2025年下学期高中复数及其运算试卷

2025年下学期高中复数及其运算试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知复数(z=(2-i)(1+3i))，则(z)的实部为（）A.-1B.5C.7D.8若复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位），则(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\frac{3\sqrt{2}}{2})C.(\frac{5}{2})D.(\sqrt{10})在复平面内，复数(z=-3+2i)对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知复数(z)满足(z(1+i)=2-i)，则(z)的共轭复数(\overline{z}=)（）A.(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)B.(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)C.(-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)D.(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)若复数(z=(m^2-3m+2)+(m-1)i)为纯虚数，则实数(m=)（）A.1B.2C.1或2D.-1已知(i)为虚数单位，若((a+bi)(1+i)=1-2i)（(a,b\in\mathbb{R})），则(a+b=)（）A.-2B.-1C.0D.1复数(z=\frac{1-i}{1+i})的虚部为（）A.-1B.1C.-iD.i在复平面内，复数(z_1=1+i)与(z_2=2-3i)对应的向量分别为(\overrightarrow{OZ_1})和(\overrightarrow{OZ_2})，则向量(\overrightarrow{Z_1Z_2})对应的复数为（）A.1-4iB.3-2iC.-1+4iD.-3+2i若(z=\cos\theta+i\sin\theta)（(\theta\in\mathbb{R})），则(|z-1|)的最大值为（）A.1B.2C.(\sqrt{2})D.(2\sqrt{2})已知复数(z)满足(|z|=2)，则(|z-3-4i|)的最小值为（）A.3B.4C.5D.6下列命题中正确的是（）A.若(z)为复数，则(z^2\geq0)B.若(z_1,z_2)为复数，且(z_1-z_2>0)，则(z_1>z_2)C.若(z)为纯虚数，则(z\neq\overline{z})D.若(|z|=1)，则(z\cdot\overline{z}=2)已知(i)为虚数单位，复数(z)满足(z^2=-3+4i)，则(|z|=)（）A.(\sqrt{5})B.5C.(2\sqrt{5})D.25二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）复数(z=(1+2i)(3-i))的模为________。若复数(z=\frac{2i}{1+i})，则(z+\overline{z}=)________。在复平面内，复数(z)对应的点在直线(y=2x)上，且(|z|=\sqrt{5})，则(z=)________。已知(i)为虚数单位，设(\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)，则(\omega^3=)，(1+\omega+\omega^2=)。（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）计算：（1）((2-3i)+(-4+i))；（2）((1+i)(2-i)-(3+i))；（3）(\frac{2+i}{3-4i})。（12分）已知复数(z=\frac{5}{2-i}+3i)。（1）求(z)的代数形式；（2）若(z)在复平面内对应的点为(Z)，点(A)的坐标为((1,2))，求向量(\overrightarrow{AZ})的模。（12分）已知复数(z_1=m+(2-m)i)，(z_2=1+(m-1)i)（(m\in\mathbb{R})）。（1）若(z_1)为实数，求(m)的值；（2）若(z_1+z_2)为纯虚数，求(|z_1|)。（12分）已知复数(z)满足(|z|=\sqrt{10})，且(z-2)为纯虚数。（1）求复数(z)；（2）若(\omega=\frac{z}{1+i})，求(\omega)的实部与虚部之和。（12分）在复平面内，已知点(A,B,C)对应的复数分别为(1+i,2-i,3+2i)。（1）求向量(\overrightarrow{AB})和(\overrightarrow{AC})对应的复数；（2）判断(\triangleABC)的形状，并证明你的结论。（12分）已知复数(z=x+yi)（(x,y\in\mathbb{R})），且满足(|z-1-i|=|z+1+i|)。（1）求点((x,y))的轨迹方程；（2）若(z)满足(|z|=2\sqrt{2})，求复数(z)。参考答案与解析一、选择题B解析：(z=(2-i)(1+3i)=2(1)+2(3i)-i(1)-i(3i)=2+6i-i-3i^2=2+5i+3=5+5i)，实部为5。C解析：(z=\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2})，则(|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2})。B解析：复数(z=-3+2i)对应的点为((-3,2))，位于第二象限。B解析：由(z(1+i)=2-i)，得(z=\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{2}=\frac{1-3i}{2})，则(\overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)。B解析：由纯虚数定义知(\begin{cases}m^2-3m+2=0\m-1\neq0\end{cases})，解得(m=2)。A解析：((a+bi)(1+i)=(a-b)+(a+b)i=1-2i)，则(\begin{cases}a-b=1\a+b=-2\end{cases})，解得(a=-\frac{1}{2})，(b=-\frac{3}{2})，故(a+b=-2)。A解析：(z=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{2}=\frac{-2i}{2}=-i)，虚部为-1。A解析：(\overrightarrow{Z_1Z_2}=\overrightarrow{OZ_2}-\overrightarrow{OZ_1}=(2-3i)-(1+i)=1-4i)。B解析：(|z-1|=|(\cos\theta-1)+i\sin\theta|=\sqrt{(\cos\theta-1)^2+\sin^2\theta}=\sqrt{2-2\cos\theta})，最大值为(\sqrt{2-2(-1)}=2)。A解析：设(z=x+yi)（(x,y\in\mathbb{R})），则(x^2+y^2=4)，(|z-3-4i|=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2})，最小值为(\sqrt{3^2+4^2}-2=5-2=3)。C解析：A项，若(z=i)，则(z^2=-1<0)，错误；B项，复数不能比较大小，错误；C项，纯虚数(z=bi)（(b\neq0)），(\overline{z}=-bi\neqz)，正确；D项，(z\cdot\overline{z}=|z|^2=1)，错误。A解析：设(z=a+bi)，则(z^2=(a^2-b^2)+2abi=-3+4i)，解得(\begin{cases}a^2-b^2=-3\2ab=4\end{cases})，则(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(a^2-b^2)^2+(2ab)^2}/2=\sqrt{9+16}/2=\sqrt{5})。二、填空题(5\sqrt{2})解析：(z=(1+2i)(3-i)=5+5i)，(|z|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2})。2解析：(z=\frac{2i}{1+i}=1+i)，(\overline{z}=1-i)，则(z+\overline{z}=2)。(1+2i)或(-1-2i)解析：设(z=a+2ai)，则(|z|=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}|a|=\sqrt{5})，解得(a=\pm1)。1；0解析：(\omega)为1的立方虚根，满足(\omega^3=1)，(1+\omega+\omega^2=0)。三、解答题（1）原式(=(2-4)+(-3i+i)=-2-2i)；（2）原式(=(2-i+2i-i^2)-3-i=(3+i)-3-i=0)；（3）原式(=\frac{(2+i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{6+8i+3i+4i^2}{25}=\frac{2+11i}{25})。（1）(z=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}+3i=2+i+3i=2+4i)；（2）点(Z(2,4))，向量(\overrightarrow{AZ}=(1,2))，模为(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5})。（1）(z_1)为实数，则(2-m=0)，(m=2)；（2）(z_1+z_2=(m+1)+(1)i)为纯虚数，则(m+1=0)，(m=-1)，(z_1=-1+3i)，(|z_1|=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10})。（1）设(z=2+bi)（(b\in\mathbb{R})，(b\neq0)），则(|z|=\sqrt{4+b^2}=\sqrt{10})，解得(b=\pm\sqrt{6})，故(z=2+\sqrt{6}i)或(2-\sqrt{6}i)；（2）若(z=2+\sqrt{6}i)，则(\omega=\frac{2+\sqrt{6}i}{1+i}=\frac{(2+\sqrt{6}i)(1-i)}{2}=\frac{(2+\sqrt{6})+(\sqrt{6}-2)i}{2})，实部与虚部之和为(\frac{2+\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}-2}{2}=\sqrt{6})。（1）(\overrigh