高三数一轮复习 第二章 函数、导数及其应用（13课时）讲解与练习 文

第一节函数及其表示

［备考方向要明了］

考什么怎么考

1.了解构成函数的要素，了解映射

1.考查方式多为选择题或填空题.

的概念.

2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与

2.在实际情境中，会根据不同的需

解析式更是高考的常客，如年湖南T16等.

要选择恰当的方法(如图象法、列

3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，

表法、解析法)表示函数.

由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如年

3.了解简单的分段函数，并能简单

福建T9等.

应用.

燧瓶材淅俄网备颁出■白I评淀;打臼调国基附

［归纳-知识整合］

1.函数与映射的概念

函数映射

两集合A,BA,3是两个非空数集A,8是两个非空集合

按照某种确定的对应关系£对于集合按某•个确定的对应关系£对于集合

对应关系

力中的任意一个数x,在集合8中有唯力中的任意一个元素x在集合少巾都有

ftAT

一确定的数1(*)和它对应唯一确定的元素y与之对应

6月一片为从集合力到集合的一个函对应/为从集合A到集合8的一

名称

数个映射

记法尸=f(x),x^A对应F：力一8是一个映射

［探究］1.函数和映射的区别与联系是什么？

提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的

两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射.

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域:

在函数y=/(x),中，A•叫做自变量，*的取值范围力叫做函数的定义域;与斤的值

相对应的尸值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x£/n叫做函数的值域.显然，值域是集合

8的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

3.相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.

［探究］2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？

提示：不一定.如函数y=x与y=x+l,其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数;

再如尸sin》与卜=。。5x,其定义域都为R,值域都为［—1,1］,显然不是同一个函数.因

为定义域和对•应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对•应关系完全相同的

两个函数才是同一个函数.

4.函数的表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法.

5.分段函数

若函数在其定义域的不同了•集匕因对应卷系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的北集，其值域等于各段函

数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

［自测•牛刀小试］

1.(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有()

①函数是定义域到值域的对应关系；

②函数f(x)4+W—x；

③F(x)=5,因这个函数的值不随x的变化而变化，所以/'(小+1)也等于5：

④y=2x(x£N)的图象是一条直线；

⑤/V)=1与g(x)=x表示同一个函数.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

万—420,

解析：选B由函数的定义知①正确；②错误；由、得定义域为。，所以不

［1一行0,

是函数；因为函数八*)=5为常数函数，所以/'*2+1)=5,故③正确；因为*£N,所以函

数y=2xj£N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数F(x)=l的定义域为R,函数

/x)=x°的定义域为3a0｝,故⑤错误.综上分析，可知正确的个数是2.

2.(教材习题改编)以下给出的对应是从集合力到/，的映射的有()

①集合力=｛尸是数轴上的点｝,集合QR，对应关系6数轴上的点与它所代表的实

数对应.

②集合4={P|P是平面直角坐标系中的点},集合Q{(x,y)|x£R,yER},对应关系

/：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应：

③集合力={x|X是三角形},集合8={x|x是圆},对应关系£每一个三角形都对应它

的内切圆；

④集合/l={x|x是新华中学的班级},集合4{xlx是新华中学的学生},对应关系£

每一个班级都对应班里的学生.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生

不止一个，所以④不是从集合力到集合8的映射.

/+1,xW1,

3.(•江西高考)设函数/.(%)=:2则/V(3))=()

一，才＞1,

x

A.7B.3

□

八2n13

C-I)

39

解析：选D⑶=|,/./(/'(3))=仔)+1=卷

x+2

4.(教材习题改编)已知函数f(x)=—则MF⑷)=_______；若/,(a)=2,则4=

4一6

•••f(x)=宁，・•・f(4)=分=-3.

解析:

—3+21

・•・HF⑷)=A-3)=—

—3—69

d+2

•・"®=2,即--=2,

a—6

解得a=14.

答案：i14

5.(教材习题改编)H={x|x是锐角},8=(0,1),从力到8的映射是“求余弦”，与力

中元素60°相对应的8中的元素是________；与〃中元素岩相对应的力中的元素是________.

解析：・・・cos60。=，，・•・与4中元素60。相对应的8中的元素是点

又•；cos30°=弹，，与8中元素噂相对应的力中的元素是30°.

乙乙

答案：|30°

乙

函数与映射的概念

［例1］有以下判断：

1x11，X)。

(DfU)=—与g(x)=,小表示同一个函数.

(2)函数尸/,(%)的图象与直线％=1的交点最多有1个.

(3)Mx)=f—2x+l与g{t}=e-2t^r［是同一困数.

(4)若〃才)=|才一1|一|川，贝lJ/(O=0.

其中正确判断的序号是.

1x1

［自主解答］对于(1),函数f(x)=—的定义域为且B0},而函数g(x)=

X

140,

小的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2),若才=1不是y=*x)定

—1K0

义域内的值，则直线x=l与尸f(x)的图象没有交点，若x=l是y=f(x)定义域内的值，由

函数的定义可知，直线x=l与y=f(x)的图象只有一个交点，即y=F(x)的图象与直线x=l

最多有一个交点；对于(3),r(x)与以。的定义域、值域和对应关系均相同，所以/’(*)与以。

表示同一函数；对于(4),由于G)THY"

所以《/(3)=f(0)=L

综上可知，正确的判断是(2)(3).

［答案］⑵⑶

------------［方法•视律］------------------------------------

1.判断两个变量之间是否存在函数关系的方法

要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)

根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每•个值，是否都能找到唯•的函数值y与

之对应.

2.判断两个函数是否为同一个函数的方法

判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一

致，由此即可判断.

II醯式训练

1.(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？

1,

①f：y=-；工：y=1.®f\zy=*2,KK2,

X

.3,众2；

XxWl\<x<2*22

y123

③力：y=2x；fr.如图所示.

解：①不同函数.乙⑺的定义域为{x£R|xKO},£3的定义域为

R.

②同一函数.x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同

一函数的不同表示方式.

③同一函数.理由同②.

(2)已知映射人力一笈其中4=后R,对应关系£Ly=-y+2x,对于实数在

集合力中不存在元素与之对应，则〃的取值范围是()

A.k>lB.A21

C.KII).kWl

解析•：选A由题意知，方程-f+2x=A无实数根，即2*+4=0无实数根.

所以4=4(1—Q<0,解得时满足题意.

求函数的解析式

［例2］(1)已知/'(x+1)=f+4x+l,求/Xx)的解析式.

⑵已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)—F(x)=2x+9.求Ax).

［自主解答］⑴法一：(换元法)设*+1=£,则X=，一1,

.\r(f)=(t-l)2+4(f-l)+l,

即即力=1+2£—2.

，所求函数为/X*)=¥+2*—2.

法二：(配凑法):入4+1)=f+4x+l=(x+l)"+

2(x+1)—2,

，所求函数为fix)=x+2x—2.

(2)(待定系数法)由题意,设函数为/'(x)=fX+6(a¥0),

V3/(^4-l)-f{x)=2^+9,

.•.3a(x+1)+36—ax—b=2x+9,

即2av+3a+2b=2x+9.

2a=2,

由恒等式性质，得〉

3*+2。=9,

解得a=l，。=3.

・•・所求函数解析式为f(x)=x+3.

若将本例(1)中'"(彳+1)=/+4>+1”改为“《+l)=lgx"，如何求解？

解：^1+1=心Vx)0,

2

:.f>l且x=~~

t~1

99

:.f(t)=1g-—BPf\x)=1g^27j-(x>l).

------------［方法•税件］------------------------------------

求函数解析式的常用方法

(1)配凑法：由已知条件Ag(x))=尸J),可将Xx)改写成关于g(x)的表达式，然后以X

替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数八g(»)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)解方程组法：已知关于f(x)与或/'(一.0的表达式，可根据已知条件再构造出另

外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).

H啜式训练

2.给出下列两个条件:

⑴f3+l)=x+2\G；

(2)，(力为二次函数且r(0)=3,r(*+2)—f(*)=4*+2.

试分别求出/•(»的解析式.

解：(1)令t=W+1,

,X=(f—I)2.

则Az)=(^-l)2+2(z-1)=?-1,

f(x)=x—1(x21).

(2)设f(x)=af+bx+。，又V/(O)=c=3.

:.fix)=aV+bx-\-3.

/(^+2)—f［x)=a(x+2)'+6(x+2)+3—(«^2+/；%+3)=4ax+4a+26=4x+2.

4/1=4,a=l,

解得:.f(x)=f—什3.

4a+2b=2,b=-l.

分段函数求值

・・-1

1,x>0,

［例3］(•福建高考)设f(x)T。，x=0,

.-1,水0,

1,x为有理数,

g(x)=则f(g(n))的值为()

0,x为无理数,

A.1B.0

C.-1D.n

［解析］n)=0,f(g(r))=F(0)=0,

n))=0.

［答案］B

-----------［方法•规律］---------------------------------

解决分段函数求值问题的方法

(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每

段交替使用求值.

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析

式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函

数分段解决.

H胸式训练

2'+1,XI,

3.已知函数f(x)=、若f(f(0))=4a,则实数a等于()

x2+1axyx》1,

C.2D.9

解析：选CVK1,f(x)=2'+LAAO)=2.

由F(F(O))=4a,得F(2)=4a,V1,f(x)=f+ax,

.,.4a=4+2a,解得a=2.

［通法——归纳领悟］

4种方法一一函数解析式的求法

求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法.具

体内容见例2［方法•规律］.

2两个易误点一一映射的概念及分段函数求值问题中的易误点

(1)判断对应是否为映射，即看力中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”.但要注

意：①力中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②3中元素可无原象,

即“中元素可有剩余.

(2)求分段函数应注意的问题

在求分段函数的值〃照)时，一定要首先判断照属于定义域的哪个子集，然后再代入相

应的关系式；分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.

巧俏!假汨陶哂阻碍

数学思想一一分类讨论思想在分段函数中的应用

当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类

方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论

汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同

定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后

整合，这恰好是分类讨论的一种体现.

2*+口，x<.1,

［典例］(•江苏高考)已知实数aWO,函数八%)=、若八1一4=

一x—2a,收1,

f(l+a),则a的值为.

［解析］①当1—aVl,即a>0时，此时a+l>l,由F(l—a)=F(1+a),得2(1—a)

+a=—(1+a)—2a,计算得a=—］(舍去)；②当1-a>l,即aVO时，此时a+lVl,由

3

f(l—a)=f(l+a),得2C+a)+a=—(1—a)—2a,计算得&=一7，符合题意，所以线上所

3

述,

3

［答案］

［题后悟道］

1.在解决本题时，由于a的取值不同限制了1-3及1+a的取值，从而应对a进行分类

讨论.

2.运用分类讨论的思想解题的基本步骤

(1)确定讨论对象和确定研究的区域：

(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)；

(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；

(4)归纳总结，整合得出结论.

［变式训练］

logzx,x>0,

lc—x,KO,若〃&)>〃一力，则实数a的取值范围是

(g1

()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-oo,-1)u(1,4-co)

C.(-1,0)U(1,+8)D.(一8,-I)u(0,1)

解析：选C①当时，a),

Iog^>1nga=1ng-.

2—2a

2

得a>L

a

②当水0时，・・"(a))f,(一a),

Alog1(—a)>log(—^?)=log1

—2—3

22

，一水」一得一1<丛0,故C项为正确选项.

a

2*•牙£—ooi

2.设函数个)4-，+二，’若…,则，的取值范围是

解析：当XI时，由f(x)>4得2r>4,即X-2；

当>21时，由f(x)>4得">4,所以*>2或内一2,但由于*21,所以x>2.

综上，x的取值范围是求-2或x>2.

答案：(-8,—2)U(2,+°°)

嫌?E建团首0知丢・练天题就处雨期1陷阚

ZHINCNGJIANCE

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1.下列各组函数中，表示相等函数的是()

A.y=p与y=p

B.y=ln/与y=e,nx

x—1x+3

C.y=---------j---------与尸>+3

D.产=9与y=\

X

解析：选D尸斗，=x,y=y/~?=|x\,故尸与不表示相等函数；B、C选

项中的两函数定义域不同；D选项中的两函数是同一个函数.

(1

2.设力={0,1,2,4},0,1,2,6,8,则下列对应关系能构成4到8的映射的

是()

A.f：x-^x~1B.f：x-*5—1)2

C.f：XT-I),f：xTx

解析：选C对于A,由于集合力中x=0时，父一1=—1至员即力中元素0在集合8中

没有元素与之时应，所以选项力不符合；同理可知B、D两选项均不能构成1到8的映射，C

符合.

2厂2,介0,

3.已知函数f(x)=।/八则/V(T0))=()

lg—x,KO,

A-2

C.1D.—7

4

解析：选A依撅意可知F(—10)=lg10=1,

/(1)=2'-2=1.

4.(•杭州模拟)设函数以才)=[匕*°若八4+/、(-1)=2,则a=()

[yj—x,XO,

A.-3B.±3

C.-1I).±1

解析：选DV/(a)+/(-l)=2,且匹-1)=1=1,

r{ci)—1,当a20时，f[a)—y[a=1,/.a=1；

当尿0时，f(a)=yj—a=1,/.a=—1.

5.若〃力对于任意实数*恒有2/'(工)一人一*)=3火+1,则/'(必=()

A.x-1B.x+1

C.2x+lD.3x+3

解析：选B由题意知2F(x)—f(—x)=3x+l.①

将①中，Y换为一”，贝！有2/1(—x)—f{x}=-3x+1.②

①X2+②得3f(x)=3x+3,

即f(x)=x+l.

6.(•泰安模拟)具有性质：/(3=一八分的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，

下列函数：

”,0<Kl,

①{)='」；②f3=x+\③人力=《dL1,满足“倒负”变换的函数

—,x〉l.

IX

是()

A.①@B.①③

C.②@I).只有①

解析：选B①《)=[一*=一£(才)满足.

②d=[+x=f(x)大满足.

③0</1时C)=­X=—f[x},

X=1时,

X〉1时，/"=：=—f(x)满足•

二、填空题

AA^)=x+2.AA3)=324-2=11.

答案：11

r2r3f2012

8.若f(a+Z?)=f(a)•f(b)且Al)=1,则尸〒

T~2f2011

f万+1

解析：令Q],・・・-「=[⑴=],

.f2,f3,,f2012

~+12T2011-=2OIL

答案：2011

[2X,xWO,

9.定义在R上的函数八x)满足/tr)=,,则/'(3)的值

fx~\~fx-2,x〉0,

为.

解析：由题意得F(3)=f(2)—F(1)=F(D—f(O)—f(l)=-f(0)=-20=—1.

答案：一1

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

y1f)

10.已知f(x)=9—1,g{x)—

2~x,A<0.

⑴求F(g(2))和g(A2))的值;

⑵求〃g(x))和g(F(x))的解析式.

解：(1)由已知,g⑵=1,八2)=3,

因此F(g(2))=/*(1)=0,

g(A2))=g⑶=2.

⑵当x>0时，g(x)=x—l,

故f(g(x))=(X—1')2—1=X—2X；

当水0时，g(x)=2—x,

故)=(2-x)2—1=^-4x4-3.

x~2x,x>0,

所以f(g(x))=

f—4x+3,KO.

当*>1或x<一1时.f(x)>0,

故g(f(x))=f(力一1=3—2；

当一1<底1时,f(x)<0,

故g(f(x))=2—F(>)=3—/

V-2,»1或联一1,

所以g(以X))=

3—V,—Kx<l.

11.二次函数F(x)满足F(x+1)-F(x)=2x,且F(0)=l.

(1)求八x)的解析式；

(2)解不等式f(x)>2x+5.

解：(1)设二次函数/(才)=39+"+。(々工0).

VAO)=1,f=l.

把人力的表达式代入ra+1)—rj)=2必有

a(x+1)~+b(x+1)+1—(ax'+Z?/+l)=2x.

'.2ax+a+b=2x.

:.a=1,b=—1.

:.f(x)=/—x+1.

(2)由——x+l>2x+5,即x—3^r—4>0,

解得x>4或x<—1.

故原不等式解集为J|>>4或K-l).

12.规定[打为不超过t的最大整数，例如[12.6]=12,[―3.5]=-4,对任意实数筋

令E(x)=[4x],g(x)=4x—[4x],进一步令£(x)=f[彳(x)].

7

若分别求()和()：

(1)10/iX£X

(2)若£(x)=l,£(力=3同时满足，求x的取值范围.

77

解：(1)'・3=/时，4彳=彳，

lo4

•/(X)=f[g(x)]=尤G)=[3]=3.

(2)V/l(x)=[4x]=l,g(x)=4x—1,

・・・6(%)=。(4/—])=[】6>—4]=3.

J1C4K2,7i

教师备选题供徽弹备课透用

1.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了

一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达

了终点…，用$,金分别表示乌龟和兔子所行的路程，[为时间，则下图与故事情节相吻合

的是()

解析：选B根据故事的描述，乌龟是先于免子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的

路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知月图象与事实相吻合.

2.下列对应关系是集合〃上的函数的是_______.

(l)AZ,对应关系F：对集合P中的元素取绝对值与集合0中的元素相对应；

(2)—{—1,1,-2,2},<2={1,4},对应关系：f：/一,=/,xeF,6

(3)Q{三角形},Q={x\x>0],对应关系/•:对，中三角形求面积与集合0中元素对应.

解析：对于(D,集合P中元素0在集合。中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)

集合户不是数集，故(3)不是函数；(2)正确.

答案：⑵

3.试判断以下各组函数是否表示同一函数：

(1)y=yl~x—2•，x+2,4；

(2)y=x,y=汨;

(3)y=\x\,y=(,))

解：y=y[x—2•2的定义域为{x|x22},

4的定义域为域为22或xW-2},

・•・它们不是同一函数.

(2)•・•它们的定义域柱向，口尸47'=r,

.•・/=刀与y=需是同一函数.

(3)・・,尸|川的定义域为R,y=(、「)2的定义域为{3*20},

・•・它们不是同一函数.

"+2,xW—1,

4.已知f(x)=<2；1<K2,且f(a)=3,求a的值.

春，x22,

解：①当aW-l时，r(a)=a+2,

由a+2=3,得a=l,与aW—1相矛盾，应舍去.

②当一1<a<2时，f(a)=2a,

3

由2a=3,得满足一1<水2.

③当心2时,f(a)=-

乙t

2

由5=3,得a=±m，

又打22,故a=#.

综上可知，a的值为，或#.

乙

［备考方向要明了］

考什么怎么考

L函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题

中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函

会求简单函数的定

义域和值域.数有关的定义域问题.如：年山东T3,安徽T2,广东T11等.

2.函数的侑域或最值问题很少单独考杳，通常与不等式恒成立等问

题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.

:研识:位教材抓士必而知识・丽淀汨西谪国题

OHUOANZHI，X・

［归纳-知识整合］

1.常见基本初等函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)j/=a'(a>0且aWl),y=sinx,y=cosx,定义域均为R.

(5)y=log,>x(a>0且aW1)的定义域为(0,十8).

(6)y=tanx的定义域为xlx#〃丸+?，kw"

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数

自变量的制约.

2.基本初等函数的值域

(1)/="*+从4#0)的值域是R.

(2)j/=af+bx+c(aH0)的值域是：

当a>0时，值域为卜)2—^卜

4ar—柠

当尿0时，值域为.

k

(3)旷=一(4#0)的值域是｛y|yXO｝.

X

(4)y=av(a>0且a#l)的值域是但»>。｝.

(5)y=log.,x(<?>()且aW1)的值域是R.

(6)y=sinx,y=cosx的值域是［―1,1］.

(7)y=tanx的值域是R.

［探究］1.若函数尸f(x)的定义域和值域相同，则称函数y=Ax)是圆满函数，则函数

①y=,；②y=2x：③'二3；④尸片中是圆满函数的有哪几个？

提示：①y="!■的定义域和值域都是(-8,0)U(0,+8),故函数尸,是圆满函数：②

XX

y=2x的定义域和值域都是R,故函数y=2x是圆满函数；③/;审的定义域和值域都是［0,

+M),故尸=W是圆满函数；④尸V的定义域为匕值域为［o,+m),故函数尸/不是

圆满函数.

2.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？

提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集.

［自测•牛刀小试］

1.(教材习题改编)函数FCO="与的定义域为()

X—1

A.[—8,4]B.[4,+-)

C.(—8,4)D.(一8,1)u(1,4]

解析：选D要使函数4)=存有意义，只需4—x20,内4,

即所以函数

x—1WO,

的定义域为(一8,1)U(1,4].

2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是()

X0<*<55^X1010^X1515忘启20

y2345

A.[2,5]B.N

C.(0,20]D.{2,3,4,5}

解析：选D函数值只有四个数2,3,4,5,故值域为⑵3,4,5).

3.若f(x)=r="则F(x)的定义域为()

/log,2才+1

A.V，0)B.0_

C.f—+°°jD.(0,+8)

解析：选A根据题意得log1(2叶1)>0,

2

即0<2x+lVl,解得一水水0,即闻一;，0).

4.(教材改编题)函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的定V1

义域为________,值域为________.J\

—1------/—\

解析：由图象可知,函数y=f(x)的定义域为[-6,0]U[3,7),值域

为[0,+«>).

答案：[一6,0]U[3,7)[0,+8)

5.(教材改编题)若，K有意义，则函数片=f一6x+7的值域是

解析：,••伏「一4有意义,••・汗一4'0,即xZ4.

又•・)=9-6x+7=(*—3)2—2,

A^in=(4-3)2-2=l-2=-l.

・••其值域为[-1,+-).

答案：[-1，+°°)

研剧切双糠国题型援堀磔提缕阙通!国

求函数的定义域

［例1］(1)(•山东高考)函数f{x)=g3+二7的定义域为()

A.[-2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]I).(-1,2；

⑵已知函数1)的定义域为[0,3],则函数尸f(x)的定义域为

，+1>0,x>—\,

即卜W0,

［自主解答］(l)x满足

-2WxW2.

解得一1<冢0或0<xW2.

⑵TOW启3,

・・・0。2(9,一】<*2-1<8.

:.函数y=F(x)的定义域为［-1,8］.

［答案］(DB(2)［-1,8］

本例(2)改为f(x)的定义域为［0,3］,求—1；的定义域.

解:・・・y=f(力的定义域为[0,3],

・・・0——々3,

解得一2W/W-1或1WXW2,

所以函数定义域为［-2,-1］U［1,2］.

-----------［方法•视律］---------------------------------

简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)对抽象函数：

①若已知函数/.(X)的定义域为［&句，则复合函数/XgCr))的定义域由不等式

求出.

②若已知函数F(g(力)的定义域为［a,b］f则*x)的定义域为g(x)在x£［a,3时的值

域.

H磔式训练

1.(1)(-江苏高考)函数考x)=210g5的定义域为

(2)已知f(>)的定义域是［-2,4］,求f(未一34)的定义域.

解析：(1)由1—21og6X20解得log6xw|=>0VxWd^,故所求定义域为(0,乖］.

答案：(0,乖］

(2)・・・步力的定义域是［-2,4］,

・・・-2Wf—3xW4,由二次函数的图象可得，-IWXWI或2WxW4.

・••定义域为［-1,1］U［2,4］.

求函数的值域

■・E_____________________.

［例2］求下列函数的值域：

v—3।4

⑴尸力(2)y=z—^/l—2x；(3)y=x+-.

［自主解答］(D法一：(分离常数法)尸v—*73=二x~\~1—^4=1一七4.因为一4片工0,所以

I1JiI1I1ylI1

4

1--TT^l,

x+1

即函数的值域是{y|yWR,-1}.

*—3

法二：由得_rx+y=x—3.

解得x=卢，所以11,

即函数值域是{y|y£R,户M}.

*>。

_____1—f1—f1

(2)法一：(换元法)令"7?石=£,则［2()且丫==-,于是y=F--r=--(?+l)2

乙乙乙

*.

+1,由于绘0,所以W，故函数的值域是卜yW；.

法二：(单调性法)容易判断函数片F(x)为增函数，而其定义域应满足】一240,即疸

所以工6居，即函数的值域是上应.

(3)法一：(基本不等式法)当筋0时，

,4、/~4

才+—22A/才义一=4,

xx

当且仅当x=2时“=”成立；

4,4

当K0时，x+1=一(―x—：)W—4,

当且仅当x=-2时”=”成立.

即函数的值域为(-8,-4]U[4,+°°).

法二：(导数法)F(力=1—1=—.

XX

X£(—8,—2)或X£(2,+8)时，f(x)单调递增，

当工£(-2,0)或x£(0,2)时，人力单调递减.

故》二一2时，"力极大值=八一2)=—4；

x=2时，f(x)极小值=f(2)=4.

即函数的值域为(-8,—4］U［4,+8).

4

若将本例(3)改为“尸x一，如何求解？

解：易知函数旷=丫一+在(-8,0)和(0,+8)上都是增函数，故函数尸十一［的值域为

R.

-----------［方法•观律］---------------------------------

求函数值域的基本方法

(1)观察法：一班简单函数，通过观察法求值域.

(2)配方法：”二次函数类”用配方法求值域.

(3)换元法：形如尸ax+b±b,c,d均为常数，且a#0)的函数常用换元

法求值域，形如二薪的函数用三角函数代换求值域.

pv-l-d

4分离常数法：形如y=—3X\znI)"WO的函数可用此法求值域.

5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其

增减性进而求最值和值域.

6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找

其变化范围.

H跑式训练

2.求下列函数的值域.

⑴y=3+2%xG[0,3]；

2

小x—X

(2)y=~TT•

x-x+1

⑶y=log.ix+1ogv3-1.

解：⑴(配方法)y=/+2x=(x+l)J1,

•・・0W/W3,

・・・1WX+1W4.・・・1W5+1)2或16.

・・・0WQ5,

即函数y=x24-2x(xe[0,3])的值域为[(),15].

(小2)x+1-11

尸x+1=1-x+],

即值域为T，1)

⑶尸"+康一匕

令log：,x=t,

则尸E+：-l(tWO),

c

当x>l时，4>0,y22yp^一1=1,

当且仅当£=：即log3X=l,x=3时，等号成立;

V

当0<水1时,仪0,

y=——t+[―—1^—2—1=—3.

当且仅当一£=一?即log：ix=-1,时,等号成立.

LJ

综上所述，函数的值域是(-8,-3]U[1,+8).

*■«n________________与___定___义__域_、值域有关的参数问题

[例3]已知函数Ar)=7万+".若至少存在一