重难点10 平面解析几何-2023年高考数学专练

重难点10平面解析几何

一、坐标平面上的直线

以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条

直线的交点坐标为主，有F寸也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择题,

填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考萱的重点.

力热点话题

1.求直线的方程.2.判断两直线的位置关系.3.直线恒过定点问题.

，满分技巧

1.两直线的位置关系问题的解题策略

求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充耍条

件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数

形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.

2.轴对称问题的两种类型及求解方法

若两点H）与月（照，度）关于直线/：山+多+。=0对称，则线段42的中

点在对称轴/上，而且连接办月的直线垂直于对称轴/.由方程组

，汨+及..0八

点关于A•2+6n,-2+'0，

直线的

,小，可得到点八关于/对称的点乌的坐标（出

对称9.（—4=7

〔及一汨1B）

%）（其中#0,汨HX2）

直线关

有两种情况，一是已知直线与对称轴相交：二是已知直线与对称轴平行.一般转

于直线

化为点关于直线的对称来解决

的对称

一、填空题

［答案］3

【分扃】根据两直线平行，得到方程，计算求得加值.

解得：〃7=3,

故答案为：3.

【答案】岁

44

故答案为：.

4

【答案】7##30

6

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.

故答案为：y.

0

【答案】-4

故答案为：-4

【分析】利用点到直线的距离公式、再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求得最值.

【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、及三角辅助角公式及三角函数的性质的综合应用,

属于基础题.

【分析】根据给定条件，求出点。的坐标，再借助几何图形结合二倍角的余弦计算作答.

【解析】依题意，点P在线段A4'的中垂线4上，点。也在线段39的中垂线〃上，

寸

3

故答案为：・

【答案】胃29

【分析】利用代数式和几何图形的关系将问题转化为距离之和的最小值即可求解.

如图所示，

29

故答案为：YJ.

【答案】3

y

r

1/Cl

A-<

2J7

■

。x

4

BBQ

2

故答案为：3

【点睛】本题考查了平面向量夹角公式考查了数形结合思想.

二、单选题

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.

故选：A.

正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

二、圆

1、考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题.题型主要以

选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.

2、考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最

值、几何量的大小等.题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有

时也会在解答题中出现.

1.利用几何性质求圆的方程.2.利用待定系数法求圆的方程.

3.借助圆的方程研究圆的简单性质.4.直线与圆、圆与圆位置关系的判断.

5.求切线方程和计算弦长.6.根据直线与圆的位置关系求参数的值.

满分技巧

1.求圆的方程的2种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量

和方程.

(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程.

2.求解圆的弦长的3种方法

(1)关系法：根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系/=/+?

(其中，为弦长，/为圆的半径，,为圆心到直线的距离).

(2)公式法：根据公式/=4?不不一力求解(其中/为弦长，小，也为直线与圆相交所

得交点的横坐标，A为直线的斜率）.

（3）距离法：联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解.

热点解读

一、填空题

【答案】1

【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.

所以圆的半径为1.

故答案为：1

即可利用圆心到原点的距离加半径解出.

【答案】（）

【分析】利用圆心到直线/的距离等于圆C”的半径可得出关于实数〃?的等式，即可解得实

数〃，的值.

故答案为：0.

所以圆心到直线的距离不大于半径，

【答案】2.

考点：更线与圆位置关系

【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略

1.与弦K有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行

求解.

2.利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联

立后得到的一元二次方程的判别式来判断百线与圆的位置关系.

3.与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题.

①M中所有直线均经过一个定点；

②存在定点P不在M中的任一条直线上；

④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

【答案】②③

综上，正确的命题是②③.

故答案为：②③.

二、单选题

7.（2022・上海徐汇•统考一模）已知圆的半径为3,圆C2的半径为7,若两圆相交，则两

圆的圆心距可能是（）

A.0B.4C.8D.12

【答案】C

故选：C

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

考虑面圆的位置关系，

若A取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确.

则正确命题是②④.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的方程，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进

行证明，会利用数形结合解决实际问题.

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【答案】B

【分析】根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可;

【解析】解：若①成立，则相邻两圆外离，

所以直线/只能与有限个圆相交，所以结论②不成立；

故选：B

三、圆锥曲线

命题趋势

1、圆锥曲线的定义、标准方程通常以小题形式考查，题型主要以选择、填空题为主，椭圆

方程的求解经常出现在解答题的第一问.

2、与圆锥曲线的性质相关的问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有

综合性较强的解答题.

3、以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、

对称、存在性问题.题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.

1热点话题

1.求圆锥曲线的方程.2.圆锥曲线的定义及其应用.

3.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程.

4.求双曲线的渐近线方程.5.直线与圆锥曲线相交时，弦长的计算.

6.焦点弦、弦中点的相关问题.7.圆锥曲线的切线方程.

满分技巧

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆:Ml+|圾|=2a(2a>|.

⑵双曲线：|•明-\MFt\\=2a{2a<\F^\).

⑶抛物线：\MF=d(d为"点到准线的距离).

［注意］应用圆锥曲线定义解题时：易忽视定义中隐含条件导致错误.

2.求解圆锥曲线标准方程的思路

定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方面

即利用待定系数法求出方程中的才，炉或"另外，当焦点位置无法确定时，抛物线

计算常设为炉=2ax或x'=2ay(aH0),椭圆常设为皿。+〃y=1(m>0,〃>0),双曲线常设

、122</、八\

为m)C—ny=1(w?>0)

3.双曲线的渐近线的求法及用法

(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.

ba

⑵用法：①可得潸%的值.

②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.

4.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定

通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其4〉0：另一

方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线

渐近线的斜率的大小得到.

5.直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法

解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y

或x后得到一元二次方程，当4>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为后小,如，6(如

5

度)，由根与系数的关系求出跖+照，小照或"+如％为则弦长|力4=<1+女•yjxi—x2~

=71+4•7~小+X2~■—4%|^2=1+方・I为一自=l+y,7V\+¥22-4为理(人为

直线的斜率且〃W0），当4月两点坐标易求时也可以直接用IXLX22+y一度

求之.

热点解读

一、填空题

【答案】1##3.5

7

故答案为：

2

由双曲线的对称性，不妨设A,8均为第一象限点，

【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义,

结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.

【答案】0

【分析】利用圆心到直线/的距离等于圆C”的半径可得出关于实数加的等式，即可解得实

数册的值.

故答案为：（）.

【答案】|

故答案为：|.

因为/垂直平分线段AK，

所以直线/的斜率为C,

【答案】6

故答案为：6

【答案】叵

故答案为：拒.

①M中所有直线均经过一个定点；

②存在定点P不在M中的任一条直线上；

④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

【答案】②③

综上，正确的命题是②③.

故答案为：②③.

二、单选题

①口的开口最为开阔；

②匚的开口比「3的更为开阔；

③「2和「3的开口的开阔程度相同.

A.只有一个正确B.只有两个正确C.均正确D.均不正确

【答案】D

【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.

【解析】依题意，依次计算出各自的离心率可得：

可知：三个结论均为错误；

故选：D

【答案】B

【分析】先求得人，B两点的坐标，进而求得线段的长

故选：D

A.①②B.②③C.②©D.③④

【答案】B

【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线A8的直线方程，联汇方程和利用韦达

定理即可判断得出答案.

故选：B.

三、解答题

【答案】(错

(2)3

【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；

（3）若P为椭圆「上一点，过点尸作一条斜率为6的直线,

⑴求椭圆C的标准方程；

【答案】（1）0

【点睛】思路点睛：

过定点问题的两大类型及解法：

⑴动直线/过定点问题.解法：设动直线方程（斜率存在）为），=h+/，由题设条件将/用火

表示为/=〃次，得y=A（x+〃?），故动直线过定点（一/几0）.

⑵动曲线C过定点问题.解法：引入参变量建立曲线。的方程，再根据其对参变量恒成工

令其系数等于零，得出定点.

⑵当P玛垂直于1轴时，求直线QQ的方程；

【答案】（1）8

【分析】（1）利用椭圆的定义求解;

（1）

（2）

20

⑵5；

（3）答案见解析.

重难点题型必刷

一、填空题

【答案】_2

【分析I由直线垂直可得到关于实数”的方程，解方程即可.

故答案为：—2.

【答案】4

故答案为：4

【答案】正

22

【分析】轴可得户点横坐标，再根据点尸在椭圆上，求出尸的纵坐标，代入三角形

面积公式即可求解.

【解析】由题意不妨设用・G，0），6（石，0）,

,・”心轴，，尸（5士!）,

V△尸片右的面积=J|P%II1=7xJX26=立，

Z/N