直线的倾斜角与斜率直线的方程-(选择性)(教师版)

直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识点1直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0(2)范围α∈[0∘,180∘).2直线的斜率(1)定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tanα(α≠90当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘当直线l与x轴垂直时，α=90∘(2)倾斜角α与斜率k之间的关系k=tanα，α∈[0如左图，当α∈[0∘,右图中斜率为k1,k2的直线对应的倾斜角为α1如左图，当α∈(90∘,右图中斜率为k3,k其中π2<α(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大)(3)斜率公式经过两点P1(使用斜率公式的时候要注意x1≠(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k==y(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tanα(α≠90∘(5)利用斜率证明三点共线的方法已知A(x若x1=x2=x3知识点2直线的方程1直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式y-(x1k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk为斜率b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式y-经过两点(x且(不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式xa是直线在x轴上的非零截距b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或原点的直线一般式Ax+By+C=0(A,B,C为系数无限制，可表示任何位置的直线2易错点(1)利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2)截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3)用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56π，则m的值为.【解析】因直线AB的倾斜角为56π，则其斜率k=tan5又由A(3,m+1)，B(4,2m+1)，则AB的斜率k=(2m+1)-(m+1)则有m=-3【点拨】求斜率有两种方法:k=tanα与斜率公式k=y【典题2】直线x+ycosθ-5=0的倾斜角α的取值范围是.【解析】(直线一般式ax+by+c=0(b≠0)化为斜截式可知斜率k=-ab若cosθ=0，则直线方程为x=5，即倾斜角α=π若cosθ≠0，则直线方程为y=-1cosθx+∵cosθ∈-1,0∪0,1，∴-即tanα≤-1或tanα≥1，解得α∈[π4,π2)∪(综上可得α∈[π【典题3】设点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为.【解析】如图所示，设直线l与线段AB交于点C，当PC⊥x轴时直线l与线段AB交于点D，当点C在BD上运动时，斜率k满足k≥k当点C在DA上运动时，k≤k即k≥1+21+3=34或k≤即直线的斜率的取值范围是[3【点拨】①注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考；②注意到直线l与x轴垂直的临界处.巩固练习1(★)下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角α的取值范围是0°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或【答案】BCD【解析】平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故A错误．由于直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tanα与x轴垂直的直线的倾斜角是90°，与y轴垂直的直线的倾斜角是0°，故故选：BCD．2(★)若直线经过两点A(m,2)，B(-m,2m-1)且倾斜角为45°，则m的值为.【答案】34 【解析】经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的斜率为又直线的倾斜角为45°，∴2m-1-2-m-m=tan45°=1，即m=3(★★)已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BC的斜率可能为【答案】-3【解析】设AB的倾斜角α，BC的倾斜角β，则β=α+π3或β=2π当β=α+π3时，当β=2π3+α4(★★)已知θ∈R，则直线xsinθ-3y+1=0的倾斜角的取值范围是【答案】[0,π【解析】如图所示，由A(3,2)，可得斜率kPA=1-2因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角的取值范围是[0,π65(★★)直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(-2≤t≤【答案】[0,【解析】∵直线l经过点A(2，∴k∵-2≤t≤则t2设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，则tanθ∈[－得θ∈[0，6(★★★)已知两点A(-3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是.【答案】[－【解析】∵点A(－3,4),B(3,2)，过点P(1,0)的直线L与线段∴直线l的斜率k≥kPB或∵PA的斜率为4-0-3-1=－1，∴直线l的斜率k≥1或k≤－故选：D7(★★★)P(x,y)在线段AB上运动，已知A(2,4),B(5,-2)，则y+1x+1的取值范围是【答案】[-16，【解析】如图：y+1x+1表示线段上的点与C(－1,－1)则y+1x+1的取值范围是[-16，53【题型二】求直线方程【典题1】根据所给条件求直线方程(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为35(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2,4)，B(-2,8).【解析】(1)∵sinα=35，则直线方程为y-2=±34x-1，即3x-4y+5=0或3x+4y-11=0.(2)(x、y依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为xm代入点A(1,3)，可得1m+38-m=1所以所求直线方程为x2+y即所求直线方程为3x+y-6=0或(3)(已知直线过两点，可先求出斜率再用点斜式)直线斜率k=4-8则所求直线方程为y-4=-(x-2)，整理得x+y-6=0【点拨】①求直线方程的时，要注意各种形式的限制条件；②往往可以多种方法求解，注意最优解.【典题2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(-2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为，直线FH的一般式方程为．【解析】(求点H坐标相当求点H到x、再求出点H便可求直线FH方程)分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM=OC，MH=OA，∵A(0,2)，C(1,0)，∴MH=OA=2，AM=OC=1，可得OM=OA+AM=3，由此可得H坐标为(2,3)，同理得到F(-2,4)，∴直线FH的斜率为k=4-3可得直线FH的方程为y-3=-14(x-2)【点拨】根据题意，可知点F、H是确定的，求出两点坐标再求直线FH方程就不难了.本题利用平几知识点求出点F巩固练习1(★)【多选题】下列说法中，正确的有()A．过点P(1,2)且在x、yB．直线y=3x-2在y轴上的截距为-2 C．直线x-3y+1=0的倾斜角为D．过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为【答案】BD【解析】∵过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y－3=0，或者∵直线y=3x－2在y轴上的截距为－2由于直线x-3y+1=0的斜率为33，故它的倾斜角为30∵过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5=0故选：BD．2(★)【多选题】下列有关直线l：x+my-1=0(m∈R)的说法中不正确的是(A．直线l的斜率为-m B．直线l的斜率为-1C．直线l过定点(0,1) D．直线l过定点(1,0)【答案】ABC【解析】当m≠0时，直线l的方程可变为y=-1m(x－1)当m=0时，直线l的方程变为x=1，其斜率不存在，过点(1,0)，故AB不正确，D正确，将点(0,1)代入直线方程得m－故只有当m=1时直线才会过点(0,1)，即C不正确，故选：ABC．3(★)已知直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为.【答案】4【解析】令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=12∵直线mx+3y－12=0在两个坐标轴上截距之和为∴4+12m=74(★★)若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有条.【答案】3【解析】设直线l的截距式为xa∵直线l经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴&1a+1b=1直线l的条数为3．5(★★)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是.【答案】y=3【解析】如图所示：xC=2，yC=-2tan60°=∴BC边所在的直线方程是y=-23-0【题型三】直线方程的综合运用【典题1】设直线l：3+2λx+4+λ(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A,B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l【解析】1由3x+4y-19=02x+y-6=0，解得x=1y=4，则定点M为(λ视为参数，过定点的意思是"不管λ取什么值，方程3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0均成立"，故先把λ提取出来，满足"0+λ⋅0=0"这一形式即可，故(2)(截距相等，有可能两个截距均为0，故要分类讨论)当直线过原点时，-19-6λ=0,则λ=-196,当直线不过原点时，则3+2λ=4+λ，解得λ=1，所求直线为x+y-5=0．综上，直线方程为4x-y=0或x+y-5=0．(3)设A(a,0)，B(0,b)(a>0,b>0)，方法1则直线l的方程可设为xa又直线l过点M(1,4),则1aMAMB(利用数量积AM把“两线段乘积“变成”向量坐标“处理简单多了)=1-a,4=a+4b1a+4=4b当且仅当4ba=4ab且1此时直线方程为x+y-5=0．方法2设直线l的倾斜角为α，由已知可知α∈(π如图，MB=4sin⁡(通过图象观察引入变量α表示MAMB则MAMB∵α∈(π2,π)显然sin2α=-1，即α=3π4时，MAMB此时直线方程为x+y-5=0．【点拨】处理线段问题还可以用两点距离公式，而本题中MAMB=1+【典题2】如图，将一块等腰直角三角板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(12,14)是三角板内一点，现因三角板中部分(△POB内部，不含边界)(1)求直线MN的斜率的取值范围；(2)若P点满足MP=13PN，这样的直线(3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的△AMN的面积取得最大值和最小值？并求出最值．【解析】(1)(根据观察图象易得kPA≤kMN≤kPB⇒-12依题意，得MN的方程为y-14=k(x-因为AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，所以直线OA的方程为y=x，直线AB的方程为x=1，联立y-14=k(x-联立y-14=k(x-所以0≤2k-14(k-1)≤1所以k的取值范围为[-1(得到M、N(2)若MP=13PN，可得所以直线MN的方程为y-1整理得x+2y-1=0．(3)在△AMN中，由(1)知，S△AMN设t=1-k∈[1则f(t)=4t+1因为f(t)在[12，32]是单调递增，(所以当t=32时，即当1－k=32，即当t=12时，即当1-k=12，即k=1所以k=-12时S△max=13【点拨】①本题完成第一、二问，有更简便的方法，但若考虑到第三问，采取了求点M、N②当然本题第三问也有可能还有其他的解法，比如几何法，如图，设过点P的直线CD与线段AB、OA、y轴分别交于由于点xP=12=12所以∆DPF≅∆EPC，故S∆DPF>S∆GPH，即当直线CD越靠近故k=-12时S△max=13③处理最值问题常见的是几何法(通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法(引入变量，把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).巩固练习1(★★)已知直线l的方程为：(2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l【答案】(1)M(-1,-2)(2)2x+y+4=0【解析】(1)证明：原方程整理得：(x－由x-2y-3=02x+y+4=0，可得x=-1∴不论m为何值，直线必过定点M(－1(2)解：设直线l1的方程为y=k(x+1)令y=0,x=k-2∴S当且仅当-k=4-k则l1的方程为2x+y+4=0．2(★★★)已知直线l经过点P(3,2)．(1)若直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点．当PA2+PB【答案】(1)x-y-1=0或2x-3y=0(2)2【解析】(1)∵直线l经过点P(3,2)，直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，若截距不为0，设l的方程为xa-ya=1，把点P代入可得l的方程为x－若截距为0，则l的斜率为2-03-0=23，直线l的方程为综上，直线l的方程为x－y－1=0或(2)由题意可得，直线的斜率k存在，且k＜0，设直线l的方程为则A(3-2PA2当且仅当k=-23时，等号成立，即此时，直线l的方程为y－2=-233(★★★)如图，射线OA,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1,0)的直线l分别交OA，OB于点(1)当线段AB的中点为P时，求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x2上时，求【答案】(1)y=-(【解析】(1)由于射线OA,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30∴射线OA：y=x(x≥0)．OB：y=-设A(x1,x1由中点坐标公式求得x1=3A点坐标(3-1,3-1)，∴l：y=-(2)∵AB的中点(x1+∴x-33∵k∴l：y=14(★★★)已知直线l：kx－(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．【答案】