第2课时配方法（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级（上）25.2降次—解一元二次方程25.2.1第2课时

配方法第二十五章一元二次方程掌握将一元二次方程通过配方转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式，实现“降次”求解.能求解二次项系数为1或不为1的一元二次方程，并判断方程是否有实数根.学习目标(1)9x2

=1；(2)(x－2)2

=2.1.用直接开平方法解下列方程：2.你还记得完全平方公式吗？填一填：(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2

-

2ab

+

b2

=

(

)2.a+ba−

b

知识回顾解方程(x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？探究新知探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？对方程x2＋6x＋4＝0移项，得x2＋6x＝−4

.

左边写成完全平方形式，得(x+3)2＝5.

(1)x2+4x+

=(x+

)2；(2)x2−

6x

+

=(x−

)2；(3)x2

+

8x

+

=(x+

)2；(4)x2−

x

+=(x−

)2.222323424填一填

填上适当的数或式，使下列各等式成立.

(5)x2

+px

+

()2

=

(x+)2.

知识要点像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.基本思路：把方程化为

(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意：在二次项系数为1的前提下进行的.例1

解下列方程：解：移项，得x2－8x=－1.配方，得x2－8x+42=－1+42，直接开平方得(x－4)2=15.即10×6x2=15002x2

-3x=-110×6x2=15003x2

-6x=-4实数的平方≥0原方程无实数根请尝试按照(1)写出(2)(3)完整解题步骤.1.解方程：(1)x2-

2x-

5

=

0；(2)(徐州)x2

-

2x-

1

=

0.解：(1)x2

-2x-5=0，移项，得

x2

-2x=5.配方，得(x-1)2=6.(2)x2-2x-1=0，

移项，得

x2

-2x=1.

配方，得

(x-1)2=2.归纳总结用配方法解一元二次方程将常数项移到方程的右边二次项系数化为1利用平方根的意义直接开平方解两个一元一次方程方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方一移二化三配四开五解一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式.归纳总结

（2）当p=0

时，方程有两个相等的实数根x1=x2=–n

；（3）当p<0

时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根.跟踪训练用配方法解下列方程：

跟踪训练用配方法解下列方程：

例2

试用配方法说明：不论

k取何实数，多项式

k2

−4k＋5的值必定大于零.知识点2：配方法的应用k2

−4k＋4＋1(k−2)2＋1(k−2)2≥0值必定大于零典例精析10×6x2=1500例3

若

a，b，c为△ABC的三边长，且

试判断△ABC的形状.直角三角形例4

用配方法求最值.(1)2x2−4x+5的最值；(2)−3x2+6x−7的最值.解：(1)原式=2(x−1)2+3∵2(x−1)≥0，∴2(x−1)2+3≥3.当

x=1时，有最小值3.(2)原式=−3(x−1)2－4∵−3(x−1)≤0，∴2(x−1)2+3≤－4.

当

x=1时，有最大值−4.总结ax2+bx+c(a，b，c均为常数且

a≠

0)型代数式：a(x+m)2+n求最值或证明恒为正(负)配方定义配方法通过配完全平方式解一元二次方程的方法步骤二配完全平方式[配上____________]实际应用求代数式或字母的值一移常数项，并将二次项系数化为__三写成(x+n)2=p四直接开平方法解方程11.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2

-

6x

-

3=0；

（4）3x2

+6x

-

9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.∴此方程无解.解：x2-

4x

-

12

=

0，(x-

2)2=16.∴x1=6，x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.∴x1=-3，x2=1.2.利用配方法证明：不论

x取何值，代数式

−x2−x−1的值总是负数，并求出它的最大值.∴

−x2−x−1的值总是负数.当

时，−x2−x−1有最大值解：−x2−x−1=−(x2+x+

)+−13.已知

a，b，c为

△ABC的三边长，且满足等式

，试判断