习题课5　平抛运动规律的综合应用

习题课5平抛运动规律的综合应用核心

素养目

标科学

思维1.理解平抛运动的两个重要推论，会利用两个推论处理

平抛运动问题。2.掌握平抛运动与斜面相结合的两种模型及处理方法。3.会分析平抛运动的临界极值问题。4.会根据平抛运动的处理方法分析类平抛运动问题。目录01.核心要点·快突破02.教学效果·勤检测03.课时训练·提素能核心要点·快突破互动探究深化认知

01

要点一平抛运动的两个重要推论【探究】（1）如图所示，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和

位移方向相同吗？两者与水平方向夹角的正切值有什么关系？

（2）结合以上结论并观察速度的反向延长线与x轴的交点，你有什么

发现？

【归纳】平抛运动的两个重要推论（1）做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移

方向与水平方向的夹角α的关系为tan

θ＝2tan

α。（2）做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此

时水平位移的中点。【典例1】

（多选）如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时

间t到达一竖直墙面时，小球速度与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻

力，重力加速度为g。下列说法正确的是（

）A.

小球水平抛出时的初速度大小为gttan

θC.

若小球初速度增大，则平抛运动的时间变短D.

若小球初速度增大，则θ减小

1.

物体做平抛运动的轨迹如图所示，物体从O点抛出，x、y分别表示

其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P（x0，

y0），其速度vP的反向延长线交x轴于A点（A点未画出），则OA的

长度为（

）A.

x0B.0.5x0C.0.3x0D.

不能确定

水平方向有x0＝v0t

②

方法二

由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度矢量的反向延

长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。2.

如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落

在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足

（

）A.tan

φ＝sin

θB.tan

φ＝cos

θC.tan

φ＝tan

θD.tan

φ＝2tan

θ解析：

方法一

由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向

的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角

φ与θ有关系tan

φ＝2tan

θ，选项D正确。

要点二与斜面有关的平抛运动【探究】如图所示，将物体沿斜面水平抛出并落在斜面上的A点，其

中B点是轨迹中离斜面最远的点。（1）若B点的速度方向与水平方向的夹角为θ，则由抛出点O到B点的

时间为多大？

（2）由O到B的竖直高度是多少？

【归纳】平抛运动中与斜面有关的两种情况的特点及分析方法对比运动情形分析方法运动规律飞行时间从空中抛出垂直

落到斜面上

分解速度，构建

速度三角形运动情形分析方法运动规律飞行时间从斜面抛出又落

到斜面上

分解位移，构建

位移三角形【典例2】

（多选）如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜

面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点；将小球B从空中

某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点。不计空气

阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A.

若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐

角为φ，则tan

θ＝2tan

φB.

若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan

φ＝

2tan

θC.

小球A、B在空中运动的时间比为2tan2θ∶1D.

小球A、B在空中运动的时间比为tan2θ∶1

方法技巧巧解斜面上的平抛运动（1）抛出点和落点都在斜面上时，首先考虑位移的分解。（2）垂直于斜面或与斜面成某一角度落到斜面上时，首先考虑速度

的分解。

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

2.

（多选）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球

以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为

t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（

）

要点三平抛运动的临界极值问题1.

分析平抛运动中临界极值问题的思路（1）确定运动性质；（2）分析临界条件；（3）确定临界状态，并画出轨迹示意图；（4）灵活运用数学知识分析求解有关临界与极值问题。2.

处理平抛运动中临界极值问题的关键（1）从题意中提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等

关键词，确定临界状态及临界轨迹，并由此列出符合临界条

件的物理方程。（2）恰当运用数学知识分析求解临界与极值问题。【典例3】宽为L的竖直障碍物上开有间距d＝0.6

m的矩形孔，其下

沿离地高h＝1.2

m，离地高H＝2

m的小球与障碍物相距x，以v0＝4

m/s的水平速度向右抛出，不计空气阻力，取g＝10

m/s2，为使小球能

穿过该孔，求：（1）L最大值；答案：

0.8

m

（2）L＝0.6

m时，x取值范围。答案：

0.8

m≤x≤1

m解析：当L＝0.6

m时，小球在水平方向的运动满足v0t1≤x，v0t2≥x＋L整理可得0.8

m≤x≤1

m。

1.

一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4

m，g取10

m/s2。一小球以水平速度v飞出，欲打在第4台阶上，则v的取值范

围是（

）

2.

一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h，不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（

）

要点四类平抛运动1.

类平抛运动的受力特点物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。2.

类平抛运动的运动特点

3.

类平抛运动的研究方法（1）常规分解法（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的平面

直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为v0x、

v0y，然后分别在x、y方向列方程求解。【典例4】如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A

点以速度v0水平抛出（v0∥CD），小球运动到B点，已知A点的高度为

h。求小球到达B点时的速度大小及所用时间。

如图所示，光滑斜面长L＝10

m，倾角为30°，一小球从斜面的顶

端以v0＝10

m/s的初速度水平射入，求：（g取10

m/s2）（1）小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；答案：

20

m

（2）小球到达斜面底端时的速度大小。

教学效果·勤检测强化技能查缺补漏

02

1.

（多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经

过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度

vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处，若不计

空气阻力，下列关系式正确的是（

）B.

va＝vbC.

ta＝tb

2.

羽毛球运动员曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，表演时的场

地示意图如图所示。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等

高。若运动员每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则

（

）A.

击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙B.

击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙C.

假设某次发球能够击中丙鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓D.

击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大解析：

甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运

动时间相同，由于水平位移x甲＞x乙，所以v甲＞v乙，A错误，B正

确；同理可知v丁＞v丙，C、D错误。3.

2022年冬奥会在北京举行，滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所

示，某运动员（可视为质点）从雪坡上先后以初速度之比v1∶v2＝

3∶4沿水平方向飞出，均落在雪坡上，不计空气阻力，则运动员从

飞出到落到雪坡上的整个过程中（

）A.

运动员先后落在雪坡上的速度方向不相同B.

运动员先后在空中飞行的时间之比为9∶16C.

运动员先后落到雪坡上的速度之比为3∶4D.

运动员先后下落的高度之比为3∶4

4.

如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰

撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向

的夹角θ＝60°，A、B两点的高度差h＝1

m，忽略空气阻力，重力加速度g取10

m/s2，则

球刚要落到球拍上时速度的大小为（

）

5.

如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方

向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B

点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，

则A、B之间的水平距离为（

）

02课时训练·提素能分层达标素养提升

123456789101112131.

如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两

个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上。不计空气阻力，

则B小球比A小球（

）A.

先抛出，初速度大B.

后抛出，初速度大C.

先抛出，初速度小D.

后抛出，初速度小

123456789101112132.

滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0

m/s的速度水平飞

出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空

气阻力忽略不计，g取10

m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间

为（

）A.0.5

sB.1.0

sC.1.5

sD.5.0

s12345678910111213

123456789101112133.

如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速

度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达

斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达

斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（

）A.

当v1＞v2时，α1＞α2B.

当v1＞v2时，α1＜α2C.

无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关12345678910111213

123456789101112134.

如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点

把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平

抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的

运动时间之比为（sin

53°＝0.8，cos

53°＝0.6）（

）A.1∶1B.1∶3C.16∶9D.9∶1612345678910111213

123456789101112135.

（多选）（2024·山东济南期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜

面顶端О点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后

以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知O、B间距

离是O、A间距离的3倍，不计空气阻力。下列说法正确的是

（

）12345678910111213

123456789101112136.

如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5

m。某同学先将一个小球

从A平台边缘以v0＝5

m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台

左侧下方6.25

m处。重力加速度g取10

m/s2，忽略空气阻力，要使

小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛

出小球的速度至少为（

）A.6

m/sB.7.5

m/sC.9

m/sD.11.25

m/s12345678910111213

123456789101112137.

如图所示，一根长木杆A、B两端分别固定在竖直墙壁AO和水平地

面上，已知杆的B端与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的

距离为10

m。从竖直墙壁上距地面8

m的C点以水平速度v0射出一颗

小石子，要使小石子能在落地前碰到AB杆（重力加速度g取10

m/s2，sin

53°＝0.8，cos

53°＝0.6），则小石子出射的水平速度

至少为（

）12345678910111213

12345678910111213

8.

（多选）如图所示，一个半径R＝0.75

m的半圆柱体放在水平地面

上，一小球从半圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视

为质点），恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体中心，

O、B、C在同一竖直平面内，OC与水平方向夹角为53°，重力加

速度为g＝10

m/s2，则（

）A.

小球从B点运动到C点所用时间为0.3

sB.

小球从B点运动到C点所用时间为0.5

sC.

小球做平抛运动的初速度为4

m/sD.

小球做平抛运动的初速度为6

m/s12345678910111213

12345678910111213

A.20B.18C.9.0D.3.012345678910111213

1234567891011121310.

如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为2

m，

倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初

速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一

点，重力加速度g取10

m/s2，则落地点到C点的水平距离为

（

）12345678910111213

1234567891011121311.

如图所示，A、B球以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运

动，落地点为P1；B在光滑的斜面上运动，落地点为P2，P1、P2处

于同一水平面上，不计空气阻力，则下列说法中正确的是

（

）A.

A、B同时落地B.

A落地的速度与B落地时的速度相同C.

从抛出到落地，A沿x轴方向的位移小于B沿x轴

方向的位移D.

A、B落地时的动能相同12345678910111213

1234567891011121312.

如图所示，水平