2025年下学期初中数学竞赛图论问题试卷

2025年下学期初中数学竞赛图论问题试卷一、选择题（每题5分，共30分）下列图形中既是连通图又是完全图的是（）A.顶点数为3的树B.顶点数为4的环图C.顶点数为5的星图D.顶点数为4的完全图K₄一个具有8个顶点的简单图，最多可以有多少条边（）A.14B.28C.56D.64下列关于欧拉回路的说法正确的是（）A.所有顶点度数都是偶数的图一定存在欧拉回路B.连通图中存在欧拉回路的充要条件是所有顶点度数为偶数C.完全图K₅中不存在欧拉回路D.有向图中存在欧拉回路的条件是每个顶点的入度等于出度某学校有7个社团，每个社团至少与3个其他社团合作举办活动，这种合作关系可以用图论中的哪种概念描述（）A.3-正则图B.完全二部图C.竞赛图D.欧拉图在一个无向图中，若存在一条路径包含所有顶点且不重复经过边，则该路径称为（）A.哈密顿路径B.欧拉路径C.最短路径D.关键路径下列图形中，不能一笔画成的是（）A.五角星B.凸五边形C.含两个奇度顶点的连通图D.含四个奇度顶点的连通图二、填空题（每题6分，共36分）一个具有n个顶点的树有______条边，若这棵树是完全二叉树且有10片叶子，则其总顶点数为______。某城市公交线路图中，共有12个公交站点，若要保证任意两个站点之间都有直达线路（可直达或换乘），则至少需要______条公交线路。如图1，在边长为3的正方形网格中，以格点为顶点的三角形共有______个，其中直角三角形有______个。有向图G的邻接矩阵为：[\begin{bmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{bmatrix}]则从顶点1到顶点3的长度为3的路径有______条。在平面上有5个点，任意三点不共线，最多可构成______个不同的简单图，其中连通图有______个。某社交网络中有10个用户，每个用户至少关注其他3个用户，且不存在相互关注的情况（即无双向边），则该网络最多有______条关注关系。三、解答题（共3题，第13题20分，第14题24分，第15题30分，共74分）13.（20分）图的染色问题（1）证明：任意平面图都可以用5种颜色染色，使得相邻区域颜色不同；（2）某中学要安排7门不同的选修课，每天最多开设3门，要求同一学生选修的课程不能安排在同一天。若课程之间的选课冲突关系如图2所示（顶点表示课程，边表示冲突），求至少需要安排几天？14.（24分）网络优化问题某物流公司要在6个城市间建立运输网络，城市间的直达运输成本（单位：万元）如下表所示：城市ABCDEFA053∞84B5026∞7C32045∞D∞64032E8∞5301F47∞210（1）使用克鲁斯卡尔算法求连接所有城市的最小生成树，并计算总成本；（2）若从城市A发送一批货物到城市E，求最省钱的运输路线及成本；（3）若城市C和D之间的道路因施工关闭，如何调整运输网络才能保持所有城市连通且总成本增加最少？15.（30分）综合探究题（1）在一个n×n的网格图中，以格点为顶点，以网格线为边，求从左下角到右上角的最短路径数量；若规定只能向右或向上移动，且不能经过点（2,3），则最短路径数量是多少？（2）证明：任意6个人中，要么存在3人相互认识，要么存在3人相互不认识（拉姆塞数R(3,3)=6）；（3）某通讯公司要为一个有12个小区的社区铺设光纤，要求每个小区与至少两个其他小区相连，且铺设总长度最短。已知各小区之间的距离为：相邻小区距离1km，对角线小区距离√2km。请设计两种不同的网络拓扑结构（要求一种为树状结构，一种为环网状结构），并比较其优缺点。（4）拓展思考：在图论中，四色定理表明任何平面图都可以用4种颜色染色。请举例说明非平面图可能需要更多颜色，并探讨图的染色数与图的哪些参数相关。参考答案及评分标准（单独成册）D2.B3.B4.A5.B6.Dn-1；198.119.105；7210.211.32；2612.15（1）10分；（2）4天（10分）（1）15万元（8分）；（2）A→C→D→E，成本10万元（8分）；（3）增加C-E连线，成本增加2万元（8分）（1）C(2n-2,n-1)；C(7,3)-C(5,2)C(2,1)=35-20=15（8分）；（2）利用图论中的拉姆塞数证明（8分）；（3）树状结构需11km，环网状结构需12km（8分）；（4）举例非平面图如