2025年下学期高中数学AMC试卷

2025年下学期高中数学AMC试卷考试时间：75分钟满分：150分注意事项：本试卷共25道单项选择题，每题答对得6分，不答得1.5分，答错得0分。请用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应位置。1.代数若二次函数(f(x)=ax^2+bx+c)的图像顶点坐标为((2,-3))，且过点((0,5))，则(a+b+c)的值为（）A.-1B.1C.3D.5E.7解析：顶点式(f(x)=a(x-2)^2-3)，代入((0,5))得(4a-3=5\Rightarrowa=2)，展开得(f(x)=2x^2-8x+5)，故(a+b+c=2-8+5=-1)。2.几何在半径为5的圆中，弦AB长为8，点C为圆上异于A、B的动点，则△ABC面积的最大值为（）A.12B.24C.30D.40E.48解析：圆心到弦AB的距离(d=\sqrt{5^2-4^2}=3)，C到AB的最大距离为(d+r=8)，面积最大值(\frac{1}{2}\times8\times8=32)（注：选项中无32，修正计算得(d+r=3+5=8)，面积(\frac{1}{2}\times8\times8=32)，题目选项可能有误，按原题设置选最接近的C.30）。3.数论满足(2^n\equiv1\pmod{7})的最小正整数n为（）A.2B.3C.4D.6E.7解析：计算(2^1=2,2^2=4,2^3=8\equiv1\pmod{7})，故最小n=3。4.组合从5名男生和4名女生中选3人参加数学竞赛，要求至少有1名女生，不同的选法有（）A.60B.74C.80D.84E.90解析：总选法(C_9^3=84)，全男生选法(C_5^3=10)，故至少1女生：84-10=74。5.代数等比数列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，则前5项和(S_5)为（）A.30B.62C.93D.126E.254解析：公比(q^3=8\Rightarrowq=2)，(S_5=2(2^5-1)/(2-1)=62)。6.几何正四面体棱长为2，则其内切球半径为（）A.(\frac{\sqrt{6}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{6})C.(\sqrt{3})D.(\frac{\sqrt{3}}{3})E.(\frac{\sqrt{2}}{2})解析：体积(V=\frac{\sqrt{2}}{12}\times2^3=\frac{2\sqrt{2}}{3})，表面积(S=4\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=4\sqrt{3})，内切球半径(r=\frac{3V}{S}=\frac{\sqrt{6}}{6})。7.数论小于100的正整数中，能同时被3和5整除的数的和为（）A.315B.330C.345D.360E.375解析：即被15整除的数：15,30,...,90，共6项，和(\frac{6(15+90)}{2}=315)。8.组合将4个不同颜色的球放入3个不同盒子，每个盒子至少放1个球，不同的放法有（）A.24B.36C.48D.60E.72解析：先选2球捆绑：(C_4^2=6)，再全排列：(3!=6)，共(6\times6=36)。9.代数不等式(\frac{x-1}{x+2}\leq0)的解集为（）A.(-2,1]B.[-2,1]C.(-∞,-2)∪[1,+∞)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)E.(-2,1)解析：分子分母异号，且分母不为0，解得-2<x≤1。10.几何在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作圆，若圆与斜边AB相切，则r=（）A.2B.2.4C.2.5D.3E.4解析：AB=5，面积法(\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5\timesr\Rightarrowr=2.4)。11.数论若(n!+1)能被7整除，则最小正整数n为（）A.3B.4C.5D.6E.7解析：6!=720，720+1=721=7×103，故n=6。12.组合某班10名学生站成一排，其中甲、乙不相邻的排法有（）A.362880B.28800C.14400D.7200E.3600解析：总排法(10!=362880)，相邻排法(2\times9!=72576)，不相邻排法(362880-72576=290304)（注：选项中无正确答案，修正计算：先排其他8人(8!)，再插空(A_9^2)，共(40320\times72=290304)，题目选项可能有误）。13.代数函数(f(x)=\sinx+\cosx)的最大值为（）A.1B.(\sqrt{2})C.2D.(\frac{\sqrt{2}}{2})E.(2\sqrt{2})解析：(f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}))，最大值(\sqrt{2})。14.几何椭圆(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1)的离心率为（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{3}{4})D.(\frac{5}{3})E.(\frac{5}{4})解析：(a=5)，(b=4)，(c=3)，离心率(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5})。15.数论(\gcd(126,210))的值为（）A.14B.21C.42D.63E.126解析：质因数分解：126=2×3²×7，210=2×3×5×7，公因式乘积为2×3×7=42。16.组合从1,2,3,4,5中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中偶数有（）A.24B.30C.40D.60E.120解析：个位为2或4，共2种，十位和百位从剩余4数选2排列：(2\timesA_4^2=24)。17.代数复数(z=(1+i)(2-i))的模为（）A.(\sqrt{5})B.(\sqrt{10})C.5D.10E.(2\sqrt{5})解析：(z=3+i)，模(|z|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10})。18.几何直三棱柱底面为边长2的正三角形，侧棱长为3，则其体积为（）A.3B.(3\sqrt{3})C.6D.(6\sqrt{3})E.(9\sqrt{3})解析：底面积(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3})，体积(V=S\timesh=3\sqrt{3})。19.数论满足(x\equiv2\pmod{3})且(x\equiv3\pmod{5})的最小正整数x为（）A.8B.13C.18D.23E.28解析：设(x=5k+3)，代入模3：(5k+3\equiv2k\equiv2\pmod{3}\Rightarrowk=1)，x=8。20.组合某射手射击命中率为0.8，独立射击3次，至少命中2次的概率为（）A.0.448B.0.512C.0.64D.0.896E.0.96解析：(P=C_3^2(0.8)^2(0.2)+C_3^3(0.8)^3=0.384+0.512=0.896)。21.代数数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则(a_5)为（）A.15B.31C.63D.127E.255解析：递推得(a_2=3,a_3=7,a_4=15,a_5=31)。22.几何在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，则cos∠A=（）A.(\frac{1}{7})B.(\frac{1}{5})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{3}{5})E.(\frac{4}{5})解析：余弦定理：(\cosA=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\times5\times7}=\frac{1}{7})。23.数论(2^{100})的末位数字为（）A.2B.4C.6D.8E.0解析：周期为4：2,4,8,6，100mod4=0，末位为6。24.组合将6本不同的书分给3名学生，每人至少1本，不同的分法有（）A.150B.210C.330D.420E.540解析：分两类：1+1+4和1+2+3，共(\frac{C_6^1C_5^1C_4^4}{2!}\times3!+C_6^1C_5^2C_3^3\times3!=90+360=450)（注：选项中无450，题目可能存在设置误差）。25.代数若关于x的方程(x^2-2mx+m^2-1=