幂的乘方与积的乘方人教版数学八年级上册

16.1.2幂的乘方与积的乘方第十六章

整式的乘法1.理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则，通过对比，区分同底数幂的乘法和幂的乘方的区别与联系；2.能够运用幂的乘方与积的乘方的运算法则进行相关运算.问题1.如果一个正方体的棱长是10，则它的体积是多少?102×102×102=?10×10

×10=1000=103问题2.如果一个正方体的棱长是102

，则它的体积怎么计算?(102)3如何计算？（2）(a2)3=(

)=a（

）（1）(32)3=32×32×32=3（）【探究】根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（3）(am)3=()=a（

）（m是正整数）63m【发现】1.结果的底数与原来的底数相同；2.结果的指数等于原来两个指数的积.【猜想】(am)n=amn

(32)3表示3个32相乘(a2)3表示3个a2相乘(am)3表示3个am相乘6a2·a2·a2am·am

·am(am)n幂的乘方法则(am)n=amn

(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数______，指数＿__＿.不变相乘=am·am·am…amn个am=am+m+…+mn个m证明猜想幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.注意=amn运算种类公式法则中运算计算结果底数指数同底数幂乘法幂的乘方乘法乘方不变不变指数相加指数相乘

am·an

=am+n

对比理解例2(1)

(

103

)5

；

(2)

(

a4)4；

(3)

(

am

)2

；

(4)-(

x4)3.解：(1)(103)5

=103×5

=1015.(2)(a4)4

=a4×4

=a16.(3)(am)2

=am·2

=a2m.(4)-(

x4)3

=-x4×3

=-x12.运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”.方法点拨(–a5)2表示2个–a5相乘，结果没有负号.【思考】(–a2)5和(–a5)2的结果相同吗?为什么?不相同.(–a2)5表示5个–a2相乘，其结果带有负号.n为偶数n为奇数【拓展】

[(am)n]p如何运算(m，n，p都是正整数)[(am)n]p=

am·n·p(m，n，p都是正整数)当幂进行三次或三次以上乘方运算时，依旧满足底数不变，指数相乘.[(y5)2]2=______=________[(x5)m]n=______=________练一练：(y10)2y20(x5m)nx5mn【注意】幂的乘方法则还可以逆用：

amn

=(am)

=

(an)

(m，n

都是正整数).nm计算：①(103)7；

②(b3)4；

③(xn)3；

④–(x7)7=103×7=1021=b3×4=b12=x3n=–x7×7=–x49⑤[(–x)3]3=(–x)3×3=–x9⑥[(–x)5]4=(–x)5×4=(–x)20=x20【探究】填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？(ab)·(ab)(1)(ab)2

(a·a)·(b·b)

a(

)b(

)22(ab)·(ab)·(ab)(2)(ab)3

a(

)b(

)33

(a·a·a)·(b·b·b)（乘方的意义）（交换律、结合律）（同底数幂相乘的法则）【发现】结果把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【猜想】(ab)n=anbn

证明猜想=(ab)·(ab)·····(ab)n个ab=(a·a·····a)·(b·b·····b)n个a

n个b=anbn.(ab)n

(ab)n

=anbn.(n是正整数)积的乘方法则即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘底数中的a、b不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他式子.注意例3计算：(1)(2a)3；

(2)(-5b)3；

(3)(xy2)2；

(4)(-2x3y

)4.解：(1)(2a)3

(2)(

5b)3(3)(xy2)2(4)(

2x3y)4

23·a3

(

5)3·b3

x2·(y2)2

(

2)4·(x3)4·y4

8a3;

125b3

;

x2y4

;

16x12y4.运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．方法点拨【思考】对三个或三个以上因式进行积的乘方，积的乘方的性质是否仍然成立？成立，(abc)n=[(ab)·c]n=anbncn

(n为正整数).练一练：(1)(–5ab)3；(2)–(3x2y)2；解：(1)(–5ab)3＝(–5)3a3b3＝–125a3b3；(2)–(3x2y)2＝–32x4y2＝–9x4y2；【注意】积的乘方法则也可以逆用：

anbn

(ab)n（n是正整数）.幂的乘方，底数不变，指数相乘(am)n=amn

(m，n都是正整数）积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，在把所得的幂相乘.(ab)n=anbn

(n为正整数).幂的乘方与积的乘方幂的乘方积的乘方1．(a2)3=

；(b4)2=

.2.下列各式的括号内，应填入b4的是()A．b12＝(

)8 B．b12＝(

)6C．b12＝(

)3 D．b12＝(

)2Ca6b83.计算(–x2y)2的结果是(

)A．x4y2B．–x4y2C．x2y2D．–x2y2

A4.下列运算正确的是(

)A.x•x2=x2B.(xy)2=xy2

C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4C

8–316．计算：(1)(102)8