2025上海市八年级升九年级暑假数学衔接讲义 第29讲 二次函数 单元综合检测（重点）（解析版）

第29讲二次函数单元综合检测（重点）一、单选题1．下列各点在抛物线上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．【解析】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上．B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上．C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上．D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2．下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【解析】解：（1）是二次函数，故符合题意；（2），不是二次函数，故不符合题意；（3）是二次函数，故符合题意；（4）不是二次函数，故不符合题意；（5）不是二次函数，故不符合题意；（6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：B．3．拋物线的对称轴是（

）A．x=2 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象的对称轴．根据抛物线解析式得出，代入数值，即可求出对称轴．【解析】解：根据题意可得抛物线中的，∴，∴抛物线的对称轴是直线，故选A．4．如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（

）A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标判断出平移方式即可．【解析】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为，∴将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线，故选A．5．对于二次函数，下列说法错误的是（

）A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线C．图象与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而增大【答案】C【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解析】解：二次函数，，则该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；对称轴是直线，故选项B不符合题意；∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意；当时，，∴图象与轴的交点坐标为，故选项C符合题意；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值k，在对称轴右边y随x增大而增大，在对称轴左边，y随x增大而减小；当时，二次函数有最大值k，在对称轴右边y随x增大而减小，在对称轴左边，y随x增大而增大．6．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④．【解析】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，∴，，故①③正确；∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，∴，故②正确；观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确，故选：C．二、填空题7．如果抛物线经过两点和，那么的值是．【答案】【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可．【解析】解：把，代入，得：，∴，把，代入，得：；故答案为：．8．已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是．【答案】/【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．利用二次函数的性质：0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．【解析】解：∵抛物线开口向上，∴，∴．∴的取值范围是：．故答案为：．9．二次函数图像的最高点的横坐标是.【答案】【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．【解析】解：，二次函数图像的最高点的横坐标是，故答案为：．10．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可．【解析】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是，故答案为：．11．如果二次函数的图像上有两点那么和那么．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数值的比较方法．【解析】解：二次函数的对称轴为直线，，∴距离对称轴越远的点，函数值越小，∵，∴．故答案为：．12．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是．【答案】【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键．根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可．【解析】解：根据题意，得，故答案为：．13．二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线．…【答案】【分析】本题考查了二次函数的对称轴，根据表格中纵坐标相等的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图像的对称轴．【解析】解：由表格中的数据可得，和关于对称轴对称，∴该函数图像的对称轴是直线，即，故答案为：．14．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为．【答案】【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点，根据即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点．【解析】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上，∴抛物线与轴只有一个交点，∴，∴，∵抛物线的顶点在轴的负半轴上，∴，即，∴，故答案为：．15．沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是．【答案】【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则，然后解不等式即可．【解析】∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．16．二次函数的部分图像如图所示，要使函数值，则自变量的取值范围是.【答案】【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.【解析】根据二次函数的图象可知：对称轴为x=−1，已知一个点为，根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称的另一个点为，所以时，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对称轴求出点的对称点是解题的关键．17．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数与的图象的形状相同，并且对称轴关于轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数与互为梦函数，写出二次函数的其中一个梦函数．【答案】（答案不唯一）【分析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可知，与互为相反数，由此可解．【解析】解：由题意知，若与互为梦函数，则，，因此二次函数的其中一个梦函数是，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，读懂题意，得出变换的规律是解题的关键．18．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则．

【答案】或【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．【解析】由，当时，，∴，∵，四边形是矩形，∴，①当抛物线经过时，将点，代入，∴解得：②当抛物线经过点时，将点,代入，∴解得：综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．三、解答题19．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；(2)不是；(3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；(4)不是【分析】根据二次函数的概念求解即可．【解析】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；（2），不含二次项，故不是二次函数；（3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；（4）中不是整式，故不是二次函数．【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．(1)求抛物线的表达式；(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标．【解析】（1）解：由题意得，，，．，．这个抛物线的表达式为．（2）由（1）得，．该抛物线的对称轴是直线．点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为，的横坐标是4．当时，．．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．21．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．

(1)求点的坐标与的值；(2)求的面积．【答案】(1)；3(2)3【分析】（1）根据所给的二次函数解析式，易求顶点的横坐标为1，再把代入，可求，于是可得顶点的坐标是，再把代入，易求；（2）画图后，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解析】（1）解：，此函数的顶点的横坐标，把代入，可得，二次函数顶点的坐标是，把代入，可得，解得，当时，，解得，点坐标是；（2）解：如图，．

【点睛】本题考查了二次函数的顶点、一次函数图象上点的特征、二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点点的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．(1)求此抛物线的表达式及点的坐标；(2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．【答案】(1)，点的坐标是(2)6【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【解析】（1）解：把和代入，解得∴抛物线的表达式为∴当x=0时，∴点的坐标是（2）设平移后的抛物线表达式为把代入得解得∵，∴【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式；(3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解；（3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可．【解析】（1）解：将代入，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：∵，∴平移后的函数解析式为；（3）解：令，则，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴当时，的长有最大值4．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．【答案】(1)抛物线的解析式为；点A的坐标(2)证明见解析(3)直线的解析式为：【分析】（1）将，代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解得m、n的值，即可得到抛物线解析式，再令，即可求出点A的坐标；（2）根据题意画出图形，通过坐标证明为直角三角形，且，利用及角的关系证明，结合，即可证明两个三角形相似；（3）作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线，先求直线AB’的解析式，与抛物线解析式联立求得F’的坐标，再求直线BB’的解析式，利用及求得的F’的坐标，即可求的解析式．【解析】（1）解：将，代入抛物线解析式，得：，解得∴抛物线的解析式为当时，，∴点A的坐标（2）如图所示，点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q∵，，∴∴即为直角三角形，且∵，∴OA=OC∴当时，点P只能在点B的右侧，∴∴∵∴又∵∴（3）如图所示，作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线∵，点B’和点B关于AC的对称，∴设直线AB’的解析式为：，代入得：解得：∴直线AB’的解析式为：联立解得：（舍去）则设直线BB’的解析式为：，代入，得：，解得∴直线BB’的解析式为：由题意可知∴设直线的解析式为：，代入得：解得：∴直线的解析式为：．【点睛】本题是二次函数综合题．涉及勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，待定系数法求解函数解析式，难度较大，综合性强．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点为平移后的抛