第十一讲 蚂蚁行程 课件 2026年中考数学一轮复习

第十一讲

蚂蚁行程初中几何综合复习模型立体图形展开的最短路径模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最短路径就是展开图中AB’的长，AB'=√AA+A'B²。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。蚂蚁行程1、有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长?132、如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是

。

3.已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。(结果保留根号)①②③4、有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。5、如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为

。6、桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫在杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。C7、已知0为圆锥顶点，0A、OB为圆锥的母线，C为OB的中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（

）。答：圆锥侧面展开图为C。8、如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为

。9、如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。10、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少?1、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，在边AB上取一点D(点D不与点A，B重合)，在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE.把△ADE绕点A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，如图2.(1)请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由:(2)请你在图3中，画出当α=45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积;(3)若AD=l，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是

。（1）CE=BD证明：∵等腰直角三角形ABC∴AC=AB同理：AE=AD∵∠BAD=CAE∴△ACE≌△ABD∴CE=BD（3）解：当点M不在AC上时，取AC中点G，连接

GM，∵M

是CD'的中点，∴GM=½AD'=½AD当点M在AC上时，由M是CD'的中点可得GM=½∴在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心,½长为半径的圆上，∴.当点M与点E重合时AM取最小值，此时AM=AE=1.2、如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点(不与点B、C重合)，连接

DE、点C关于直线DE的对称点为C'，连接AC’并延长交直线DE于点P，F是AC’的中点，连接

DF。(1)求∠FDP的度数:(2)连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明;(3)连接AC，若正方形的边长为√2，请直接写出△ACC’的面积最大值。（1）解：∵点C、C'关于DE的对称∴∠2=∠4

DC=DC'∴AD=DC'∵AF=FC'

DF=DF∴△ADF≌△C'DF∴∠1=∠3∵ADC=90°∴2∠1+2∠2=90°∴∠1+∠2=45°∴∠FDP=45°（2）证明：过A做AM⊥AP交PD延长线于M∵AD=C'DAF=C'F∴DF⊥AP∵∠FDP=45°∴∠APD=45°∴△APM是RT△∴MP=√2APAP=AM∵∠BAD=∠PAM=90°∴∠BAP=∠DAMAB=AD∴△ABP≌△DAM∴BP=DMMP=DM+DP=BP+DP∴BP+DP=√2AP3、∠MON=45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上(点B与点O在点A的两侧)，且AB=1，以点

P为旋转中心,将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD(点C与点A对应，点D与点B对应).(1)如图，若OA=1，OP=√2，依题意补全图形;(2)若OP=√2，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围;(3)一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆.若OA=1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度.线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA=EC,如图1，当点D与点F重合时，OA取得最小值，为1，（2）解：如图2，做PE⊥OM交ON于点E,做EF⊥ON交OM于点F。由题意可知,当线段AB在射线ON上从左向右平移时,如图3.当点C与F重合时，OA取得最大值,为2。综上所述：OA的取值范围是1≤OA≤2。（3）解：作PE⊥OM交ON于点E,作

EQ⊥ON交OM于点Q。由题意可知,当点P在射线OM上运动时，线段CD在射线EQ上从下向上平移，且OA=EC,当M上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆的直径最小时，Q为CD的中心，此时：4、阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1，在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值.小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合，他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC，连接A'A，当点A落在A'C上时，此题可解(如图2).(1)请你回答:AP的最大值是_______.(2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题:如图3，等腰Rt△ABC.边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路.提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A’BP’.①请画出旋转后的图形②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路(结果可以不化简).(1)解：以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC，连接A'A，当点A落在A'C上时，AP的值最大。∵AB=AB'∠ABA'=60°∴△AA'B是等边△∴AA'=AB=2∵等边△BPC∴△ABP旋转后A落在A'C上时，A'、A、C三点重合。AP=A'C∵A