2025年下学期初中数学竞赛解析几何试卷

2025年下学期初中数学竞赛解析几何试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程是解析：①求AB中点坐标：(\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(2,1))；②求AB斜率：(k_{AB}=\frac{0-2}{3-1}=-1)，则垂直平分线斜率为(k=1)（负倒数）；③由点斜式得方程：(y-1=1\cdot(x-2))，化简为(x-y-1=0)。答案：无正确选项（注：原题选项可能存在排版误差，正确方程应为(x-y-1=0)）。圆(x^2+y^2-4x+6y-3=0)的圆心坐标是解析：将方程配方：((x^2-4x)+(y^2+6y)=3)，即((x-2)^2-4+(y+3)^2-9=3)，整理得((x-2)^2+(y+3)^2=16)。答案：A.(2,-3)抛物线(y^2=8x)的焦点坐标是解析：抛物线标准方程为(y^2=2px)（开口向右），对比得(2p=8\Rightarrowp=4)，焦点坐标为((\frac{p}{2},0)=(2,0))。答案：A.(2,0)椭圆(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1)的焦距是解析：由椭圆方程知(a^2=9)，(b^2=4)，则(c^2=a^2-b^2=5\Rightarrowc=\sqrt{5})，焦距(2c=2\sqrt{5})。答案：B.(2\sqrt{5})双曲线(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1)的渐近线方程是解析：双曲线标准方程为(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)，渐近线方程为(y=\pm\frac{b}{a}x)。此处(a=4)，(b=3)，故渐近线为(y=\pm\frac{3}{4}x)。答案：无正确选项（注：原题选项可能缺失，正确方程为(y=\pm\frac{3}{4}x)）。点P(x,y)在直线(y=x)上，且以P为圆心、半径为3的圆与y轴相切，则点P的坐标是解析：①圆与y轴相切，则圆心横坐标绝对值等于半径，即(|x|=3\Rightarrowx=3)或(x=-3)；②又因点P在(y=x)上，故坐标为(3,3)或(-3,-3)。答案：(3,3)或(-3,-3)（注：可作为填空题答案）椭圆(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1)的离心率是解析：(a=5)，(b=4)，则(c=\sqrt{a^2-b^2}=3)，离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5})。答案：(\frac{3}{5})（注：可作为填空题答案）已知直线(y=kx+3)与圆((x-2)^2+(y-1)^2=4)相切，则k的值是解析：圆心(2,1)到直线距离等于半径2，即(\frac{|2k-1+3|}{\sqrt{k^2+1}}=2)，化简得(|2k+2|=2\sqrt{k^2+1})，两边平方后解得(k=0)或(k=-\frac{4}{3})。答案：(k=0)或(k=-\frac{4}{3})（注：可作为填空题答案）双曲线(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1)的实轴长是解析：焦点在y轴上，标准方程为(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)，实轴长(2a=2\times3=6)。答案：6（注：可作为填空题答案）抛物线(x^2=-4y)的准线方程是解析：抛物线标准方程为(x^2=-2py)（开口向下），(2p=4\Rightarrowp=2)，准线方程为(y=\frac{p}{2}=1)。答案：(y=1)（注：可作为填空题答案）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）已知点A(2,-3)，B(-4,1)，则线段AB的长度是__________。解析：由两点间距离公式：(AB=\sqrt{(-4-2)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13})。答案：(2\sqrt{13})直线(3x+4y-12=0)与x轴的交点坐标是__________。解析：令(y=0)，则(3x=12\Rightarrowx=4)，交点为(4,0)。答案：(4,0)椭圆(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1)的离心率为(\frac{1}{2})，则m的值是__________。解析：分两种情况：①焦点在x轴上（(m>4)）：(a^2=m)，(b^2=4)，(c^2=m-4)，(e=\frac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}=\frac{1}{2})，解得(m=\frac{16}{3})；②焦点在y轴上（(m<4)）：(a^2=4)，(b^2=m)，(c^2=4-m)，(e=\frac{\sqrt{4-m}}{2}=\frac{1}{2})，解得(m=3)。答案：3或(\frac{16}{3})若直线(y=2x+b)与圆(x^2+y^2=5)相切，则b的值是__________。解析：圆心(0,0)到直线距离等于半径(\sqrt{5})，即(\frac{|b|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}\Rightarrow|b|=5\Rightarrowb=\pm5)。答案：(\pm5)抛物线(y=ax^2)的焦点坐标是((0,1))，则a的值是__________。解析：方程化为标准形式(x^2=\frac{1}{a}y)，焦点坐标为((0,\frac{1}{4a}))，则(\frac{1}{4a}=1\Rightarrowa=\frac{1}{4})。答案：(\frac{1}{4})已知双曲线的渐近线方程为(y=\pm2x)，且过点(1,2)，则双曲线的标准方程是__________。解析：设双曲线方程为(y^2-4x^2=\lambda)（渐近线(y=\pm2x)的统一形式），代入点(1,2)得(4-4=\lambda=0)（矛盾），修正为(4x^2-y^2=\lambda)，代入得(4-4=\lambda=0)（仍矛盾），重新设焦点在y轴：(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)，(\frac{a}{b}=2\Rightarrowa=2b)，方程为(\frac{y^2}{4b^2}-\frac{x^2}{b^2}=1)，代入(1,2)得(\frac{4}{4b^2}-\frac{1}{b^2}=0)，无解。答案：(y^2-4x^2=0)（注：该点在渐近线上，双曲线不存在，可能题目数据有误）三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.（14分）已知直线(l:y=kx+2)与椭圆(C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1)相交于A、B两点，O为坐标原点，若(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB})，求k的值。解析：联立直线与椭圆方程：[\begin{cases}y=kx+2\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}]代入消元得：(\frac{x^2}{4}+\frac{(kx+2)^2}{2}=1)，化简为((1+2k^2)x^2+8kx+4=0)。设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，则：[x_1+x_2=-\frac{8k}{1+2k^2},\quadx_1x_2=\frac{4}{1+2k^2}]由(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB})得(x_1x_2+y_1y_2=0)，其中(y_1y_2=(kx_1+2)(kx_2+2)=k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4)。代入得：[x_1x_2+k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4=0][(1+k^2)\cdot\frac{4}{1+2k^2}+2k\cdot\left(-\frac{8k}{1+2k^2}\right)+4=0]化简：[\frac{4(1+k^2)-16k^2}{1+2k^2}+4=0\Rightarrow\frac{4-12k^2}{1+2k^2}=-4\Rightarrow4-12k^2=-4-8k^2\Rightarrowk^2=2\Rightarrowk=\pm\sqrt{2}]答案：(k=\pm\sqrt{2})18.（14分）已知圆C的圆心在直线(x-2y=0)上，且与y轴相切于点(0,1)，求圆C的方程及过点(1,2)的切线方程。解析：（1）求圆C方程：①圆心在(x=2y)上，设圆心((2a,a))；②与y轴相切于(0,1)，则圆心纵坐标(a=1)，半径(r=|2a|=2)；③圆心为(2,1)，方程为((x-2)^2+(y-1)^2=4)。（2）求过点(1,2)的切线方程：①点(1,2)在圆上（代入圆方程：((1-2)^2+(2-1)^2=2<4)，实际在圆内，注：题目可能存在数据错误，若点为(4,1)（圆上点），切线方程为(x=4)；②若点在圆外，设切线方程(y-2=k(x-1))，由圆心到直线距离等于半径得：[\frac{|2k-1-k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=2\Rightarrow|k+1|=2\sqrt{k^2+1}\Rightarrowk^2+2k+1=4k^2+4\Rightarrow3k^2-2k+3=0]判别式(\Delta=4-36=-32<0)，无实数解，故点(1,2)在圆内，不存在切线。答案：圆方程((x-2)^2+(y-1)^2=4)；点(1,2)在圆内，无切线。19.（14分）已知椭圆(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))，求椭圆E的方程及以椭圆右焦点为圆心、半径为2的圆与椭圆E的交点坐标。解析：（1）求椭圆方程：由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2)，椭圆方程为(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}a^2}=1)，即(x^2+4y^2=a^2)。代入点(2,1)：(4+4=a^2\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)，椭圆方程为(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）求交点坐标：右焦点(F(c,0)=(\sqrt{8-2},0)=(\sqrt{6},0))，圆方程为((x-\sqrt{6})^2+y^2=4)。联立椭圆与圆方程：[\begin{cases}x^2+4y^2=8\(x-\sqrt{6})^2+y^2=4\end{cases}]由②得(y^2=4-(x-\sqrt{6})^2)，代入①：[x^2+4[4-(x^2-2\sqrt{6}x+6)]=8\Rightarrowx^2+16-4x^2+8\sqrt{6}x-24=8\Rightarrow-3x^2+8\sqrt{6}x-16=0]解得(x=\frac{8\sqrt{6}\pm\sqrt{384-192}}{6}=\frac{8\sqrt{6}\pm\sqrt{192}}{6}=\frac{8\sqrt{6}\pm8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{6}\pm4\sqrt{3}}{3})。因(x\leqa=2\sqrt{2}\approx2.828)，(\frac{4\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{3}\approx\frac{9.798+6.928}{3}\approx5.575>2.828)（舍去），故(x=\frac{4\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3})。代入(y^2=4-\left(\frac{4\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3}-\sqrt{6}\right)^2=4-\left(\frac{\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3}\right)^2)，计算得(y=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3})。答案：交点坐标(\left(\frac{4\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{3},\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\right))20.（14分）已知抛物线(y^2=4x)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若|AB|=8，求直线l的方程。解析：抛物线焦点(F(1,0))，设直线l斜率为k，方程为(y=k(x-1))（k不存在时为(x=1)，此时|AB|=4≠8，舍去）。联立抛物线方程：[\begin{cases}y=k(x-1)\y^2=4x\end{cases}]消元得(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0)，设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，则：[x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=2+\frac{4}{k^2},\quadx_1x_2=1]由抛物线焦点弦长公式：(|AB|=x_1+x_2+p=2+\frac{4}{k^2}+2=4+\frac{4}{k^2}=8\Rightarrow\frac{4}{k^2}=4\Rightarrowk^2=1\Rightarrowk=\pm1)。直线方程为(y=x-1)或(y=-x+1)。答案：(y=x-1)或(y=-x+1)21.（14分）已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为2，且过点((3,\sqrt{3}))，求双曲线C的方程及渐近线方程，并求以双曲线的两条渐近线为对称轴、且过点(2,1)的椭圆方程。解析：（1）求双曲线方程：由(e=2)得(c=2a)，(b^2=c^2-a^2=3a^2)，方程为(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1)。代入点(3,(\sqrt{3}))：(\frac{9}{a^2}-\frac{3}{3a^2}=1\Rightarrow\frac{8}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=24)，方程为(\frac{x^2}{8