中考数学-反比例函数 （知识清单+19大题型+好题必刷）解析版

第05讲反比例函数（知识清单+19大题型+好题必刷）

出题型梳理

题型一用反比例函数描述数量关系题型十一已知双曲线分布的象限，求参数范围

题型二根据反比例函数的定义求参数题型十二已知比例系数求特殊图形的面积

题型三求反比例函数值题型十三根据图形面积求比例系数（解析式）

题型四由反比例函数值求自变量题型十四求反比例函数解析式

题型五判断（画）反比例函数图象题型十五实际问题与反比例函数

题型六判断反比例函数的增减性题型十六反比例函数与几何综合

题型七已知反比例函数的增减性求参数题型十七一次函数与反比例函数图象综合判断

题型八判断反比例函数图象所在象限题型十八一次函数与反比例函数的交点问题

题型九比较反比例函数值或自变量的大小题型十九一次函数与反比例函数的其他综合应用

题型十由反比例函数图象的对称性求点的坐标

出知识清单

知识点L反比例函数的定义

（1）反比例函数的概念

形如），=K.（&为常数，&KO）的函数称为反比例函数.其中人是自变量，》•是函数，白变量人的取值范围是不等丁•0

X

的一切实数.

（2）反比例函数的判断

判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形

式为y=&a为常数，丘0）或y="i（k为常数，Z#0）.

x

知识点2.反比例函数的图象

用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表——描点——连线.

（1）列表取值时，xNO,因为x=O函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取

值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求），值.

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确.

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.

（4）由于xWO,^0,所以yWO,函数图象永远不会与x轴、）轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

知识点3.反比例函数图象的对称性

反比例函数图象的对称性：

反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=・x：②•、三象限

的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点.

知识点4.反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数y=K（&W0）的图象是双曲线；

x

（2）当匕＞0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

（3）当LVO,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

注怠：反比例函数的图象与坐标轴没相交点.

知识点5.反比例函数系数k的几何意义

比例系数人的几何意义

在反比例函数y=区图象中任取一点，过这一个点向x轴和），轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值因.

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是看肉，且保持

不变.

知识点6.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数为常数，^0）的图象是双曲线，

①图象上的点（X,>'）的横纵坐标的枳是定值k,即盯=依

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在），="图象中任取一点，过这一个点向x轴和,，轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值岗.

知识点7.待定系数法求反比例函数解析式

用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：

（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式>，=区（k为常数，AW0）；

x

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程：

（3）解方程，求出待定系数；

（4）写出解析式.

知识点8.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立.成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程

组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数尸内x和反比例函数尸丝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

x

k

①当k\与h同号时，正比例函数y=kix和反比例函数），=一己2在同一直角坐标系中有2个交点；

x

②当力与公异号时，正比例函数y=%x和反比例函数y=—&在同一直角坐标系中有0个交点.

知识点9.根据实际问题列反比例函数关系式

根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，

往往要结合题目的实际意义去分析.首先弄清题意，找出等量美系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式.

根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的.

注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围.

知识点10.反比例函数的应用

（1）利用反比例函数解决实际问题

①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义.③

问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.

（2）跨学科的反比例函数应用题

要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式.同时体会数学中的转化思想.

（3）反比例函数中的图表信息题

正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想.

知识点11.反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际

问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科

中的知识.

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，

反过来圻果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上.还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大

小.将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法.

锲题型方法

【题型一】用反比例函数描述数量关系

4

【例1】(22-23九年级上•安徽池州•期末)下列各点中，在反比例函数y=?的图象上的是()

X

A.(-1,-4)B.(—1,4)C.(—2,2)D.(2,-2)

【答案】A

【知识点】用反比例函数描述数量关系

【分析】根据反比例函数解析式可得芍=4,然后对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：•.•>,，

x

•5=4,

A.V-lx(-4)=4,

・••点(-1,Y)在反比例函数y=3图象上，故本选项符合题意；

•X,

B、•.•-1X4=TH4,

一•点(-1,4)不在反比例函数y=±图象上，故本选项不符合题意；

X

C、\--2x2=-4^4,

4

.•.点(-2⑵不在反比例函数)，=之图象上，故本选项不符合题意：

x

D、•.•_2x2==1",

4

点(2,-2)不在反比例函数y=-图象上，故本选项不符合题意.

x

故选：A.

【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.

【举一反三】

1.（九年级•全国•课后作业）已知反比例函数的图象过（r,y）,则它的图象一定不经过点（）.

A.（y,.r）B.（-乂刈C.（y-x）D.（-x>1,l）

【答案】A

【知识点】用反比例函数描述数量关系

【分析】根据反比例函数的定义可直接进行求解.

【详解】解：设该反比例函数为y=&,则有：

X

•・•反比例函数的图象过（-乂丁），

:.k=-xy,

・•・选项A的点（y,x）一定不经过该反比例函数：

故选A.

【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键.

2.（九年级上•安徽安庆•阶段练习）已知y=%+y2,%与X?在正比例关系,丫?与x成反比例函数关系，且x=i时，y=3,

x=—l时，y=i

（1）求y与x的关系式.

⑵求当/=-2时，y的值.

【答案】⑴y=2f+L（2）二

42

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用反比例函数描述数量关系

【分析】（1）根据正比例关系与反比例关系设出比例式，然后把两组数据代入关系式，解方程组即可；

（2）把X的值代入所求函数关系式，计算即可得解.

【详解】（1）・・・力与/在正比例关系，%与“成反比例函数关系，

••y=,

•・•内与X成反比例函数关系，

・・必==，

X

：•y=y+%=&/+&，

X

k、+k、=3

代入数据可得二1

k}-k2=b

解得力k.-,1

K2=L

所以，y与x之间的函数关系式为），=2/+,

x

⑵当尸-2时，y=2x（-2『+工=1.

—22

【点睛】考查待定系数法求函数解析式，能够正确的设出丁与X的关系式，进而用待定系数法求得解析式是解题的关键.

3.（24-25九年级上•安徽六安•期中）已知汽车匀速从A市行驶到8市，设汽车行驶的时间为/小时，速度为u千米/

时，且A市到8市汽车的行驶里程为430千米.

（1）求u关于■的函数表达式（不要求写自变量/的取值范围）；

（2）若汽车从上午8:00从A市出发，如果汽车在当天12:48至打4:00之间（包含端点时间）到达8市，求汽车行驶速度

［的范围.

【答案】（>，=等

⑵80<y<l（X）

【知识点】实际问题与反比例函数、用反比例函数描述数量关系

【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键..

（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解：

044X0

（2）分别算出8:00至12:48时间长为三小时，8:00至14:00时间长为6小时，再代入丫=金，且结合反比例函数的

图象性质，得出汽车行驶速度V的范围为80WUW100.即可作答.

【详解】（1）解:依题意，得W=480,

.480

••V=-----・

48

（2）解：依题意，12-8+刀=于（小时），14-8=6（小时）

605

24

.,.8:00^12:48时间长为—小时，8:00至14:00时间长为6小时，

480944X0

则将，=6代入1，=上得y=80；将"三代入丫=少得v=100.

t5t

・•.汽车行驶速度u的范围为80口W100.

【题型二】根据反比例函数的定义求参数

【例2】（23-24九年级上•安徽滁州•期中）反比例函数•中常数女为（）

2x

A.—5B.2C.—D.—

22

【答案】D

【知识点】根据反比例函数的定义求参数

【分析】本题考查房比例函数的定义，掌握“形如），=与依工0）的函数是反比例函数”时解题的关键.

x

【详解】解：反比例函数），=—2中常数太为一』，

2x2

故选D.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•安徽亳州•阶段练习）关于反比例函数），=会的说法正确的是（）

A.k=5

B.）'随x的增大而减小

C.其图象关于y轴对称

D.若点（《。）在其图象上，则必=g

【答案】D

【知识点】根据反比例函数的定义求参数、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限

【分析】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问

题的关键.根据反比例函数的图象与性质解答即可.

【详解】解：•.心故A错误；

*<>0，图象位于一三象限，在每个象限内，y随X的增大而减小，故B错误；

反比例函数y=3的图象关于直线丁='或丁=一式成轴对称，不关于）'轴对称，故C错误；

2x

将（〃,力）代入），=三，得力=二，即时=：,故D正确，

2x2a2

故选：D

2.（24-25九年级上•安徽安庆・期末）已知抛物线），=++公+。开口向上且经过点（1,1）,双曲线），=上经过点（。力。），

2x

给出下列结论：①反>0；②〃+c>0；③力,C是关于X的一元二次方程/+（〃-l）x+；=0的两个实数根：④

a-b-c>4.其中正确结论是（填写序号）

【答案】①③/③①

【知识点】根据反比例函数的定义求参数、y=ax2+bx+c的图象与性质、根据判别式判断一元二次方程根的情况

【分析】本题主要考查二次函数.反比例函数.•元二次方程的粽合.掌握二次函数图象的性质.•元二次方程根的判别式是解题的关键.

a>0

根据抛物线的开口及过点（1,1），双曲线丁=」■经过点（区庆），得到•a+b+c=\,可判定①：根据/+（。-1）工+?=0可以转化为:

2x

bc=—

2a

x2—（b+c）x+尻：=0,可判定③；根据一元二次方程根据的判别式可判定④；根据且a+b+c=L得到b+cvO可判定②；由

此即可求解.

【详解】解：:抛物线丁=公2+加+。开门向上II经过点(11)，双曲线y=—经过点(a,be),

a>0

：.<a+b-c=\,

LI

bc=一

la

•**bc>0,故①正确：

/./?+c=l-a=-(a-l)

/.x2+(〃一1)%+，-=0可以转化为：x2-(7>+c)x+/>c=(x-/>)(x-c)=0.

，x=b或x=c,故③正确:

•・・加。是关于彳的一元二次方程/+(4-1)1：+，-=0的两个实数根，

二72a

/.△=(a—1—4x1x—>0,

“)2a

化简，得(a-2)("+l"o.

•••/+121，

••a>2,

b+c=-a+l，

/.a-b-c=a-[b+c)=a-(-a+\)=2a-\,

•••々22,即加一IN3,故④错误；

a>2旦々+匕+c=1,

."+c<0,故②错误;

故答案为：①(§).

3.(24-25九年级上•安徽•期中)若函数y=(>—1)产。+(〃1户+1.

(1)当，〃为何值时，该函数为二次函数？

(2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？

【答案】(1)5=2

(2)不可能为反比例函数，理由见解析

【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据反比例函数的定义求参数

【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义.

(1)串接利用二次函数的定义分析得到“-切=2且“TWO,解方程得出答案；

(2)直接利用反比例函数的定义得到标-m=-1，解方程得出答案.

【详解】(1)解：•・•函数y=(>—I)/、"+(加

:./-m=2且“-1工0时,该函数为二次函数,

解得：m=2,

.•.〃?=2时，该函数为二次函数；

(2)该函数不可能为反比例函数.理由如下：

当该函数为反比例函数,则//-〃?=—1,且“一1工0,

nr一加=一1恪理得mT—/w+l=O»

1LWA=(-1)2-4X1X1=-3<0,方程无实数根，

故该函数不可能为反比例函数.

【题型三】求反比例函数值

【例3】(24-25九年级上•安徽六安•阶段练习)已知反比例函数)，=-巳，点A(3,〃?)在图象上，则，〃的值为()

X

A.m=—\B.in=1C.m=—3D.m=3

【答案】A

【知识点】求反比例函数值

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，将A（3,，〃）代入反比例函数解析式计算即可得解.

【详解】解：•・•反比例函数了=-巳，点A（3,〃z）在图象上，

X

3

/.m=——=-1,

3

故选：A.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•安徽蚌埠•期末）在平面直角坐标系中，若函数了二与攵=0）图象经过点A（2,y）和双-2,），2），则

在y+力，凹为，藁四个运算结果中，是定值的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知识点】求反比例函数值

【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把点

4（2,%）和8（—2,%）代入反比例函数得芳=与和%=-,，然后问题匕求解.

【详解】解:把点A（2,yJ和8（-2,»，2）代入反比例函数得和必=当，

乙乙

•••"%=碧=。‘哈卜fh，加上卜外与#=4=-|

2

・••是定值的个数有2个：

故选B.

2.（24-25九年级上•安徽亳州,阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数），=勺伏工0）的图像经过点（2024,y）和

（-2024,j2）,则y+刈的值是.

【答案】0

【知识点】求反比例函数值

【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.将点（2024,y）和

（―2024,力）代入函数），=々〃=0）,求得％=焉，y2=--A-,再相加即可.

【详解】解：•・•函数丁=々4/0）的图像经过点（2024,y）和（―2024,%），

.1

kk

可彳jJ|=-------,y-,----------,

力2024,22024

.kk

.・）'[+y,=------------------=0.

1~20242024

故答案为：0.

3.（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）世界的面食之根就在山西.如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条

的总长度），（m）是面条横截面面积S（mn?）的反比例函数，其图象经过42,64）,双〃?」00）两点.

（1）求>与S之间的函数关系式;

（2）求，〃的值.

…田、128

【c案】（1）y=y-

⑵m=1.28

【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值

【分析】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数性质.

（1）运用待定系数法求反比例函数解析式即可;

（2）将F=IOO代入函数关系式，求得"即可.

【详解】（1）解：设），=!伏*0）,代入A（2,64）

勺k

64=—

2

.4=128

128

/.V=——

S

17R

（2）将8（丸100）代入），=—

128

100

m

...〃?=1.28

【题型四】由反比例函数值求自变量

【例4】（24-25九年级上•安徽安庆•阶殁练习）已知点（〃?,4）在反比例函数），=上的图象上，则小的俏为（）

A.-3B.3C.-8D.8

【答案】A

【知识点】由反比例函数值求自变量

Io

【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点（，44）在反比例函数），=-上的图象上，代入计算即可.

人

【详解】解：由题意得：4m=-\2,

解得：m=-3,

故选:A.

【举一反三】

1.（23-24九年级上•安徽亳州•阶段练习）已知了与工成反比例函数，且x>0,y>0,当x增加20%时，丁将（）

A.减少20%B.增加20%

C.增加约16.7%D.减少约16.7%

【答案】D

【知识点】由反比例函数值求自变量

【分析】根据反比例的定义列出函数关系式，再根据自变量X的变化计算得出y的变化即可.

【详解】解：设），=4（人/0）,当“增加20%时，相应的），=：-,

x\.2x

k__J

则y减少的百分率是^16.7%；

K

X

故选：D.

【点睛】本题考查利用反比例函数的定义计算，难度不大，正确列式计算是关键.

2.（22-23九年级上•安徽滁州•阶段练习）如图，直线），=2与双曲线），=-上1与,，=3士分别交于点A,B,已知点。的坐

xx

标为（0,-1），则VA8C的面积为.

【答案】3

【知识点】由反比例函数值求自变量

【分析】根据反比例函数图象上的坐标特征求出线段AB的长，再根据三角形的面枳公式进行计算即可.

【详解】解：把尸2代入双曲线k一得一=.；

把y=2代入双曲线产士3可得，x=3=,

x2

所以人8==

所以巨小=32X(1+2)=3.

故答案为：3

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出A8的长是解决问题的关键.

3.(24-25九年级上•安徽滁州•期中)己知)'是x的反比例函数，当x=4时，)，=-3.

(1)求＞关于x的函数表达式；

⑵当y=T时，求x的值.

12

【答案】(1)7=--

x

(2)x的值为3

【知识点】求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量

【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式.

(1)根据待定系数法就可以求出函数的解析式；

(2)把y=T代入函数关系式，即可求得”的值.

【详解】(1)解：设该反比例函数的表达式为y=V(&/0),

k

当x=4时，尸一3,则;=一3,

4

解得k=-12,

12

＞关于工的函数表达式为y——：

X

(2)解：当＞=-4时，代入)，=一1二2，得一1上2=-4,

解得x=3,

.•.当y=Y时，x的值为3.

【题型五】判断（画）反比例函数图象

【例5】（24-25九年级上•安徽合肥・期中）函数），=-1的图像（）

x

A.过原点的一条直线B.位于一、二象限的两支曲线

C.位于二、四象限的两支曲线D.过点（L-7）和点（-1,7）的一条直线

【答案】C

【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数图象所在象艰

【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键.根据函数关系式，可确定该函数图

像是双曲线可判断A、D选项，再根据A的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项.

【详解】解：A、），二-1是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误；

x

7

B、因为左=-7<0,所以y=--图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误；

x

C、因为％=-7<0,所以>，--2图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确；

x

D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误；

X

故选：C.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•安徽合肥・期中）在同一平面直角坐标系中，若而>0,则函数y=g与y=bV+伙6工0）的大致图

x

象是（）

【答案】c

【知识点】二次函数图象与各项系数符号、判断（画）反比例函数图象

【分析】本题主要考查了二次函数的图像，反比例函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的

关键.分两种情况讨论，再判断图像即可.

【详解】解：;而>0,

若。>0,b>0,

则反比例函数y=@的图象位于第一、第三象限，

x

二次函数），二加+"、/0）的图象开口向上，

与y轴的交点位于y轴的正半轴.

故C符合条件，B不符合条件；

八av0,b〈0,

反比例函数的图象位于第二、第四象限，

x

二次函数），=灰2+伙人工0）的图象开口向下，

与y轴的交点位于y轴的负半轴.

故B,D不符合条件，

故选：C.

2.（22-23九年级上•安徽安庆•阶段练习）一个函数的图象关于），轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数.那么在下列

四个函数：①），=2x；②产3/1；©>'=-；④>=寸+1中，偶函数是（填出所有偶函数的序号）.

x

【答案】④

【知识点】识别一次函数、y=ax2+k的图象和性质、判断（画）反比例函数图象

【分析】首先结合各个函数的性质确定各自的对称性，然后结合题目卞给出的偶函数的定义作出回答即可得出答案.

【详解】解：①y=2x、②）:3/1这两个图象都是直线，它们的图象不会关轴成釉对称图形，不符合偶函数的

定义；

③y=9是反比例函数，它是中心对称图形，关于原点对称，不符合偶函数的定义；

X

④y=f+［是二次函数，它的图象关于），轴成轴对称图形，符合偶函数的定义.

故答案为：④.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、•次函数的性质、正比例函数的性质及反比例函数的性质，解题的关键是了解

偶函数的定义.

3.（23・24九年级上•安徽亳州•阶段练习）在平面直角坐标系中点A（2,1）1（2,-3）,。（以3）分别位于三个不同象限，若

反比例函数的图像经过其中两点，求反比例函数的表达式和的值.

【答案】y=--,m=-2

x

【知识点】求反比例函数解析式、判断（画）反比例函数图象、己知反比例函数的图象，判断其解析式

【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式.根据已知条件得到4（2,1）在第一象限,可知点。3）一定在第二

象限，因点8（2,-3）为第四象限点坐标，又因反比例函数经过其中两点，于是得到反比例函数解析式和m的值.

【详解】解:•点A,8分别在第一、四象限，点C不可能在第三象限，

・••点。在第二象限，且反比例函数的图像经过凤C两点，

・•・设反比例函数的表达式为y二人（女=0）,

X

把8（2,-3）代入y=V（A/0）中：

即-3="=-6,

・•・反比例函数的表达式为〉，=-£,

X

，把C（犯3）代入丁=一：中，

6

即3二——，

m

m=—2.

【题型六】判断反比例函数的增减性

【例6】（24-25九年级上•安徽合肥・期末）关于反比例函数），=-目的图像，下列说法正确的是（）

X

A.该反比例函数图像经过点（2,4）

B.）随工的增大而增大

C.该反比例函数图像经过第一、三象限

D.该反比例函数图像关于原点对称

【答案】D

【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性

【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键.根据反比例函数的性质,

逐项进行判断即可.

【详解】解:A、・・・2X4=8H—8,

・•・该反比例函数图像不经过点（2,4）,不符合题意；

B、•.•左二一8<0,

・•・此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每•象限内），随T的增大而增大，原说法错误，不符合题意：

C、-：k=-8<0,

・•・此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意；

D、・・•此函数是反比例函数,

・•・该反比例函数图像关于原点对称，正确，符合题意.

故选：D.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•安徽羌湖・期末）在下列函数图像上任取不同的两点［（%,y）和鸟（.，必），一定能使

（x-%）（y-成立的是（）

A.y=2A（X>0）B.y=2x-l（xv0）

C.y=―（x>0）D.y=x2-4x-l（x<0）

X

【答案】D

【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax斗bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性

【分析［本题主要考查了--次函数、反比例函数和二次函数的性质等知识点，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例

函数的性质是解题的关键.

先判断各函数的增减性，然后进行判断即可.

【详解】解：A、•,•2=2>0,・•・），随x的增大而增大，即当内时，必有...（王一9）（乂-为）>0，故A选

项不符合题意；

B、•.•％=2>0,工），随x的增大而增大，即当时，必有..•（5-七）（乂-%）>0，故B选项不符合题意：

C、•.乂=-1<0,・••当x>0时，y随x的增大而增大，即当玉>W>0时，必有切>必，，（不一看乂乂一%）〉。，故C选

项不符合题意；

D、;y=Y一4%一1=（工一2『一5,・••当xv2时，y随x的增大而减小，却当xvO时，y随x的增大而减小，•'•大>与时，

必有乂〈为，二（$-々）（）\一刈）（0，故D选项符合题意.

故选：D.

2.（23-24九年级上.安徽亳州•阶段练习）下列函数中：①y=（x+l［+l,②），=2%,③），=r+l,④y=—V,⑤），=j

当x>0时，函数），随％的增大而减小的有个.

【答案】③④⑤

【知识点】判断一次函数的增减性、y=a（x-h）2+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性

【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的增减性即可求解.

【详解】①y=（x+lf+l,当工>0时・，函数），随x的增大而增大，错误；

②）』2,丫，函数,、随K的增大而增大，错误；

③y=-x+l,函数），随K的增大而减小，正确；

④y=,当x>0时，函数），随x的增大而减小，正确；

当x>0时，函数y随工的增大而减小，正确.

X

绥上所述，符号条件的有③④⑤

故答案为：③@⑤.

【点睛】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，是一道难度中等的题目.

3.（23-24九年级上•安徽亳州•阶段练习）已知点”1,-2）在反比例函数），=人（女工0）的函数值.

x

（1）当工=6时，求丁的值；

⑵当时，求"勺取值范围.

【答案】（l）y的值为

2

（2）y的取值范围是§<2

【知识点】求自变量的值或函数值、求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性

【分析】（1）先将点尸的坐标代入反比例函数的解析式，求得&的值，然后再将x的值代入反比例函数即可求得y的

值.

（2）先由x的两个大小边界值求得对应的），的两个大小边界值，然后根据反比例函数在第二象限的增减性，即可确定

的取值范围.

【详解】（1）将尸（L—2）代入），=与女工0）中，得％=-2.

X

2

故反比例函数的解析式为：

x

22I

当x=6时，J=—=

x63

222

（2）“'|（=-3时，y=—=--=—；

x-33

22

当工=-1时，y=—=-----=2,

x-1

又当XV。时，y随x的增大而增大，

所以y的取值范围是

【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、已知自变量的值求函数为值、已知自变量的取值范围求函数值的取值范

闹，解题的关键是熟练运用反比例函数的增减性.

【题型七】已知反比例函数的增减性求参数

【例7】（24-25九年级上•安徽蚌埠•期中）若反比例函数），=*的图象在每一个象限内>随工的增大而增大，则女的

x

取值范围是（）

A.k>2B.k>-2C.k<2D.k<-2

【答案】A

【知识点】已知反比例函数的增减性求参数

【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.利用反比例函数的性质判断即

可.

2k

【详解】解：•・・在反比例函数）；二一的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，

X

・・・2-2<0,即A>2,

故选:A.

【举一反三】

1.（24-25九年级上,安徽淮南•阶段练习）如果在反比例函数y=土［图象的每一支上，>随x的增大而增大，那么/的

x

取值范恒是（）

A.t>—B.tC.t<-D./«一

2222

【答案】C

【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、不等式的解集

【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求不等式的解集，判定反比例函数图象所在象限，掌握增减性是解题的

关键.

根据图象的每一支上，丁随工的增大而举大，可得力-1<0,由此即可求解..

【详解】解：•・・在反比例函数丁=主。图象的每一支上，y随力的增大而增大，

X

解得，旧，

故选：C.

2.（24-25九年级上•安徽马鞍山•期中）已知点A（x“J,秋与,必）为反比例函数>二'担图象上的两点，当王<9<。

.1

时，y>力，则机的取值范围为.

【答案】m>-\

【知识点】已知反比例函数的增减性求参数

【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数为性质，可以得到关于，〃的不等式，从而可以求

得加的取值范围.

•・•反比例函数）=也

【点睛】解:的图象上两点A（&y）,8（W，M）,当再<0时,y>必，

x

，加+1〉0,

解得加>一1,

故答案为：，〃>一1.

3.（24-25九年级上•安徽安庆・期中）如图，一次函数），=-2.厂2的图象分别与x轴，），轴交于A,B两点,与反比例

函数），=K（x<0）的图象交于点C,已知A为线段8C的中点.

X

⑴求反比例函数的表达式；

（2）若点，是反比例函数y-"（x<0）的图象上一个动点，轴于点。.设四边形4。小的面积为S,当2*2<k

XX

时，S的最小值.

4

【答案】（l）y=—

X

（2）3

【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、己知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式、根据一次函

数增减性求参数

【分析】（1）由一次函数解析式求出A、8的坐标，进而求得。点坐标，代入y=V即可求得々的值.

X

（4、22

（2）设P乂-一，则s='2+2,由于-4的值在XV0时，y随4的增大而增大，S随-£的值的增大而增大，即川得

X）Xxx

出S随x的增大而增大.再由点C（—2,2）,则当-2x-24人时，-2Wx<0,所以当无=一2时，S值最小，把x=-2代入

S=-q2+2计算即可求解.

【详解】（1）解：•••一次函数丫二-2/-2的图象分别与x轴，》轴交于A,B两点,

A(-I.O),5(0,-2).

•.•A为线段的中点,

.\-lx2-0=-2,0x2-(-2)=2,

/.C(-2,2),

k

•.•反比例函数y=-(x<0)的图象过点C,

x

:.k=-2x2=-4,

・v=/

x

(2)解：•.•点是反比例函数y=A(x<0)的图象上一个动点,

4

•••设PX,

x

42

­=----+2,

xJx

设。二-±,则S=a+2,

A

.•.S随。的增大而增大,

八

在。=一士中，一2<0,

X

.•“<0时，。随x的增大而增大,

.••5随x的增大而增大.

由（1）知，C（—2,2）,

・••当-2x-24与时，-2<x<0.

x

・,•当x=-2时，S值最小，最小值为-■^+2=3.

即当-2》-24&时，S最小值为3.

x

【点睛】本题是反比例函数与•次函数的交点问题，考查了一次函数组象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数

的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键.

【题型八】判断反比例函数图象所在象限

【例8】（24-25九年级上♦安徽六安•期中）己知反比例函数?的图象经过点产（一（,2）,则这个函数的图象位于

（）

A.第一、三象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第二、四象限

【答案】D

【知识点】判断反比例函数图象所在象限

【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数y=?的图象经过点尸进行解答.熟

练掌握该性质是关键.

【详解】解：•・•反比例函数的图象经过点。卜2）,

2

.・.此函数的图象位于第二、四象限，

故选：D.

【举一反三】

1.（24-25九年级上•安徽淮南•期末）对于反比例函数），二9以及图象上两点（％方）和（%,兄），下列说法错误的是（）

A.它的图象分布在第一、三象限B.它的两支图象关于原点对称

C.当X]＜占＜。时，则刈D.），随x的增大而减小

【答案】D

【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小

【分析】此题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键.

当上>0时，双曲线的两支分别位「第一，第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四

个选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A,反比例函数），=£中，6>0,图象在一，三象限，故本选项正确；

x

B,反比洌函数y=9的图象双曲线关于原点对称，故本选项正确；

x

C,反比洌函数y=9在每一象限内，y随X的增大而减小，当不<w<0,则有：y2<y«<0,故本近项正确：

x

D,反比例函数y