2025年下学期初中数学基本国际研发商组织竞赛素养试卷

2025年下学期初中数学基本国际研发商组织竞赛素养试卷一、数与代数模块（一）实数运算与应用计算：(\sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}}-(2\sqrt{3})^2)解析：本题考查二次根式的化简与混合运算。先将各根式化为最简形式：(\sqrt{48}=4\sqrt{3})，(\sqrt{27}=3\sqrt{3})，(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})，((2\sqrt{3})^2=12)。原式可转化为(4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}-12=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sqrt{3}-12=\frac{4\sqrt{3}}{3}-12)。已知(a)是(\sqrt{5})的整数部分，(b)是(\sqrt{5})的小数部分，求(a^2-b^2)的值。解析：因为(2<\sqrt{5}<3)，所以(a=2)，(b=\sqrt{5}-2)。则(a^2-b^2=(a+b)(a-b)=\sqrt{5}\times(2-(\sqrt{5}-2))=\sqrt{5}\times(4-\sqrt{5})=4\sqrt{5}-5)。（二）整式与分式先化简，再求值：(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}+\frac{2-x}{x+2}\right)\div\frac{x}{x-2})，其中(x=\sqrt{3}-2)。解析：原式括号内通分，(\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{8x}{x^2-4})。再除以(\frac{x}{x-2})，得(\frac{8x}{(x+2)(x-2)}\times\frac{x-2}{x}=\frac{8}{x+2})。代入(x=\sqrt{3}-2)，结果为(\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3})。二、方程与不等式模块（一）一元二次方程若关于(x)的方程((m-1)x^2+2x+m^2-1=0)有一个根为(0)，求(m)的值及方程的另一个根。解析：将(x=0)代入方程得(m^2-1=0)，解得(m=1)或(m=-1)。当(m=1)时，方程化为(2x=0)，不符合一元二次方程定义，舍去；当(m=-1)时，方程为(-2x^2+2x=0)，即(x(-2x+2)=0)，另一个根为(x=1)。（二）不等式组与实际应用某商店准备购进(A)、(B)两种商品，已知购进(A)商品(3)件和(B)商品(2)件，共需(120)元；购进(A)商品(5)件和(B)商品(4)件，共需(220)元。（1）求(A)、(B)两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过(1000)元购进这两种商品，且(A)商品数量不少于(B)商品数量的(2)倍，问最多能购进多少件(B)商品？解析：（1）设(A)商品进价为(x)元，(B)商品进价为(y)元，列方程组：(\begin{cases}3x+2y=120\5x+4y=220\end{cases})，解得(\begin{cases}x=20\y=30\end{cases})。（2）设购进(B)商品(m)件，则(A)商品(\geq2m)件，总费用(20\times2m+30m\leq1000)，即(70m\leq1000)，(m\leq14.28)，故最多购进(14)件(B)商品。三、函数模块（一）一次函数与反比例函数已知一次函数(y=kx+b)与反比例函数(y=\frac{m}{x})的图像交于点(A(2,3))和(B(-3,n))。（1）求(m)、(n)的值及一次函数的解析式；（2）当(x)为何值时，(kx+b>\frac{m}{x})？解析：（1）将(A(2,3))代入反比例函数得(m=6)，则(B(-3,n))中(n=\frac{6}{-3}=-2)。将(A)、(B)代入一次函数：(\begin{cases}2k+b=3\-3k+b=-2\end{cases})，解得(k=1)，(b=1)，故一次函数为(y=x+1)。（2）联立函数图像，不等式(x+1>\frac{6}{x})的解集为(-3<x<0)或(x>2)。（二）二次函数已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像过点((-1,0))、((3,0))，且最大值为(4)。（1）求该二次函数的解析式；（2）若点(P(m,n))在该函数图像上，且(-1\leqm\leq3)，求(n)的取值范围。解析：（1）由题意知对称轴为(x=1)，顶点坐标为((1,4))，设解析式为(y=a(x-1)^2+4)。将((-1,0))代入得(0=4a+4)，(a=-1)，故解析式为(y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3)。（2）函数开口向下，在(-1\leqm\leq3)内，当(m=1)时，(n)最大为(4)；当(m=-1)或(3)时，(n=0)，故(0\leqn\leq4)。四、几何模块（一）三角形与四边形如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(D)为(BC)中点，(E)为(AC)上一点，且(AE=AD)，连接(DE)。若(\angleBAD=30^\circ)，求(\angleCDE)的度数。解析：因为(AB=AC)，(D)为(BC)中点，所以(AD\perpBC)，(\angleCAD=\angleBAD=30^\circ)，(\angleC=60^\circ)。又因为(AE=AD)，所以(\angleADE=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ)，则(\angleCDE=90^\circ-75^\circ=15^\circ)。在菱形(ABCD)中，对角线(AC=6)，(BD=8)，点(P)是对角线(AC)上一动点，过点(P)作(EF\perpAC)交(AD)于(E)，交(AB)于(F)，连接(BE)、(DF)。设(AP=x)，(\triangleBEF)的面积为(y)，求(y)与(x)的函数关系式，并求出(y)的最大值。解析：菱形边长为(5)，(AC)上点(P)将(EF)分为两段，由相似三角形性质得(EF=2\times\frac{AP}{AO}\timesBO=2\times\frac{x}{3}\times4=\frac{8x}{3})（(AO=3)，(BO=4)）。(\triangleBEF)的高为(AC-AP=6-x)，故(y=\frac{1}{2}\times\frac{8x}{3}\times(6-x)=-\frac{4}{3}x^2+8x)。当(x=\frac{3}{2})时，(y)最大值为(6)。（二）圆与几何证明如图，(AB)是(\odotO)的直径，(C)为(\odotO)上一点，(CD\perpAB)于(D)，(E)为(\widehat{BC})上一点，连接(AE)交(CD)于(F)，且(AF=CF)。（1）求证：(AE)平分(\angleCAB)；（2）若(CD=4)，(AD=2)，求(\odotO)的半径。解析：（1）连接(BC)，因为(AB)是直径，所以(\angleACB=90^\circ)。又(CD\perpAB)，则(\angleACD=\angleB)。因为(AF=CF)，所以(\angleACF=\angleCAF)，故(\angleCAF=\angleB)。又(\angleB=\angleEAB)（同弧所对圆周角），所以(\angleCAF=\angleEAB)，即(AE)平分(\angleCAB)。（2）设半径为(r)，则(OD=r-2)，(OC=r)。在(Rt\triangleOCD)中，(OD^2+CD^2=OC^2)，即((r-2)^2+4^2=r^2)，解得(r=5)。五、统计与概率模块某校为了解学生每周体育锻炼时间，随机抽取(200)名学生进行调查，数据如下表：锻炼时间（小时）(0\leqt<2)(2\leqt<4)(4\leqt<6)(6\leqt<8)(t\geq8)人数1030608020（1）求这组数据的中位数和众数所在的区间；（2）若该校共有(2000)名学生，估计每周锻炼时间不少于(6)小时的学生人数。解析：（1）中位数为第(100)、(101)个数据的平均数，前两组共(40)人，前三组共(100)人，故中位数在(4\leqt<6)区间；众数所在区间为人数最多的(6\leqt<8)。（2）锻炼时间不少于(6)小时的比例为(\frac{80+20}{200}=50%)，估计人数为(2000\times50%=1000)人。六、综合应用题某工厂生产一种零件，当生产数量为(x)（个）时，成本函数为(C(x)=0.5x^2+20x+1000)（元），销售单价为(p(x)=50-0.1x)（元/个），且生产的零件全部售出。（1）求利润函数(L(x))的解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当生产数量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解析：（1）销售收入(R(x)=x\cdotp(x)=x(50-0.1x)=-0.1x^2+50x)，利润函数(L(x)=R(x)-C(x)=-0.1x^2+50x-(0.5x^2+20x+1000)=-0.6x^2+30x-1000)。（2）(L(x)=-0.6(x^2-50x)-1000=-0.6(x-25)^2+375-1000=-0.6(x-25)^2-625)。因为二次项系数为负，函数开口向下，当(x=25)时，利润最大，最大利润为(-625)元（此时利润为负，说明生产25个时亏损最小）。七、拓展探究题如图，在平面直角坐标系中，点(A(0,4))，点(B(3,0))，点(P)是线段(AB)上一动点（不与(A)、(B)重合），过点(P)作(PD\perpx)轴于(D)，(PE\perpy)轴于(E)。（1）设(P)点横坐标为(t)，用含(t)的代数式表示矩形(PDOE)的面积(S)；（2）在点(P)运动过程中，是否存在点(P)使得(\triangleAPE)与(\triangleBPD)相似？若存在，求出(t)的值；若不存在，说明理由。解析：（1）直线(AB)的解析式为(y=-\frac{4}{3}x+4)，则(P(t,-\frac{4}{3}t+4))，矩形面积(S=t\times(-\frac{4}{3}t+4)=-\frac{4}{3}t^2+4t)（(0<t<3)）。（2）(\triangleAPE)中，(AE=4-(-\frac{4}{3}t+4)=\frac{4}{3}t)，(PE=t)；(\triangleBPD)中，(PD=-\frac{4}{3}t+4)，(BD=3-t)。若相似，则(\frac{AE}{PE}=\frac{PD}{BD})或(\frac{AE}{PE}=\frac{BD}{PD})。当(\frac{\frac{4}{3}t}{t}=\frac{-\frac{4}{3}t+4}{3-t})时，(\frac{4}{3}=\frac{4(3-t)}{3(3-t)})，等式恒成立，但(P)不与(A)、(B)重合，故(0<t<3)时均相似；当(\frac{\frac{4}{3}t}{t}=\frac{3-t}{-\frac{4}{3}t+4})时，(\frac{4}{3}=\frac{3-t}{\frac{4(3-t)}{3}})，分母为(0)，无解。综上，存在点(P)，(t)的取值范围为(0<t<3)。八、数学文化与创新题《九章算术》中记载：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其大意是：直角三角形的两条直角边分别为(8)步和(15)步，求其内切圆的直径。解析：根据勾股定理，斜边长为(\sqrt{8^2+15^2}=17)步。直角三角形内切圆半径(r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{8+15-17}{2}=3)步，故直径为(6)步。定义新运算“(\otimes)”：对于任意实数(a)、(b)，有(a\otimesb=a^2-2ab+b^2)，例如(3\otim