因式分解-初升高数学暑假专项提升（人教版）

第02讲：因式分解

【考点梳理】

考点一、公式法（立方和、立方差公式）

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）.

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.

考点二、分组分解法

考点三、十字相乘法

（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

题型突破

题型一：提取公因式和公式法因式分解

1.多项式N-4x），-2）注户4步分解因式后有一个因式是x-2），，另一个因式是（）

A.x+2y+1B.x+2y-1C.x-2y+1D.x-2y-1

【答案】C

【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案.

［详解】解：/-4r），・2）+什4）1

=（N-4冲+4）。）+（x-2>'）

=（%-2y）2+（x-2y）

=（x-2y）（x-2>,+1）.

故选：C.

【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x2y）,将其当成

整体提出，进而得到答案.

2.因式分解

【分析】（1）提公因式即可，

（2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可；

(3)用平方差公式分解即可；

(4)用两次平方差公式分解即可.

【点睛】本题考查因式分解，根据不同题目选择合适的方法是解题的关键.

3.阅读下列材料：

已知a2+a3=O,求a2(a+4)的值.

解：*.*a2=3a,

a2(a+4)=(3a)(a+4)=3a+12a24a=a2a+12=(3a)a+12=9,

.*.a2(a+4)=9.

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

(1)若a2alO=O,则2(a+4)(a5)的值为.

(2)若x2+4xl=0,求代数式2x4+8xRx2求+1的值.

【答案】(1)-20；(2)-1

【分析】(1)仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可；

(2)根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可.

【详解】解：⑴Va2-a-10=0,

a2-a=10,

.,.2(a+4)(a5)=2(a2-a-20)=2x(10-20)=-20,

故答案为：~20；

(2)Vx2+4x-1=0,

:.x2+4x=l,x2=1-4x,

/.2x4+8x3-4x2-8x+l

=2x2(x2+4x-2)-8x+l

=2(1-4x)(1-2)-8x+l

=-2+8x-8x+l

=-1.

【点睛】本题考查了因式分解的应用,整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答的关键.

【问题解决】利用配方法解决下列问题：

(2)见解析

(3)2

【分析】(1)根据题干信息，利用配方法分解因式即可；

题型二：分组分解法

5.把下列各式因式分解

(I)a(a3)+2(3a)

【详解】试题分析：

(2)先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；

(3)用“完全平方公式”分解即可；

试题解析：

(1)a(a3)+2(3a)

=a(a3)2(a3)

=(a3)(a2).

=[(a+b+c)+(abc)][(a+b+c)(abc)]

=(a+b+c+abc)(a+b+ca+b+c)

=2a(2b-2c)

=4a(b+c).

=(2a+b)(2ab)+3(2ab)

=(2ab)(2a+b+3).

【分析】(1)根据分组分解法进行因式分解即可；

(2)先提取公因式3。，然后根据平方差公式因式分解，最后根据完全平方公式因式分解即可.

【点睛】本题考查了因式分解，常见的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法等，灵活选择因式分解的方法是

解题的关键.

7.阅读下列材料：

这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

【分析】(1)先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可；

(2)解：依据分组分解法，得

【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

根据上述材料，解答下列问题：

【点睛】本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难度较易，掌握相关知

识是解题关键.

题型三：十字相乘法

9.阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.

x-5

②交叉相乘，验中项：X=>7X-5A=2¥.

x*7

③横向写出两因式：N+2X-35=(x+7)(x-5).

(2)根据乘法原理：若川，=0,贝iJ〃=O或力=0,则方程3+2.35=0可以这样求解35=0方程左边因式

分解得(x+7)(x-5)=0所以原方程的解为内=5,4=-7

(3)试用上述方法和原理解下列方程：

①/+51+4=0；

②/-6.7=0；

③1-6x+8=0；

④2「+内-6=0.

【分析】①②③④均是根据题目中的方法，先进行因式分解，然后根据乘法原理即可求解各一元二次方程.

【点睛】题目主要考查解一元二次方程的十字相乘法，理解题目中的解法并学会运用是解题关键.

题型四：因式分解的综合

【答案】(1)13；(2)8x/3

【分析】(1)利用完全平方公式进行化简后代入求值即可解答；

(2)利用平方差公式进行化简后代入求值即可解答；

【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握并准确计算是解题的关键.

14.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式.再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.

请根据上述材料解决下列问题：

【答案】⑴春

(3)-20

(4)4

故答案为：不；

故答案为：4.

【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关

运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以

利用配方法求最小值，同时对于(4)中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这

一知识在数学中经常运用，要熟练掌握.

15.嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析•：

嘉洪的分析：

(I)通过计算验证258能否被3整除;

【答案】（1）见解析

（2）见解析

（3）见解析

【分析】（1）根据整数的除法计算即可；

（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；

（3）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论.

・•・258能被3整除；

【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键.

16.材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为10,百位数字与个位数字之和为10,则称这个四位数为“十

全数”.交换这个“I•全数”的千位数字与卜位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“卜

全数”的“对应数

例如：1298是“十全数”,其“对应数”为9812；5752是“十全数”，其“对应数”为5257.

材料二：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.

（1）证明：一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除：

【答案】（1）见解析

（2）7337

【分析】（1）用小〃表示“十全数”和“对应数”，再求差并分解因式证明；

【详解】（1）解：设“十全数”的千位数字为小百位数字为4

所以一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除；

（2）解：设“十全数，设的千位数字为小百位数字为儿

【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握代入验证法是解题的关键.

【专题突破】

一、单选题

17.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

【答案】C

【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可.

【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解.

A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；

B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；

C、符合因式分解的形式，符合题意；

D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义.

18.下列分解因式正确的是()

【答案】C

【详解】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案.注意分解要彻底.

故选C.

【点睛】本题考杳了提公因式法，公式法分解因式.注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解.注意分

解要彻底.

19.已知a=2018x+2018,b=2018x+2019,c=2018x+2020,则a2+b?+c2—ab-ac-bc的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】把已知的式子化成(ab)2+(ac)2+(be)2]的形式，然后代入求解即可.

【详解】原式二;(2a2+2b2+2c22ab2ac2bc)

=-7[(a22ab+b2)+(a22ac+c2)+(b22bc+c2)]

=^[(ab)2+(ac)2+(be)2]

=9(1+4+1)

=3,

故选D.

【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键.

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

•・•式中有乘数3的倍数

,:26不能被3整除

・•・原式中只能有1个3

故选D.

【点睛】本题考查了乘方的应用，同底数辕乘法的应用，因式分解，重点是掌握相关运算法则.

21.己知a=2012x+2011,b=2012x+20l2,c=2012x+2013,那么a^+P+c?—ab—be—ca的值等于()

A.0B.IC.2D.3

【答案】D

【分析】首先把标+房+©2-ab-儿・讹两两结合为/-ab+b2-bc'+c2-ac,利用提取公因式法因式分解，再把a、b、

c•代入求值即可.

【详解】a^^+c2-ab-be-ac

=a2-ab+h2-bc+c2-ac

=a(tz-b)+b(b-c)+c(c-a)

当〃二2012x+20U,/?=2012r+2012,c=2012x+2013时，ah=-1,b-c=-l,c-a=2,原式=(2012v+2011)x(-

1)+(2011V+2012)x(-I)+(2012.V+2013)x2

=-201Zv-2011-2012x-2012+2012xx2+2013x2

=3.

故选D.

【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目.

主视图左视图

图1图2

【答案】C

【分析】由主视图和左视图的宽为c,结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案.

故选：C

【点睛】本题主要考查由三视图判断,何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象儿

何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高.

【答案】B

【分析】根据a2・ab-2b2=0,即可判断出a和b的关系，然后再根据勾股定理判断出c和b的关系，求出a：b：

c化简即可.

【详解】Va2-ab-2b2=0»

:.(a-2b)(a+b)=0,

.*.a=2b,或a=-b(不符合题意),

•••氐△ABC中，ZC=90°,

:.c2=a2+b2=4b2+b2=5b2,

Ac=>j5b,

/.a：b：c=2b：b：6b=2：1：石.

故选：B.

【点睛】本题考查的是因式分解"十字相乘''以及勾股定理的应用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此题的关键.

二、填空题

【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案.

【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解.

【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键.

【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键.

【答案】18.

【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值.

故答案为：18.

【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确

定最值.

（1）若m〃是整数，则PQ的长是；

【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；

•.•这四个矩形的面积都是5,

【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据.

【答案】14

故答案为：14.

【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解

题的关腱.

三、解答题

30.在实数范围内分解因式:

【分析】（1）平方差公式因式分解；

（2）先提公因式，再运用平方差公式分解;

（3）运用十字相乘法分解：

（4）运用十字相乘法分解.

【点睛】本题主要考查利用适当的方法对■多项式进行因式分解，观察多项式特征，选择合适的方法是解题关键.

31.把下列各式因式分解：

（2）利用十字相乘法分解因式即可；

（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可.

【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用.

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

33.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题

方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用.

请根据上述自主学习材料解决下列问题：

【答案】（1）25

（3）-7

4

（4）7

【分析】（1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数；

（2）类比例题进行分解因式即可；

（3）类比例题求M的最小值即可；

•••常数项为25.

故答案为：25.

：.M的最小值为-3；