圆周角（知识梳理+题型分析+同步练习）-2025-2026学年九年级数学上册专项突破【含答案】

专题2.4圆周角

目录

一、知识梳理与题型分类精析

知识点（一）圆周角定义

【题型1】圆周角的辨析

【题型2】与圆周角定义相关计算

知识点（二）圆周角定理

【题型31利用圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半求值

【题型4］利用圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半求值证明

【题型5】利用同弧或等弧所对圆周角相等求值证明

知识点（三）圆周角定理的推论

【题型6】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求值证明

【题型7】利用90度的圆周角所对的弦是直径求值证明

知识点（四）圆内接四边及其性质

【题型8】已知圆内接四边形求角度

【题型9】求圆内接四边形外接圆的直径

二、同步练习

【基础巩固（16题）】

【能力提升（16题）】

【中考真题10题】

一、知识梳理与题型分类精析毓

知识点（一）圆周角定义

定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

如图1,在。。中，是圆周角.

试卷第1页，共24页

图1

【题型1】圆周角的辨析

【例题1]（2023•福建厦门•模拟预测）

1.如图，在半圆。中，48为直径,下列四个选项中或所对的圆周角是（）

C

3

AOB

A./BECB.NDCEC./ABCD.NCDE

【变式1】

（23-24九年级上•全国•课后作业）

2.如图，前所对的圆周角是_____—,而所对的圆周角是_________.

O

【变式2】

（23-24九年级上•河北廊坊,期中）

在图中标出的/1~/5这5个角中，而所对的圆周角是

©

A.Z5B.N1和N2C./3和N4D.N1和N3

【题型2】与圆周角定义相关计算

【例题2】（21-22八年级上•江西景德镇•期中）

4.如图，CO是的直径，4月00=84。，力上交OO于点B,且AB=OC,求蓝的度数

试卷第2页，共24页

（21-22九年级上•江苏常州・期中）

5.如图，8是。。的直径，点力在QC的延长线上，ZJ=18°,彳E交。。于点8,且48

=OD.则

【变式2】

（2024•安徽蚌埠•模拟预测）

6.如图，CO是以。为圆心的半圆的直径，力是。。延长线上一点，过力点的直线交半圆

于"K两点，4在/,石之间，若,4B-OD,NEOO-45。，则/94。的大小为（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

知识点（二）圆周角定理

文字语言：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对孤上的圆心角度数的一半，同弧或等

弧所对的圆周角相等.

符号语言：如下图，•.•蓝所对的圆周角有4NE,所对的圆心角为N8OC,

NA=/D=NE」/BOC

2

试卷第3页，共24页

A

C

【题型4］利用圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半求值证明

【例题4】（24-25九年级下•河南南阳•开学考试）

10.如图，是。。的直径，是。。的一条弦，ABLCD,连接/C,OD.

⑴求证：NBO£）=24；

（2）若NC44=30。，AB=4,则。。的长.

【变式1】

（24-25九年级上•陕西延安•期末）

11.如图，是。。的直径，点C是而的中点，连接BC,CD,DA,OC,OD.求证:

OC//AD.

【变式2】

（24-25九年级上•浙江杭州•期末）

12.如图，是。。的直径，力。是弦，半径OQ14C,连结CDBC.

试卷第5页，共24页

求证：NBOD=2/D.

【题型5】利用同弧或等弧所对圆周角相等求值证明

【例题5】（24-25九年级卜安徽黄山•阶段练习）

13.如图，在。。中，力B为直径,4C与CO为弦，AB1CD于点、E,DFJ.AC于点F,AB

与。尸相交于点G.

（1）若NOG8=56。，求N8OC的度数;

（2）若力8=20,BE=8,求CO的长.

【变式1】

（24-25九年级上•浙江宁波•期中）

14.如图，。。的弦8相交于点且”=CD,求证：EB=ED.

【变式2】

（2025•北京密云•一模）

15.如图，为OO直径，CO为。。的一条弦，4B工CD于E,连接

OD.DB.ZCJ5=20n,则/O6O的大小为°,

知识点（三）圆周角定理的推论

文字语言：直径所对的圆周角是直角，9（）度圆周角所对的弦是直径.

试卷第6页，共24页

符号语言：如下图，（1）「BC为。。的直径，，/助C=90°：（2）在。。中,

/84。=90°

・•.48为。。的直径.

【题型6】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求值证明

【例题6】（24-25九年级上•江西宜春•阶段练习）

16.如图为一个含30。角的直角三角形及其外接圆，点。在边8c上且力。为/必1C的角平

分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹.

（1）在图1中，以点〃为顶点作一锐角，使之与N4互余；

（2）在图2中，过点。作线段的中点O.

【变式1】

（24-25九年级下•陕西西安,期中）

17.如图，四边形川北'。内接于。0,NB3135。，力8是。。的直径，/1。=3,BC=2,

A.372B.V22C.V10D.Vl4

试卷第7页，共24页

【变式2】

（24-25九年级卜.•河南商丘•期中）

18.如图，在等腰三角形48c中，AB=AC=5,BC=6,。为平面内一点，连接和,

CD,且28DC=90。，连接力。，则力。的最小值为,最大值为.

【题型7】利用90度的圆周角所对的弦是直径求值证明

【例题7】（24-25九年级上•浙江杭州・期中）

19.如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点8,点A的坐标为（0,2）,点8的

坐标为（26,0）,解答下列各题:

（1）求线段44的长;

（2）求。。的半径及圆心。的坐标.

【变式1】

（2025•山东临沂•一模）

20.如图，Rt△力8c中，4c8=90。，AC=2日BC=3.点P为MBC内一点,且满

足「才+则8尸的长度最小值为（）

「36D.班

A.3B.6L■---

42

试卷第8页，共24页

【变式2】

（24-25九年级上•浙江杭州,期中）

21.如图，四边形力8c。内接于。O,/E1C8交C8的延长线于点£,若B4平分/DBE,

AD=6,CE=2亚,WOAE=

知识点（四）圆内接四边及其性质.

1.圆内接四边形的定义：一个四边形四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接

四动形:

2.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形对角互补.

如下图：:四边形力4CO为圆内接四边形

ZJ+ZC=180°;Z5+ZZ)=180°

图4

【题型8】已知圆内接四边形求角度

【例题8]（24-25八年级F•江苏泰州・期末）

22.如图，在OO中，弦AB=AD,点石在。。上.

试卷第9页，共24页

AA

EE

图①图②

（1）如图①，若8。是。。的直径，求的度数；

（2）如图②，在弧〃。上取一点C,若/。=。（90。＜。＜180。），请用含a的式子表示，石的

度数.

【变式1】

（24-25九年级上•福建莆田・期中）

23.如图，四边形力8c。内接十。。，连接。从OD,则卜列结论一定止确的是（）

A.2ZJ=ZCB.ZBOD=ZC

C./4+/C=180°D.NBOZ）+NC=180°

【变式2】

（22-23九年级上•广东广州•期末）

24.如图，线段8C的两个端点分别在x轴和直线/上滑动（均不与原点。重合），

Na=60。，8c=2,作5P_Lx轴，。尸_L/,交点为P,设尸的坐标为（〃均），则p2+q2=

【题型9】求圆内接四边形外接圆的直径

[例题9]⑵-24九年级上•江苏扬州•阶段练习）

试卷第10页，共24页

25.已知四边形48CQ中，N8=90。，AB=3,BC=4,CD=42\,AD=2,试判断4、

8、C、。四点是否在同一个圆上，并说明理由.

C

（23-24九年级上•河南三门峡•期中）

26.如图，OC过原点O,且与两坐标轴分别交于点A、B,点、A的坐标为（0,4）,点历

120°,则。C的半径为（)

C.6GD.2

【变式2】

（2022九年级•福建•竞赛）

27.如图为圆O的内接四边形，且ACLBD,若AB=IO,8=8,则圆O的面积为

二、同步练习;三

【基础巩固（16题）】

一、单选题

（2025•黑龙江佳木斯•三模）

28.如图，在OO中，力8是直径，480=30。，则/加C的度数是（）

试卷第11页，共24页

AOB

A.30。B.45°C.60°D.90°

（2024•安徽蚌埠•模拟预测）

29.如图，CQ是以。为圆心的半圆的直径，力是QC延长线上一点，过力点的直线交半圆

于8,E两点,B在A,E之间，若AB=OD,NEOD=45。,则乙％。的大小为（）

ACOD

A.10°B.15°C.20°D.25°

（24-25九年级上•广东广州•期中）

30.如图，是。。的直径，弦CD交AB于点、E,连接.4C、AD.若ND=62。,则=

（）

三D

A.24°B.28°C.31°D.32°

（24-25九年级上•北京•阶段练习）

31.如图，内接于00,连接40,80,CO,已知N/8C=2NO8,且CO交48于点

。，下列结论不成文的是（）

电C

A.ZAOC=2ZCOBB.ZAOC=4ZCAB

C.ZADO=Z.CBOD.4cOB=2ZABO

试卷第12页，共24页

（2024•陕西渭南•二模）

32.摩天轮（如图1）与云霄飞车、旋转木马合称“乐园三宝”，将图1中的摩天轮抽象成数

学图形如图2所示，力、B、C、。表示摩天轮上的四个轿厢，它们均在表示摩天轮的圆上,

连接力8、BC、CD、AD,已知力力为圆中最长的弦，且仍=2",则N8CO的度数为（）

图1图2

A.100°B.120°C.130°D.150°

（23-24九年级上•福建福州•阶段练习）

33.根据下列四幅图中标注的信息,无法确定C,。四点在同一个圆上的是（）

"p-----------|CDp

A.B./

。C

:工

C.A<\^

B力

二、填空题

（24-25九年级上•湖南长沙•期中）

34.如图，点小B、C在。。上，若NC=38。，则/力。8的度数为____.

©

（2025•河南•二模）

35.如图，/C是。。的直径，点£"。在。。上，AB=BC,4C与BD交于点、E.若

ZCOZ）=60°,则NCE。的度数为—

试卷第13页，共24页

（24-25八年级下•广东广州•期中）

36.如图，△力8C内接于。0,将弧8c沿弦8c翻折，弧8c交弦4C于点。，连接也）,

若乙48。=44。，则/力的度数为.

37.如图，ZUBC内接于00,4?=4C,点。在。。上，。。平分若NB=70。,则

ZADO=。.

（2025•安徽滁州•三模）

38.如图，两圆相交于4B两点，小圆经过大圆的圆心。，四边形。月。5内接于小圆，点。

（21-22九年级•江苏南京•自主招生）

39.如图，4c8=90。，山EF中,/。=90。，DE=3,DF=4,E、/分别在射线C8、CA

上滑动，开始时，点F与点、C重合.当点E向点C运动时,点F沿着CA方向运动（保持QEF

试卷第14页，共24页

形状不变），点E从起始位置运动到点。的过程中，点。的运动轨迹的长度是

三、解答题

（2025・广东・二模）

40.如图，点。在以48为直径的。。上.

（1）实践与操作：用尺规作图法作N/1C8的平分线C。交。。于点。；（保留作图痕迹，不要

求写作法）

（2）应用与证明：在（1）的条件下，连接。0,求证：DOLAB

（24-25九年级上•贵州遵义・期末）

41.如图，48是。。的直径，点。是。。上一点，Z^C=30°,过点C作。尸于点

F,b的延长线交。。于点Q.

⑴求/加纪的度数；

（2）若。。的半径为5,求CO的长.

（2025•宁夏中卫•二模）

42.如图，在圆内接四边形48CQ中，AD〈AC/ADC</BAD,延长力。至点£,延长历1

至点巴连结E尸，使/加芭=N4）C.

试卷第15页，共24页

E

⑴若乙〃^=60。，co为直径，求/4a的度数.

（2）求证：EF//BCx

（24-25九年级上•山东威海•期末）

43.如图，为。。的直径，弦。Z）_L48于点E,G是弧4c上一点；延长4G,DC交

（2）如图2,连结NC,CG,若AC工GD,求证：DH=CG.

【能力提升（16题）】

一、单选题

（24-25九年级下•陕西宝鸡・期中）

44.如图，△/fBC内接于O。，是。0的直径，点。是筋的中点，连接CO、BD,若

/。8。=105。，则//的度数为（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

（2025•陕西宝鸡•模拟预测）

45.如图，ZUBC内接于OO,48=8。,乙48。=120。,4。为00的直径.若力。=16,则/伊

的长为（）

试卷第16页，共24页

A.4B.4A/3C.8D.既

(24-25九年级上•陕西渭南•期中)

46.如图，△力4c内接于。。，点。在。。上，连接OC、DA、OA,0A上BC,若

ZADC=25°,则/C力4的度数是()

(23-24九年级上•广东江门•阶段练习)

47.如图，在平面直角坐标系xQy中，点A在x轴负半轴上，点8在歹轴正半轴上，。。经

过A,B,O,C四点，ZJCO=120°,48=4,则圆心点。的坐标是()

A.(V3,l)B.(-73,1)C.(-1,73)D.(-2,25/3)

(21-22九年级上•全国•课后作业)

48.如图，弦5T所对的圆心角为120。，为直径，S7在半圆上滑动，M是S7的中点,

点P是点S对所作垂线的垂足，则NSPA/=()

试卷第17页，共24页

C.60°D.75°

（24-25九年级上•黑龙江大庆•期中）

49.如图，Rt△力8c中，N4CB=90,AC=4后,BC=6点尸为△/IB。内一点，且满足

PH+PC'Q当尸4的长度最小时，尸的面积是（）

D,迈

C.3。

4

二、填空题

（2025・广东梅州•一模）

50.如图，4。是。O的直径，弦8c交4。于点E,连接/出，/C,若/比1。=25。，则“力。4

（2025•四川南充二模）

51.如图，是。。的直径，点C,。是上位于直径48两侧的点，连接力C,DC,

且姮）=而，则度-

试卷第18页，共24页

D

（2025•江苏南京•二模）

52.如图，是。。的直径，弦CD上AB,点E在行上.若NABC=》E,则无的度

数为.

（2025•安徽•模拟预测）

53.如图，在A/IBC中，Z5JC=90°,NC=60。，点。为/C的中点，点E在BC上,且

CE=CD.。。经过点4D,E,与48交于点G,与6。交于点巴则法的度数

为________。.

（2025•浙江•模拟预测）

54.如图，△/”•中,/47?。=45。,/ACR=T）.5°.S^DC=S,则△/«门外接圆。。的面

积为.

试卷第19页，共24页

（23-24九年级上•江苏南通•期末）

55.已知，如图，/MON=60。，点力，4为射线，ON上的动点，艮/1B=4百,在"MON

的内部、△力。8的外部有一点尸，且力P=8P,N4PB=120。,则线段。尸的取范围

三、解答题

（24-25九年级下•安徽黄山•阶段练习）

56.如图，在。。中，48为直径，4c与CD为弦,AB1CD于点、E,。/工4c于点凡AB

与。尸相交于点G.

（1）若/QG8=56。，求N5OC的度数;

(2)若,45—20,BE=2,求CO的长.

（2025•浙江丽水・二模）

57.如图，ZUAC内接于。。，直径4E交8。于点。，已知/1+/2=90二

(1)求证：CD=CE.

⑵设N1的度数为x,求/84E的度数（用含x的代数式表示）.

AD

（3）若。1=。〃，求器的值.

DE

（24-25九年级上•浙江宁波•期中）

试卷第2（）页，共24页

58.如图，Rt△48c是。。的内接三角形，点。为。O上一点，点C、点。分别在线段出?

的两侧，AC=2,CZ?=2V3.

（图1）（图2）

（1）求。。的半径长；

（2）如图1,若CQ_L/1B,求CQ的长；

（3）如图2,若CD=2五,求N4CQ的度数.

（24-25九年级上•广东江门•期中）

59.如图，在圆内接四边形力5c。中，AD<AC,N4DC<NBAD,延长4。至点£,使

AE=AC,延长必1至点F,连接"，使==ZADC.

E

1

⑴求证：EF//BC.

(2)如图2,若8。过圆心0,4C平分40=8,AB=6.

①求证：EF=BD；

②求4C的长.

【中考真题10题】

一、单选题

（2025・湖南长沙•中考真题）

60.如图，AC,AC为。。的弦，连接。4,OB,0。.若//。8=40。,/0。4=30。，则/8。。

的度数为（）

试卷第21页，共24页

c

A.40°B.45°C.50°D.55°

（2025•青海•中考真题）

61.如图，/〃是OO的直径，ZCJ^=40°,则/力。。的度数是（）

B.50°C.40°D.25°

（2025•山东东营•中考真题）

62.如图，四边形内接于若N8OO=130。，则NTCQ的度数是

55°C.65°D.70°

（2025•新疆・中考真题）

63.如图，CO是的直径，48是弦，AB1CD,4DC=30。，则/8OC()

A.30°B.45°C.60°D.75°

（2025•甘肃平凉•中考真题）

64.如图，四边形川无‘。内接于。O,A8=8C,连接8Q,若4ABe=70。,则N8DC的

试卷第22页，共24页

度数为（）

A.20°B.35°C.55°D.70°

二、填空题

（2025•陕西•中考真题）

6与5.如图，43为0。的直径，BC=BD，NCDB=24°,则48的度数为_____

（2025•江苏扬州•中考真题）

66.如图，点A,B,C在。。上,ZBAC=50°,则/。8。=。.

（2025•四川宜宾•中考真题）

67.如图，已知4C是。。的圆周角，ZBAC=40°,则NO8C=______

A

@

三、解答题

（2025・安徽・中考真题）

68.如图，四边形48CO的顶点都在半圆。上,力8是半圆。的直径，连接OC,

试卷第23页，共24页

NQ44+2N/14C=18()°.

C

(2)若40=2,BC=2y/3,求的长.

（2025・四川遂宁•中考真题）

69.我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接

四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等

内接四边形

⑴请同学们判断下列分别用含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边

形.其中是邻等内接四边形的有（填序号）.

②③④

（2）如图，四边形48C。是邻等内接四边形，且乙以C=90。，AB=3,AC=4,AB=AD,

求四边形/出C。的面积.

试卷第24页，共24页

1.D

【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且

两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键.

【详解】解：前所对的圆周角是NCQE与/。18,

故选：D.

2.4BDC乙CBD,NCAD

【分析】根据圆周角的定义即可解答.

【详解】解：如图，

数所对的圆周角是N8QC,

司所对的圆周角是NC8D,NCAD.

故答案为：NBDC；NCBD,ACAD.

【点睛】本题考查了圆周用，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

3.C

【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答.本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶

点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键.

【详解】解:N1是前所对的圆周角,

N2是前所对的圆周角，

N3是防所对的圆周角，

N4是而所对的圆周角，

N5不是圆周角，

故选：C.

4.68。

【分析】连接08,如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到NE8O2乙4,则

"=2乙4,再利用"00=84。得到2乙什乙4=84。，解得乙4=28。，接着计算出乙发必的度数，

答案第1页，共5()页

从而得到蓝的度数.

.'.Z.A=Z.BOA,

:•乙EBO=U+cBOA=2乙A,

•：OB=OE,

:.乙E=cEBO=2A,

'.'Z.EOD=Z.E+Z-A,

••.2乙4+乙4=84。，解得乙4=28°,

."="8856。，

：/BOE=18M•乙E-乙EBO=180o-56°-56o=68°,

,筋的度数为68。.

【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线,

构造等腰三角形，是解题的关键.

5.54°

【分析】根据圆的基本性质，可得乙OEB=£OBE,4103=18。，从而得到

Z.0EB=L0BE=Z-A+Z-A0B=3(>0,继而得到48OE=108。，即可求解.

【详解】解：•••co是。。的直径，

OD—0E—OB，

；.COEB=^OBE,

■：AB=OD,

:.AB=OB,

.t.Z-AOB=Z-A,

vZJ=18°,

.••乙

答案第2页，共50页

:•乙OEB=LOBE=U+&OB=36。，

:•乙BOE=108°,

:/EOD=180。-乙8OE-乙4OB=54。.

故答案为：54°

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题

的关键.

6.B

【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角的性质等知识点，连接08,可推出

NBAO=NBOA,NOBE=NBAO+NBOA=2NBAO,根据(用=。月，得

^OEB=ZOBE=2Z.BAO,进而得NEO。=N84O+/OE8=3/34。=45。，即可求解；

【详解】解：连接08,如图所示：

ACOD

•.•AB=OD,OD=OB,

:.AB—OB,

：.ABAO=/BOA,

:"OBE=/BAO+/BOA=2ZBAO,

•：OB=OE,

NOEB=NOBE=2ZBA0,

:.Z.EOD=Z.BAO+Z.OEB=3/BAO=45°,

.'.ABAO=\50,

故选：B

7.(1)26°；

⑵8.

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识的应用是解题的关键.

(1)由垂径定理可得益=防，然后通过圆周角定理即可求解；

(2)由垂径定理可得4C=8C,HPAB=2AC,然后通过勾股定理得

AC=ylOA2-OC2=V52-32=4，从而求解.

答案第3页，共5()页

【详解】(1)解：・：0D工AB,

；•AD=DB，

:"DEB=-Z/fOD=-x52°=26°,

22

(2)解：•••OQ_L44,

，AC=BC,HPAB=2AC,

在Rt△力OC中，AC=dO42-OC?二五与=4,

.-.A8=2AC=S.

8.D

【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系.

连接OC，可知左=元，从而可得4。。=/8。。=寺//。4=5()。，然后利用圆周角定理

进行计算即可解答.

【详解】解：连接OC,

,•,点C是标的中点，

•,就=丽，

:.NAOC=Z.BOC=|ZAOB=50°,

ZBDC=-ZBOC=25°,

2

故选：D.

9.8

【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接OC,OB,根据圆周角定理得出

NCOB=2/BAC=60。,绊而得出△OC8是等边三角形，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接oc,OB,

答案第4页，共5()页

A

C

,:前=前,Z5JC=30°,

:."JOB=2ZBAC=60°,

又•••OC=C%=8,

・•・△0C8是等边三角形，

.•.3C=8,

故答案为：8.

1().(1)见解析

(2)2百

【分析】本题考查了圆周用定理，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径

定理及勾股定理是解题的关键.

(1)连接O。，根据垂径定理得出前=丽，证明/8。。=/8。。，由圆周角定理得

NBOC=2/A,即可得出结论；

(2)由垂径定理得/0。£=90。-60。=30。，CD=2CE,根据直角三角形的性质得出

OE=；OC=T,根据勾股定理得出C£二五f二百，即可得出答案.

【详解】(1)证明：连接OC,如图所示，

VAB1CD,/也是。。的直径,

:.ZBOD=ZBOC,

答案第5页，共5()页

BC=BC，

:.4B0C=24,

:.乙B0D=22A；

(2)解：•“8=4,

.'.OC=OA=O8=2,

v4=30°,

二/COE=2/4=60。，

-ABLCD,48是直径，

/.NOCE=90°-60°=30°,CD=2CE,

：.OE=-OC=\

2f

22

.­.CE=72-1=73»

:・CD=2CE=26

11.见解析

【分析】本题考查了圆周角定理，由题意可得①，从而得出N8OC=/COO=g/5。。,

进而得出/D48=；N8OO=/8OC,即可得证.

【详解】证明：•.•点C是砺的中点，

-BC=CD-

:.N8OC=ZCOD=-4B0D.

2

''ZDAB是BD所对的圆周角，

/./DAB=-ZBOD=ZB0C,

2

.-.OC//AD.

12.证明见解析

【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，延长。。交。。于点£得靛=行，由垂径

定理得方=而，故可得而=在，由NBOO=砺的度数，的度数，可得结

论.

【详解】证明：延长。。交。。于点E,

答案第6页，共50页

-BE=AD^

-ODA.AC,

二丽=而，

:・CD=BE，

•6+前=就+前，即访二在，

ND=；比的度数,

••zLBOD=BD的度数,

二ZBOD=2ZD.

13.(1)34°

(2)876

【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图

形的判定和性质.

（1）先求出N/l=90。-N.4G尸=34。，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可；

（2）连接0C,根据力8=20,得出。1=。8=。。=；48=10,根据垂径定理得出比=；8,

根据勾股定理求出CE=，0。2一°石2=J（）2一2?=46,即可得出答案.

【详解】（1）解：•••NQG8=56。，

ZJGF=56°,

DFLAC于点、F,

NGE4=90°,

/.Zz4=90°-Z/4GF=34°,

•.•4与4DC都是弧8c所对的圆周角，

ZBDC=ZA=34°.

（2）解：连接OC,如图所示：

答案第7页，共50页

A

vAB—20,

:.OA=OB=OC=-AB=\Q,

2

；.OE=OB-BE=lO-8=2,

vABVCD,

：.CE=-CD“£。=90。，

2t

CE=y/0CJ-OEJ=V10-2,=4>/6，

:.CD=2CE=8瓜.

14.证明见解析

【分析】本题主要考杳了弧、弦、圆心角的关系，等弧所对的圆周角相等，等角对等边等知

识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系及等弧所对的圆周角相等是解题的关键.

由弧、弦、圆心角的关系可得标=而，进而可得病=茄，由等弧所对的圆周角相等可

得=然后由等角对等边即可得出结论.

【详解】证明：•.Y8=CZ),

'-7B=CD

〜一j一一、—一、一、

•♦•AB—AC=CD—AC，

正=石,

:"B=4D,

•••EB=ED.

15.70

【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质

等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.连接OC,首先根据圆周角定理可得

ZCOB=2ZCAB=40°,结合AB1CD如前=前,即有=NC。？=40。，然后根据

答案第8页，共50页

等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：如下图，连接0C,

VZ.CAB=20°,前=前,

.•.NCO8=2NC48=40。，

•••ABLCD,

:•前=俞,

："DOB=ZCOB=40。,

又•••。8=0。，

:"OBD=NODB=1(180°-/D()B)=70°.

故答案为：70.

16.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)延长/力交圆于点E,连接即可求解；

(2)延长4C,BE交干点、F,连接产。交彳8于点。即为所求.

【详解】(1)如图所示，/48七即为与互余的角.

vZC=90°

.♦.48是圆的直径

•••"=90。

•.，46C=30c

.-.ZBAC=60°

••・力。为4%。的角平分线

:"BAD=NCAD=-ZBAC=30°

2

NABE=180°-NBAE-NE=60°

.•"ABE+NABC=96°

答案第9页，共50页

NABE即为与NABC互余的角;

•••AD=BD

.•.点D在线段AB的垂直平分线上

vZCJB=ZJ5E=60°

是等边三角形

•••AF=BF

，点尸在线段力8的垂直平分线上

二。少垂直平分力4

:.AO=BO,即点。是中点.

【点睛】此题考查了无刻度直尺作图，圆中90。所对的弦是直径，等边一三角形的性质和判定，

垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识

点.

17.D

【分析】本题考查圆周角定理.，等腰宜角三角形，勾股定理，关键是判定△力8。是等腰直

角三角形，求出力8=30，由勾股定理求出彳C的长.

连接80,由圆周角定理得到N4C〃=N/lO〃=90o,N/8O=N4CQ=45。，判定△月6。是等

腰直角三角形，求出＜3=3拉，由勾股定理即可求出力C的长.

【详解】解：连接4Q,

答案第10页，共50页

A

C

•••48是。。的直径，

/.N4CB=N4DB=90。,

/.ZJCP=Z5CZ)-ZJC^=135°-90°=45°,

/ABD=NACD=45。,

.•・△48。是等腰直角三角形，

:.AB=&D=36,

♦.♦ZACB=90°,BC=2,

：.AC=y/AB2-BC2=V14,

故选：D.

18.17

【分析】根据题意，得/BOC=90。，BC=6,得点。的运动轨迹是以为直径的。。，

且。。的半径为2,连接1。，并延长交。。于点£,F,利用的等腰三角形的性质，勾股定

理，圆的性质解答即可.

【详解】解：•••/8。。=90。，8c=6,

•••点D的运动轨迹是以8c为直径的。。，且。。的半径为3,

如图所示，连接力。，并延长交。。于点E,F,

：.OB=OC=OE=OF=3,AOLOB,

AB=AC=5,

答案第11页，共50页

-OA=>!AB2-OB2=4»

.\AE=OA-OE=4-3=\,AF=OA+OF=4+3=1,

当点。与点E重合时，力。有最小值1,当点。与点F重合时，4。有最大值7,

故答案为：1,7.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

19.（1）月8=4

（2）0。的半径为2,圆心C的坐标为（6』）

【分析】（1）连接力8,利用勾股定理即可求得线段43的长；

（2）过点。作CO_LO8于点。，过点C作。于点E,由垂径定理可求得点。的坐

标，然后由圆周角定理可得力5是直径，即可求得。。的半径.

【详解】（1）解：连接力8,

•・•点A的坐标为（0,2），点、B的坐标为（2百0）,

:.OA=2,。8=26，

•••NAOB=90。,

•••AB=>]OA2+OB2=,2?+=4：

（2）解：过点。作CQ_LO8于点。，过点。作C£_LO4于点E,

.•.OD='OB=6OE=-OA=\,

22

•••圆心c的坐标为（GR；

•"08=90。，

.••48是OC的直径，

••・。。的半径为2.

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解

答案第12页，共50页

题的关键.

20.B

【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几

何综合题型，中档难度.解题的关键是找到动点夕的运动轨迹，即隐形圆.由题意知

Z/1PC=90°,又力。长度一定，则点尸的运动轨迹是以力C中点。为圆心，:力C长为半径

的圆弧，所以当6、尸、。三点共线时，8尸最短，再进一步求解即可.

[#!?]ft?：-PA2+PC:=AC2

/APC=90°

取/C中点O,并以。为圆心，!力。长为半径画圆，则点尸在。。上运动，

由题意知：当仄AO三点共线时，8P最短，而4C=2G，

；"O=PO=CO=5

•:BC=3,

BO=y/BC2+CO2=273，

：.BP=BO-PO=6

的长度最小值为名.

故选：B

21.4

【分析】连接力C,根据氏4平分ND5E,可得乙4BE=UABD；根据四边形力6。。内接丁

OO,可得乙4BE=N/IDC,进而可得乙4BE=N4BD=N4DC,即有//CO=/4OC,则

有4)="，最后利用勾股定理即可作答，

【详解】解：连接4C,如图，

答案第13页，共50页

•••BA平分4DBE,

：•NABE=NABD,

•••四边形48CQ内接于。O,

:.乙4BC+ZJDC=180°,4ABe+Z.ABE=180°,

:.乙4BE=ZADC,

NABE=NABD=ZADC,

•：NACD=NABD,

:.ZACD=ZADC,

AD=AC,

vAD=6,

:.AC=6,

:AE工CB,CE=2亚,

.•.在RiZX/lEC中，AE=y]AC2-EC2=>/36-20=4；

故答案为:4.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角

平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.

22.(1)135°

(2)Z£，=180°-1a

【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用

相关知识是解答本题的关键.

(1)根据BD是OO的直径可得/BAD=90°,由44=AD可得NABD=NADB=45°,再运

用圆内接四边形的性质可得结论：

(2)连接4C,由小B=4D可得N4BD=//1DB,根据等弧所对圆周角相等得

答案第14页，共50页

N4C8=N/lCQ=《a,可得N48O=N4cO=ga,根据圆内接四边形的性质可得

22

ZABD+^AED=\SO0,从而可得结论.

【详解】（1）解：•••8。是。。的直径，

ZBAD=90°,

,:AB=AD

:.ZABD=/ADB=80。一/84。）=^（180°-90°）=45°,

•••四边形力4OE是。。的内接四边形，

•••/胆7+ZF=180。，

Z£：=180°-Z/15Z）=180°-45°=135°；

（2）解：连接4C,如图，

,:AB=AD,

•••Z.ABD=/.ADB,AB=^AED，

:./ACB=ZADB,/ACD=ZABD,

：.ZACB=ZACD=-a,

2

：.ZABD=ZACD=-a

2f

•••四边形48OE是。。的内接四边形，

•••4W+/£=180°,

.-.-2+Z£=180°,

2<

.•.NE=180。」。.

2

23.C

【分析】本题主要考查J'圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边

形对角的对角互补成为解题的关键.

答案第15页，共50页

根据圆内接四边形对角互补以及圆周角定理逐项判断即可.

【详解】解：根据图形发现：2NA=NB0”NC,故A、B项错误：

•••四边形力8C。内接于。。，

.-.ZJ+ZC=180°,故乙项正确;

v2ZA=ZBOD,Zz4+ZC=180°,

.­.ZWD+ZC>180o#180°,故D项错误.

故选：C.

24.3

3

【分析】首先根据题意得到。，8,P,C四点共圆，且。。为直径，然后设圆心为。，分别连接

CD,BD,过点、D作DEJ.BC于点E,BE=^BC=1,然后根据勾股定理列方程求出

8。=拽，进而可得出/+/的值.

3

【详解】・：/PCO=4PBO=90°

.•.NPCO+NP4O=180°

，O,8,P,C四点共圆，且。尸为直径，

如图所示，设圆心为。，分别连接CO,BD,过点。作OE15c于点£,

•••N8QC=2/80。=120。

vZBDE=60°,Z£>5£=30°

：.DE=-BD

2

在RtZXAQE中，由勾股定理得，BD2=DE2+BE2，

BPBD2=-BD2+\,解得4。=毡

43

答案第16页，共50页

4JJ

：.OP=2BD=*,

3

•••点、P的坐标为(〃应)，BPLx

...p2+q2=OP2