2025-2026学年湖南省衡阳市一中高三下学期第一次月考数学试题及答案

总分：150分时量：120分钟考试内容：高考全部内容只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.A∩等于4．定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，且y＝f(2x＋2)为奇函数．当x∈(0，1]5．已知cos(α+β)＝sinαcosβ,tanαtanβ=-2，则tan(α+β)＝()122积取最大值时，圆锥的底面半径为()得到函数f(x)的图象，则()ττC．f(x)的图象关于点(8，0)对称D．f(x)的图象关111--11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝2，P(B)＝24，P(AB＋AB)=,则下列结论中正确的是()开式中所有项的系数和为(用数字作答).14．对于函数y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，已知f若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC=(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．(本小题满分17分)某公司有意在小参加面试．面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小通过者不能参加复试.(2)若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X直线y＝x＋m与E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为C，O为坐标原点.(3)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值.1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.【答案】C【解析】【分析】解对数不等式和分数不等式，得出集合A,B，再根据交集和补集的定义即可得出答案..2.复数z满足zi=2z-1，则在复平面内，复数z对应的点位于()【答案】A【解析】【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解.i，复数z在复平面内对应的点为位于第一象限.2【答案】C【解析】2满足其一个充分不必要条件的集合为B，则：B为A的真子集,)【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到f(2-x)=f(x)及f(-x+2)=-f(x+2)，从而得到函数的一个周期为4，【详解】因为函数f(x)满足f(1-x)=f(x+1)，所以f1-(x-1)=f(x-1)+1，即f(2-x)=f(x)①.因为，所以f5.已知cos(a+β)=sinacosβ,tanatanβ=-2，则tan(a+β)=()A.-B.C.D.-【答案】C【解析】【分析】先利用两角和的余弦公式结合商数关系求出tana，进而可求出tanβ,再根据两角和的正切公式【详解】由cos(a+β)=sinacosβ,得cosacosβ-sinasinβ=sinacosβ,所以1-tanatanβ=tana，又因为tanatanβ=-2，所以tan=3,tanβ=-6.已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m=()【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的焦点在y轴上，所以a2=-(4-m2)=m2-47.如图，在△ABC中，PC=2BP，过点P的直线分别交直线mn【答案】B【解析】【分析】利用向量基本定理得到AP=AM+AN，由共线定理的推论得到方程，求出2m+n=3，又M，P，N三点共线，所以mn38.一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为()【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.【详解】题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.将函数=2sin图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数f(x)的图象，则()B.f(x)的最小正周期为C.f(x)的图象关于点对称D.f(x)的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】【分析】求出变换之后的f(x)解析式，依次代入选项判断可得结果. 确.8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是()【答案】ABD【解析】【详解】43x2y2y2结论中正确的是()C.P(A|B)=P(B|A)【答案】ABD【解析】【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.因为AB与AB为互斥事件，所以P(AB.AB)=0，所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)-P(AB.AB)=P(AB)+P(AB)=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=+-2P(AB)=，所以P(AB)=，.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计【答案】729【解析】故答案为：729.【答案】14【解析】过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案.将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有A种，由分步乘法计数原理，则该组合有（2）若为“2+2”组合，将4名同学分为两组，一组将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有A种，由分步乘法计数原理，则该组合有故答案为：1414.对于函数y=f(x)，若存在x0使f(x0)+f(-x0)=0，则称点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的“优美【答案】(-¥,-1]【解析】【分析】根据“优美点”的定义，可得x<0时的函数图象关于原点对称的图象与y=kx+4(x³0)有交点，转化为方程有解，分离参数后利用基本不等式即可求得结果.【详解】若函数f(x)存在“优美点”，则函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，所以k-3=-所以k-3£-4，即k£-1.故答案为：(-¥,-1].四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明（2）设数列的前n项和为Sn，求证：Sn<.【解析】（2）结合（1）求出an，再代入求出íý的通项公式，再利用裂项相消法求出前n项和为Sn，即lan+1-1þn4nn-1据a132-a1n-an-1)又a1,,,,*所以Sn<16.已知函数f(x)=2ae2x+2(a-1)ex-x.（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.【解析】点，由（1）知f(x)min=f(-ln2a)=1-+ln2a，分别证明f(x)在(-∞,-ln2a)有一个零点.，f(x)在(-ln2a,+∞)有一个零点.+2(a-1)ex-1=(2aex-1).(2ex+1)所以f(x)在(-∞,-ln2a)上单调递减，在(-ln2a,+∞)上单调递增.当a>0时，f(x)在(-∞,-ln2a)上单调递减，在(-ln2a,+∞)上单调递增.若a≤0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.若a>0，由（1）知，当x=-ln2a时，f(x)取得最小值，最小值为f(-ln2a)=1-+ln2a.②当a∈时，因为1-单调递增，ln2a单调递增，所以1故f(x)在(-∞,-ln2a)有一个零点.故f(x)在(-ln2a,+∞)有一个零点.综上，a的取值范围为.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD丄平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面（2）求线段PA中点M到平面PCD的距离.（3）线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为若存在，求出（3）存在，【解析】由于平面PAD丄平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，QAB丄AD且ABÌ平面ABCD，:AB丄平面PAD，QPDÌ平面PAD，:AB丄PD.而平面PAD丄平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，POÌ平面PAD，，P-1,-所以M到平面PCD的距离3(1-λ),(λ-1),λ+1)，易知平面DAC的一个法向量为所以线段PD上存在点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为此时18.某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试且采用积试满分为10分，且初试未通过者不能参加复试.（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望E(X).【解析】【分析】（1）选出2人的情况分三种：①小明、小试；③小强、小真参加面试.计算每种情况下的概率（2）分析X的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果.强、小真参加面试为事件A3，这两人本次面试的得分之和不低于16分为事件B，B)2X的可能取值为0,6,10,12,16,20，222故X的分布列为：X06P 18 14 14 14两点，点A关于x轴的对称点为C,O为坐标原点.（3）若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值.（2）证明见解析3）.【解析】（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证.情况即可.所以E的方程为设A(x1,y1),B(x2,y2)，则C(x1,-y1)，△BOC22222222