，分享各自在实际生活中遇到的数学问题，并尝试用一元二次方程进行解决。

3.拓展知识点：

-探讨一元二次方程的根与系数的关系，如韦达定理的应用。

-研究一元二次方程的判别式，分析不同情况下方程的解的情况。

-探索一元二次方程与二次函数之间的关系，通过函数图像理解方程的解的意义。

-研究一元二次方程在几何中的应用，如圆的方程、椭圆的方程等。

4.实用性练习：

-学生可以选择一些实际问题，如建筑设计、经济投资、运动竞赛等，尝试运用一元二次方程进行建模和分析。

-通过实际问题的解决，学生可以加深对一元二次方程的理解，提高解决实际问题的能力。

5.课后拓展阅读推荐：

-《数学之美》：介绍数学在各个领域的应用，激发学生对数学的兴趣。

-《数学思维训练》：通过有趣的数学题目，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。课堂1.课堂评价：

-提问：通过课堂提问，了解学生对一元二次方程在平均变化率问题中的应用的理解程度。例如，提问学生如何根据实际问题列出方程，如何求解方程，以及如何分析方程的解。

-观察：观察学生在课堂上的参与度，包括是否积极回答问题、是否能够正确运用所学知识解决实际问题等。

-小组讨论：通过小组讨论，评估学生之间的合作能力和沟通能力，以及是否能够将所学知识应用于实际问题。

-测试：在课程结束后，进行小测验或练习题，以评估学生对一元二次方程的理解和掌握程度。

2.课堂评价实施细节：

-提问环节：设计不同难度的问题，从基础知识到应用能力，逐步提高问题的挑战性，以确保所有学生都能参与其中。

-观察环节：记录学生的课堂行为，如注意力集中程度、参与讨论的积极性等，以便及时调整教学策略。

-小组讨论环节：观察学生是否能够提出有见地的观点，是否能够倾听他人意见，以及是否能够有效地表达自己的思想。

-测试环节：设计测试题，涵盖不同类型的题目，如选择题、填空题、解答题等，以全面评估学生的学习成果。

3.课堂评价反馈：

-及时反馈：对于学生的回答，教师应给予及时的反馈，无论是肯定还是纠正，都要确保学生能够理解并吸收。

-个别辅导：对于在课堂表现中遇到困难的学生，教师应提供个别辅导，帮助他们克服学习障碍。

-调整教学：根据课堂评价的结果，教师应调整教学计划，确保教学内容和方法能够满足学生的学习需求。

4.作业评价：

-作业批改：对学生的作业进行认真批改，检查学生是否掌握了相关的知识点和技能。

-点评与反馈：在作业批改过程中，不仅要指出错误，还要给出正确的解答和解释，帮助学生理解错误的原因。

-及时反馈：将批改后的作业及时返回给学生，并提供个性化的反馈，鼓励学生在后续的学习中继续努力。

5.作业评价实施细节：

-作业设计：设计多样化的作业，包括基础练习、应用题、探究题等，以适应不同学生的学习需求。

-作业批改标准：制定明确的作业批改标准，确保评价的客观性和一致性。

-作业反馈：在作业反馈中，不仅要指出错误，还要提供改进建议，帮助学生提高学习效果。板书设计①平均变化率的概念

-平均变化率定义

-平均变化率的计算公式

②一元二次方程在平均变化率问题中的应用

-问题建模：如何将实际问题转化为数学模型

-方程列出：根据模型列出相应的一元二次方程

③一元二次方程的求解方法

-配方法：完成方程的配方过程

-公式法：直接应用求根公式

-因式分解法：因式分解并求解方程

④求解一元二次方程的注意事项

-确保方程正确列出

-注意系数和常数项的处理

-判别式分析：判断方程的解的情况

⑤实际问题解决步骤

-理解实际问题

-列出数学模型

-解方程

-分析结果并应用

⑥错误案例分析

-列出常见的错误类型

-分析错误原因

-提供纠正方法重点题型整理1.类型一：根据实际情境列出平均变化率问题的一元二次方程

-题型：某商品售价每增加1元，其销售量减少10件，若商品原售价为50元，求商品售价为x元时的销售量y。

-答案：由题意知，每增加1元，销售量减少10件，可得y与x的关系为y=50x-500，即y=-10x^2+100x。

2.类型二：求解一元二次方程，找出平均变化率问题中的特定值

-题型：某商品原售价为100元，售价每降低5元，销售量增加20件，求售价降低至80元时的销售量。

-答案：设销售量为y，则根据题意可得y=100+20(20)，即y=100+400=500件。

3.类型三：根据平均变化率问题求解最大值或最小值

-题型：某商品的成本随产量增加而增加，成本函数为C(x)=2x^2-10x+50，求产量为多少时，总成本最小。

-答案：由题意知，C(x)是一个开口向上的抛物线，最小值在对称轴处取得，对称轴的x坐标为-(-10)/(2*2)=2.5，将x=2.5代入C(x)得C(2.5)=2(2.5)^2-10(2.5)+50=18.75，故总成本最小为18.75。

4.类型四：结合实际问题分析一元二次方程解的意义

-题型：某工厂生产一种产品，每增加一台机器，产量增加20件，若机器总数为x台，求总产量的函数模型，并分析产量为零时的意义。

-答案：设总产量为y，则根据题意可得y=20x，即总产量的函数模型为y=20x。当产量y=0时，说明没有机器工作，即机器总数x=0。

5.类型五：应用一元二次方程解决实际生活中的优化问题

-题型：某农场种植两种作物，总种植面积为100亩，甲作物每亩产量为4吨，乙作物每亩产量为5吨，为使总产量最大，求甲作物和乙作物的种植面积。

-答案：设甲作物种植面积为x亩，乙作物种植面积为y亩，则