与三角形有关的线段重难点（5种题型）原卷版-八年级数学上册（人教版）

与三角形有关的线段重难点（5种题型）

划重点•冲高分区

类型一利用三边关系判断能否组成三角形

类型二利用三边关系求参数范囹

三角形的三边关系一类型三利用三边关系取舍值（易措）

类型四利用三边关系求最值

类型五三角形最长边与局长的关系

与

类型一依据三角形形状确定高的位置

三

类型二面积法，知高求底/知底求高

角类型三面积法，整体求值

三角形的高

类型四依据高的位置，分类讨论求面积

形

类型五依据高的位置，分类讨论求角度

有类型六等面积法的综合运用

关

的类型一中线的性质与应用

三角形的中线

线类型二重心性质与应用

段

类型一三角形的角平分线性质的应用

三角形的角平分线

类型二三角形高、中线、角平分线的综合

面积转化与面积法类型一面积法求值

类型二转化思想求面积

题型1三角形的三边关系

点，

判定三条线段能否构成三角形时，不需要分别计算，只要三条线段中较小的两条线段之和大于第三条线段i

就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形.！

【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.

!___________________________________________________________________________________________!

重难点一利用三边关系判断能否组成三角形

1.（24-25七年级下•山东枣庄•期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所

示.若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（）

10

A.2B.3或5C.4或5D.6

2.（20-21八年级上•河北沧州•期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三

角形的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（24-25八年级上•贵州遵义,期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余.重

叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25七年级下♦河南周口•期末）已知〃是正整数，若一个三角形的三边长分别是〃+2,〃+6,3〃

则满足条件的〃的值有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

重难点二利用三边关系求参数范围

5.（24-25八年级上•浙江杭州•开学考试）在△力8c中，4）是边8C上的中线，48=5cm,4c=9cm,

力。的取值范围是（）

A.4cm<AD<14cmB.4cm<AD414cm

C.2cm<AD<7cmD.2cm<AD<7cm

6.（24-25七年级下-四川成都-期末）一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5,则第三边

长度的最大值为.

重难点三利用三边关系取舍值（易错）

7.（24-25七年级下•陕西咸阳•期木）若一个等腰三角形的周长为15,一边长为7,则该等腰三角形的

底边长为.

8.（24-25七年级下•河南新乡•期末）若有理数也〃满足等式|"-2|+（〃-4）2=0,且〃?,〃恰好是等腰4/出。

的两条边长，则。的周长是（)

A.12B.10C.8I).6

9.（24-25七年级下•重庆•阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和

12两部分，则这个等腰三角形的底边长为.

重难点四利用三边关系求最值

10.（2025八年级上•全国•专题练习）如图，在△力8C中，BC=3,将△/18C平移5个单位到,

则8C的最大值等于.

11.（24-25七年级下•四川成都•期末）一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5,则第三

边的最大值为.

12.（24-25八年级下•江苏扬州•期中）如图，在四边形48CO中，AB=3,CD=7,E,尸分别为边

BC,月。的中点.连接E产，线段七户的最大值为.

13.（24-25八年级上•广东湛江•阶段练习）如图，在△ZB。中，48=3,8c=4,AC=5,〃为8。边

上一动点，将△48。沿力。翻折得到△加冷，点〃的对应点为点只连接CP,则CP的最小值为.

14.（2425八年级上•河南周口•阶段练习）如图、用钉了把木棒4。和。分别在端点6、。处连

00@嫉

1）高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.

②高相等，面积之比等于底边之匕.

2）高与勾股定理的联系：有高就有直角，想到勾股定理.

3）三角形三高线的交点是垂心，注意垂心的性质.

直角三角形锐角三角形钝角三角形

4Dc

图形

CB区DczAa卜•D

AB・CF=AC-BC=2S^BCAB-CF=AC・BE=BC・AD=2S^

结论K

三条高所在的直线交于一点，这个点称为垂心.

重难点一依据三角形形状确定高的位置

1.（24-25七年级下•四川成都•期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位.

⑴画出MBC的//边上的高C。，垂足为〃:

⑵求△48。的面积.

2.（24-25八年级下•安徽合肥•期末）图1、图2均是8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，

每个小正方形的边长均为1，4&C均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中,

按要求画图.(不要求写出画法，保留作图痕迹)

图1图2

(1)在图1中作△月的中线CZX

(2)在图2中作A/BC的高3E.

3.(24-25七年级下•江苏苏州•期中)如图，网格中每个小正方形的边长为1,△力的顶点力、氏

(1)在图1中作△力夕C的高C。；

(2)在图1中在8c上取点£,使△力3E与△/(?£面积相等；

⑶在图2中取格点凡使得ABFC咨ACIB("不与力重合).

重难点二面积法，知高求底/知底求高

4.(24-25八年级上•新疆乌鲁木齐•期末)如图，在Rt△力8C中,

NC=90°,AC=4cm,BC=3cm,=5cm,夕是/CAB与4JBA平分线的交点，则点。至I]48的距离为

5.（24-25七年级下•上海•阶段练习）如图，在△力8c中，AB=AC,〃为〃。中点，过点〃作

DPLAB,。尸=3,E为BC上一点、,过点£作£1/_148,EN1AC,EA/=4.2,则EN=

6.（24-25八年级上•辽宁葫芦岛«期中）如图，在△ABC中，力。、CE是△MC的两条高，5C=5cm,

AD=3cm,CE=4cm,则AB的长等于cm.

7.（2025八年级上•全国•专题练习）如图，在△48C中，AD1BC,BE1.AC,BC=4cm,JC=5cm,求

4＞：跖的值.

重难点三面积法，整体求值

8.（24-25七年级下-辽宁沈阳•阶段练习）如图，在△48C中，/8=4C=10,8。=12,边8c上的高力。二8,

点P为8c上一点，且PE-B,PF1AC.则尸E+Pb的值为.

9.（24-25七年级下•四川成都•期中）如图，在。中，ZC=90°（Z/KZJ5C）,点〃尸分别在边

AB,4C上，且DE上BP,DF1AP,垂足分别为点匹F.若，”°=24,AC=8,则OE+O/

的值_______

10.（24-25八年级上•河南周口•阶段练习）如图，在的边上取点M、N.连接

平分ZAMN,PN平分4MNB，若MV=1,JMN的面积是1,△QMV的面积是5,则OM+ON的值是.

重难点四依据高的位置，分类讨论求面积

11.（24-25八年级下•黑龙江绥化•期中）△力8c中，8c=6,8c边上的高力0=3,80=2,则AXCO

的面积是.

12.（24-25八年级上•黑龙江哈尔滨•开学考试）力。是△/出C中4c边上的高，已知

力。=5,40=4,CO=2,则△48C的面积等于.

重难点五依据高的位置，分类讨论求角度

13.（2025•黑龙江哈尔滨•三模）在△XBC中，N8=40。，若从顶点A作高线力。和角平分线4E,AD

与NE的夹角为5。，则NC的度数为。.

14.（23-24八年级上•四川南充•阶段练习）已知：BD、CE培的高，直线切、CE相交所成的角

中有一个角为56。，则NA4C的度数为.

15.（24-25八年级上•江苏宿ii•期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42。，则其底角的度

数为.

重难点六等面积法的综合运用

16.（24-25八年级上-广东深圳・期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题,

这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法.

【问题探究】

数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题：

如图1,在等腰中，AB=AC=\3,4c=10,。是线段8C上任意一点，过点D作DE248,

DF1AC,垂足分别为£,F.求。E+O”的值.

他们用两种方法表示△/SC的面积：

方法一：如图，作/G_18c于点G,计算△/BC的面积.

解答过程如下：…

方法一：连接AD,则s力8c=S“BD+S.ACD+.

（1）请将方法一的解答过程补充完整；

（2）结合方法一、二可以算出。后+。产=.

【学以致用】

如图2,直线y=：3x+93与x轴交于点A,且经过点。（2,〃?），已知点C的坐标为（6,0）.

42

（1）求直线。。的解析式；

17.（23-24八年级上-浙江绍兴•阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法

被称为“面积法”.已知等边△48C,点P是平面上任意一点，设点P到△力8c边力8、边的距离分别

为P。、PE,△XBC的8。边上的高为4W.回答以下问题：

AAA

⑴如图（1）,若点P在三角形的AC边上，PD、PE、4W存在怎样的数量关系？请给出证明过程.

⑵如图（2）,当点P在ZUBC内，已知4必=10,求PQ+PE+PP的值.

（3）如图（3）,当点P在△力8c外，请直接写出力M与尸。、PF、0E的数量关系，不用证明.

18.（23-24八年级上-广东深圳•期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式

相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法.

(1)【学有所用】如图1,在等腰△月6c中，AB=AC,其一腰上的高8。为九必是底边6c上的任意一点,

V到腰48、/C的距离ME、分别为九、小小明发现，通过连接力M,将ZUAC的面积转化为

和9CM的面积之和，建立等量关系，便可证明九十4=力，请你结合图形来证明：h}+h2=k.

(2)【尝试提升】如图2,在△力8c中，4=90。，〃是//边上一点，使BD=CD,过BC上一点P,作

PE1AB,垂足为点后，作*7J_CD,垂足为点R已知48=6&，8c=6石，求PE+尸尸的长.

(3)【拓展迁移】如图3,在平面直角坐标系中有两条直线4：»=-卷3-5,/2：y=5x-5,若&上的一点1/

到4的距离是2,求桀的值.

CM

题型3三角形的中线

1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系.

2）中线性质：①中点将边平分；②中线将面积平分：

③三边中线交点为重心，切记重心的性质.

中线重心

A2^^,0为重心

/jX.AD为中线

图形

BDC

①BD=CD；①S^AOB=SAXOC=5ABOCi

=

②C“D-CAABD=AC-AB（C表示周长）；②SMOF==SABOD=S^COD=S△OOES△AOE=

结论

=%

③S.ABD=SAACD~2^£^ABC»■g-OAABC；

④S^BPD=SACPD♦S△XPB=SaAj»c.③OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF.

重难点一中线的性质与应用

1.（2024七年级上•四川成都•专题练习）如图所示，已知三角形49C的面积为20,BE=3CE,

AF=EF,求阴影部分的面积.

2.（24-25七年级下•吉林长春•期中）已知8。是△44。的中线，△川5。的周长比△4。。的周长大

2cm,若△力8c的周长为17cm,且z!C=5cm,求力6和8c的长.

3.（24-25七年级下•辽宁沈阳•期中）如图，在△力8c中，点〃是边力。上一点，连接点〃是4。

27

的中点，连接力尸并延长交8c于点分若力。=§8,AP=—AE.

（1）设AAPE的面积为S,求的面积（用含S的式子表示）：

（2）请判断6E与CE的数量关系，并说明理由.

4.（23-24八年级上•湖北黄石•阶段练习）如图，力（-4,3）,8（4,3）,都是格点，且叱=5,请

用无刻度直尺在给定网格中画出卜列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）.

(1)在图1中作△/8C的中线CE与8£>,设CE与8。交于点尸;

⑵在图2中，在N轴上找点。，使得/O+G0最小；

⑶在图3中的力用上找一点M,使N8CW=NGCW；

5.(24-25八年级上•河北保定•期中)(1)如图1,在中，若力。是边8c上的中线，则

壬皿=_；如图2,在△48。中，若2。=,5C,则合殁=

(2)如图3,若C。,跖分别是△4HC的边力6,力。上的中线，求四边形4X组的面积可以用如下方法.

连接4。，由力。=。8,得，S,R=S,如，

同理，可得S&cB"=S"8O.

=A=

设Sa.41yo=X,S.AEOy»则SG8DO=»\cw)'»

设S：C=2%

=

由题意，得S.ABE=~S&ABC=。,S,ADC万S&3C=a»

可列方程组｛二；二解得x+片」

.‘四边形4X比_

「SgBC

(3)如图4,AD=^-AB,AE=^AC,若S^=21,

c求s四边形皿纪.

AAAA

\N

BDCBDCsCBC

图1图2图3图4

重难点二重心性质与应用

6.(24-25七年级下•四川成都•期中)如图，D,E,尸分别为8C,CA,48的中点，点G为△48。

的重心.已知AAEG的面积为1,则MBC的面积为

A

7.（23-24八年级上•河南郑州-开学考试）如图，点。为△月台。的重心，D,E,，'分别为8c力8的中点,

具有性质：AGzGD=BGGE=CGGF=2：\.已知的面积为4,ZVIAC的面积为

8.（24-25八年级上•贵州遵义•期末）【发现与探究】三角形的重心

三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看，我们可以认为物体所受重力的

合力集中于一点，这一点叫物体的重心.图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心。

处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.图

2中，是△4%的中线，/。/与△相力等底等高，面积相等，记作S“s=S必时图3中，若△ABC三

条中线力。、BE、CF交于点、G,则GQ是△GB。的中线，利用上述结论可得：,同理

图1图2

(1)图3中，若设SAG°=X，5,跖=，，S&GAE=Z,猜想叫V,z之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2)由(1)可知被三条中线分成的六个三角形面积如果面积为机，用含有机的式子表示△BGC的

面积为BG：GE=_；

(3)图4中，G是△48。重心，点。、上在△49C的边力3、4c上，BE、CO交于G,BE=9,8=12,

BE1CD,求四边形ZEGQ的面积.

题型4三角形的角平分线

!------1---------------------T

!三角形的角平分线一相等的角或成2倍关系的角.

I

重难点二M角形的角平分线性质的应用

1.（24-25八年级上♦广东广州•期中）如图，已知△48C的周长是21,OB,分别平分/48C和

/ACB,OQ_L8c于点。，且。0=4,△川“7的面积是.

2.（23-24八年级上•上海松江•期末）如图，在△力8c中，已知8。是/48c的角平分线，点〃是A形。

内一点，且力DJ.8。，ZZ）JC=20°,ZC=38°,那么/8力。=°.

3.（24-25八年级上•内蒙古乌海•期末）如图，在。中，8E是角平分线，点〃在边力8上（不与点

（1）若。。是中线，"C=5,AC=3,则与△力CO的周长差为」

（2）若CDJ_43,ZJ5C=60°,求/8OC的度数.

4.（24-25八年级上•安徽安庆•期中）如图，在△45C中，N/C4=90。，点。为力C上一点，过点A作

AEtBD于点、E.

B

（1）当8。平分且//4c=60。时，求/历IE的度数；

⑵当点。是力C中点，08=6,且的面积为24,求4E•的长.

重难点二三角形高、中线、角平分线的综合

5.（23-24八年级上•云南昆明•期中）如图，在△48C中，AD,力尸分别为△力8c的8c边上的中线和高,

8E为△48。的角平分线.

⑴若ZBED=50。,/B4Q=30。,求NO力尸的大小:

⑵若△XBC的面积为48,BD=6,求"•的长.

6.（24-25七年级下•陕西渭南,期末）如图，力。为△力8c的中线，BE为△48。的角平分线，过点。（乍

ENiAB千点N,EM为"ED的高.

(1)若NBED=40。，/84。=25。，求N48O的度数：

⑵若48=16,80=8,△/BC的面积为64,求的长.

7.(21-22八年级上-云南昆明・期末)如图，在△/!比中，AD,力/分别是△力回的中线和高，BE建4ABD

的角平分线.

⑴若△力比的面积为40,BD=5,求"'的长；

⑵若/BED=A0°,/历仞=25°,求/历伊的大小.

题型5面积转化与面积法

0。式

A

图形D为BC上一点AD//BC

B~D-CBC

①S/SABC=S.DBC，S^ABD=S—CD；②S△AB0=S△/JCO；

结论S^ABD_BD

⑶八人月于SAARO

SgcDCDSn_ADAO__SArtco_DO

S^BCDBC'OCS^caoSACBOOB,

重难点一面积法求值

1.（23-24七年级上•河南郑州•开学考试）如图，在梯形ABCD中，三角形49。与三角52.（23-24

七年级下•广西玉林•期末）我们知道：平行线间的距离处处相等.如图，AB//DC,ED//BC.AE//BD,

那么图中与面积相等的三角形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

七年级下-上海杨浦•期中）如图，梯形ABCD中，AB//CD则原边物皿

2.（23-24,S”.=1,SA5IVC=0.8,

为（）

A.1.6B.1.8C.2D.3.6

3.（23-24九年级上•河南南阳•期中）如图，在四边形