高中数学必修3第3章：几何概型-5人教A版试题汇编

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2020年03月24日高中数学的高中数学组卷

试卷副标题

考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX

题号一总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

一.解答题（共50小题）

1.（2018春•兴庆区校级期中）甲、乙两艘轮船驶向某一不能同时停泊两艘轮船的码头,

它们在一昼夜内任何时刻到达码头是等可能的.如果甲船的停泊时间是1/2,乙船停

泊的时间是2团求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.（精确到0.001）

2.（2018春•日照期末）如图，圆。的半径为2,点A,B,C,D,E,F是圆。的六

个等分点.

（I）从4,8,C,E,尸在随机取三点，总共可构成20个不同的三角形，求这

三点构成的三角形是直角三角形的概率

（II）在圆。上随机取一点P,求△%C的面积大于25/醐概率.

3.（2017秋•中山市期末）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分

考点突破•备战高考

(2)TTT

(3)TTTT

(4)TTT

(5)TTTT

(6)TTT

(7)TTTT

(8)TTTTT

(9)TTT

(10)TTTTT

注“7”表示合格，空白表示不合格

(1)某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，并打

算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求

补测项目种类不超过3项的概率；

(2)如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°,在汽车边缘不压射

线AC与射线8。的前提下，将汽车驶入指定的停车位.根据经验，学员甲转向90°

后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等.若CA=BD=

0.3m,48=2.4〃i,汽车宽度为求学员甲能按教练要求完成任务的概率.

4.(2017秋•黄陵县校级期末)袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0

的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个.从袋子中不放回地随机

抽取小球两个，每次抽取一个球，记第一次取出的小球标号为“，第二次取出的小球

标号为江

(1)记事件A表示“a+6=2"，求事件A的概率；

(2)在区间［0,2］内任取两个实数x,y,求“事件/+/>(a-b)2恒成立”的概

率.

5.(2017秋•让胡路区校级月考)已知函数f(x)-ax^b.

试卷第2页，总12页

(1)若“，方都是从集合{0,1,2,3}中任取的一个数，求函数/(X)有零点的概

率；

(2)若a,6都是从区间［0,3］上任取的一个数，求/(I)>0成立的概率.

6.(2017秋•盐湖区校级月考)把长度为10的木棒任意分成三段，求这三段可以构成

一个三角形的概率.

7.(2017秋•横峰县校级期中)已知关于x的二次函数/(x)=a？-4fcv+l

(1)设集合尸={1,2,3}和。={-1,1,2,3,4},从集合P中随机取一个数作

为a,从。中随机取一个数作为从求函数y=/(x)在区间［1,+8)上是增函数的

概率；

(2)设点(a,b)是区域内卜+yV4°的随机点，求函数y=/(x)在区间［1,+

x>0,y>0

8)上是增函数的概率.

8.(2017秋•全椒县校级期中)已知一元二次方程/+ax+庐=0,

(1)若a是从区间［0,3］任取的一个整数，6是从区间［0,2］任取的一个整数，求上

述方程有实数根的概率.

(2)若“是从区间［0,3］任取的一个实数，b是从区间［0,2］任取的一个实数，求上

述方程有实数根的概率.

9.(2017秋•永州期中)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b.

(1)求直线ax+by+5=0与圆？+尸=1相切的概率；

(2)在区间［0,6］内任取2个实数x,y,求事件(“-〃)2恒成立”的概

率.

10.(2017秋•启东市校级月考)已知关于x的一元二次方程97+6办-■+4=0,“、b&R.

(1)若a=l,人是从区间［0,2］内任取的一个数，求方程没有实数根的概率；

(2)若〃是从区间［0,3］内任取的一个数，b是从区间［0,2］内任取的一个数，求方

程有实数根的概率.

11.(2016秋•迎泽区校级期末)设关于x的一元二次方程7+2"+y=0①，当。6［0,

3］,旄［0,2］时,方程①有实数根的概率为pi;当底［0,3J,g0,2］并且a€N,左N

时，方程①有实数根的概率为P2,求0,p2的值.

12.(2017秋•武邑县校级月考)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买

该商品的顾客两家两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇

考点突破•备战高考

形，且每个扇形圆心角均为工，边界忽略不计)即为中奖.

4

乙商场：从装有2个白球、2个蓝球和a个红球的盒子中一次性摸出1球(这些球除

颜色外完全相同)，它是红球的概率是!若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2

3

个相同颜色的球，即为中奖.

(1)求实数“的值；

(2)试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.

13.(2017春•兰考县校级期末)小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：

30之间把报纸送到小明家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：30之间，

问小明在离开家前能得到报纸(称为事件4)的概率是多少？

14.(2017春•滦水区校级月考)设S是不等式/-x-6W0的解集，整数nneS.

⑴求+"=0”的概率：

(2)设己=机2,求t的分布列及其数学期望.

15.(2017春•桃江县期末)设事件A表示“关于x的一元二次方程/+如+■=0有实根”,

其中a,b为实常数.

(I)若a为区间［0,5］上的整数值随机数，b为区间［0,2］上的整数值随机数，求

事件4发生的概率；

(H)若a为区间［0,5］上的均匀随机数，b为区间［0,2］上的均匀随机数，求事件A

发生的概率.

16.(2017春•西昌市期中)设不等式组表示的平面区域为p不等式组

l0<y<3

,3x+2y-6》0，表示的平面区域为Q

(1)在区域尸中任取一点M,求M6Q的概率；

(2)在区域。中任取一点N(x,y),求工23的概率.

x4

17.(2017秋•青山区校级期中)设函数/(x)=/+2av-层+4(a、虻R)

(1)若亦{0,1,2},Z?e{-2,-1,0,1,2},求函数/(x)有零点的概率.

(2)若“曰-3,3］,旄［0,3］,求函数g(x)=/(%)+5无零点的概率.

18.(2017春•文峰区校级月考)甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一

试卷第4页，总12页

昼夜的任意时刻到达.设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，

求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.

19.(2016秋•南关区校级期末)己知关于x的一元二次方程/-2(a-2)x-■+16=0.

(1)若a,6是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；

(2)若〃日2,6］,人曰0,4］,求方程没有实根的概率.

20.(2016秋•宜城市月考)已知尸：xCR且7+2x-3<0,已知Q：xeR且生2<0.

x-3

(I)在区间(-4,4)上任取一个实数x,求命题“P且。”为真的概率；

(II)设在数对(a,b)中，ae｛x€Z|P真｝,旎｛x€Z|。真｝,求“事件6-4e｛x|P或

Q真)”发生的概率.

21.(2016秋•临川区校级期中)已知一元二次方程:，+2以-庐+4=0,

(1)若a是从｛-1,0,1｝中任取的一个数字，匕是从｛-3,-2,-1,0,1｝中任

取的一个数字，求该方程有根的概率.

(2)若a是从区间［-2,2］中任取的一个数字，6从是区间［-2,2］中任取的一个数

字，求该方程有实根的概率.

22.(2016秋•三元区校级月考)已知关于x的方程为/+，力+"2=0,

(I)若m=l,”曰-I,1］,求方程有实数根的概率.

(II)若怔［-1,1］,响-1,1］,求方程有实数根的概率.

(III)在区间［0,1］上任取两个数机和〃，利用随机数模拟的方法近似计算关于x的

方程7+,冰+〃2=0有实数根的概率，请写出你的试验方法.

23.(2016春•成都校级月考)已知函数/'(X)--?+ar-b.

(1)若小人都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求方程f(x)=0有根

的概率.

(2)若a,。都是从区间［0,4］任取的一个数，求/(I)>0成立时的概率.

24.(2016春•兴庆区校级期中)已知二次函数=)+办+/，若a,6在区间［0,

2］内等可能取值，求f(x)=0有实数解的概率.

25.(2016春•平顶山期末)如图，在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,记Q

=a>AC=b-

(1)若8。=1,试用W，最示屈；

(2)若。是线段8C上任意一点，求屈•前W0的概率.

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c

\D

26.（2016春•郑州校级期中）在长度为6的线段上任取两点（端点除外），分成三条小

线段

（1）若分成的三条线段的长度为整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；

（2）若分成的三条线段的长度为实数，求这三条线段不可以构成三角形的概率.

27.（2016春•来宾期末）如图所示，圆。的半径为R,A、B、C为圆O上不同的三点,

圆心O在线段AC上.

（1）当AB=4,8C=3时，在圆。内任取一点P,求所取点P恰好位于aABC内的

概率；

（2）当R=l,8点为圆。上的动点时，此时在圆。内任取一点Q,求点。位于△

A8C内的概率的取值范围.

28.（2016春•仓山区校级期中）甲、乙两人约定在中午12时到下午1时之间到某站乘

公共汽车，又知这段时间内有4班公共汽车.设到站时间分别为12：15,12：30,

12：45,1：00.如果他们约定：（1）见车就乘；（2）最多等一辆.试分别求出在两

种情况下两人同乘一辆车的概率.假设甲乙两人到达车站的时间是相互独立的，且

每人在中午12点到1点的任意时刻到达车站是等可能的.

29.（2016春•龙华区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W由满足/+）2

W5的点的（尤，y）构成.

（I）若x€Z,）WZ,在卬中任取点M（x,y）,求点M位于第四象限的概率；

（II）若x,yeR,在W中任取点M（x,y）,求"的概率.

30.（2016春•娄底校级期中）（1）在区间［1,3］上任取两整数八b,求二次方程/+2以+房

=0有实数根的概率.

（2）在区间［1,3］上任取两实数a、b,求二次方程/+2办+标=0有实数根的概率.

31.（2016春•宁远县期中）已知集合A={x|lWxW6},关于x的二次方程：—x2+-\f^>c+2c

4

=0.

请回答下列问题:

试卷第6页，总12页

（I）若江ceA,且c,cez,求该二次方程有解的概率;

（H）若从c&4,求该二次方程有解的概率.

32.（2016春•新春县期中）在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，

甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.

（1）若抽奖规则是从一个装有5个红球和3个白球的袋中有放回地取出2个球，当

两个球同色时则中奖，求中奖概率；

（2）若甲计划在9：00~9：40之间赶到，乙计划在9：20~10：00之间赶到，求

甲比乙提前到达的概率.

33.（2016春•漳平市期中）设点P的坐标为（x-3,y-2）.

（1）在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张

卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先

后两次抽取卡片的标号分别为x、y,求点P在第二象限的概率；

（2）若利用计算机随机在区间［0,3］上先后取两个数分别记为x、y,求点P在第三

象限的概率.

34.（2016春•南阳期中）设关于x的一元二次方程为犬2+2女+材=0.

（1）若a是从-2,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取

的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若。是从区间［-3,0］中任取的一个数，h是从区间［-2,0］中任取的一个数，

求上述方程有实根的概率.

35.（2015秋•黄冈期末）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点4、

B、C刚好是边长为3cm的等边三角形的三个顶点.

（I）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间［7.5,8.5）内，调整一下后，又

连打三枪，其成绩（环数）都在区间［9.5,10.5）内.现从这6次射击成绩中随机抽

取两次射击的成绩（记为a和为进行技术分析.求事件的概率.

（II）第四次射击时，该运动员瞄准AABC区域射击（不会打到△48C外），则此次

射击的着弹点距A、B、C的距离都超过la”的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）

36.（2015秋•洪山区校级期末）三棱锥A-8CD中，△BCD、△ACD均为边长为2的

正三角形，侧棱AB—巧，现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的

4个，并记对应的标号为/5）5取值为A、B、C、D）,E为侧棱AB上一点

（1）求事件“f（c）+/-（£»为偶数”的概率pi;

（2）若|BE|：\EA\=f（B）：f（A）,求二面角E-C£>-A的平面角9大于工的概率

4

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P2.

37.(2016春•周口期末)设函数=7+2"-■+4

(1)若〃是从0,1,2三个数中任取的一个数，6是从-2,-1,0,1,2五个数

中任取的一个数，求函数f(x)有零点的概率；

(2)若a是从区间［-3,3］上任取的一个数，〃是从区间［0,3］上任取的一个数，求

函数gG)=/(x)+5无零点的概率.

38.(2015春•开封月考)已知黄河游览区有两艘游船，两艘游船每天上午11点出发，

下午3点至5点之间返回码头，假如码头只有一个泊位，每艘游船需要停靠码头15

分钟游客下完后即驶离码头，每艘油船返回时在下午3点至5点之间的任何一时刻

停靠码头是等可能的，求你乘坐一艘游船游览黄河游览区，下午返回码头时，停船

的泊位是空的概率.

39.(2015秋•汉川市校级期中)在等腰三角形ABC中，A=90°,AB=3

(1)在三角形ABC中任取一点，离三个顶点距离都不小于1的概率.

(2)在BC边上任取一点M使的概率.

2

40.(2015春•盐都区校级期中)已知关于x的一元二次方程/+2以+■=0,满足a20

且匕20.

(1)若。是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，

求上述方程有实根的概率.

(2)若。=1,。是从区间［0,3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

41.(2014秋♦迎泽区校级期末)已知二次函数—ca2-bx+\,A={x|lWxW3},B

={x|lWxW4}

(1)若“是从集合A中任取的一个整数，匕是从集合8中任取的一个整数，求函数

y=/(x)有零点的概率.

(II)若。是从集合A中任取的一个实数，。是从集合A中任取的一个实数，求关

于x的方程/(x)=0一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内的概率.

42.(2015春•平度市期末)己知关于x的一次函数y=ar+6,

(1)设集合尸={-2,-1,1,2,3}和。={-2,0,3},分别从集合P和。中随

机取一个数作为a和b,求函数y=ar+6是增函数的概率；

'-14

(2)实数a,人满足条件(求函数)=ax+6的图象经过二、三、四象限的

,a+b-l<0

概率.

43.(2015春•拉萨校级月考)二人相约12：00~13：00在体育场见面，假定每人在这

试卷第8页，总12页

段时间内的每个时刻到达该地点的可能性是相同的，先到者等20分钟就可离去，试

求这两人会面的概率.

44.（2015春•福州期中）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各

代表队人数分别为120人、200人、”人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中

穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取10人在前排就坐，其中

高二代表队有5人.

（1）求〃的值；

（2）随机从前排就坐的高一和高三两代表队中抽取3人上台抽奖，求前排同一年级

代表队都被抽中的概率；

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个［0,1］之间的均匀

随机数x、y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表队中奖;

若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表队中奖的概率.

45.（2015春•武进区期末）（1）在长度为a的线段上任取一点用，求点M到A8中

点的距离不小于3■的概率；

4

（2）在边长为。的正三角形ABC内任取一点求点M到其中心点的距离大于其

内切圆半径的概率；

（3）在棱长为a的正四面体P-ABC内任取一点M,求点M到其中心点的距离小

于其内切球半径的概率.

46.（2014秋•内江期末）某校早上7：30开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：

00-7：20之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到是等可能的，则小张比小王至

少早5分钟到校的概率为多少？

47.（2015•枣庄一模）关于x的一元二次方程x2-2ar+82=0.

（1）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为a和b,求上述方程有实根的概率;

考点突破•备战高考

(2)若从区间［0,6］中随机取两个数“和b,求上述方程有实根且a2+b2^36的概率.

48.(2014秋•南关区校级期末)已知关于x的一元二次方程7-2(a-2)-廿+16=0.

(1)若a、6是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；

(2)若〃曰2,4］,&G［0,6J,求方程没有实根的概率.

49.(2014秋•周村区校级期中)已知关于x的一元二次方程/(x)=a？-4fe+l

(1)设集合P={1,2,3},0={-1,1,2,3,4),分别从集合P,。中随机取一

个数为a和从求函数y=f(x)在［1,+8)上是增函数的概率

'x+y-840

(2)设点(a,b)是区域<x>0内的随机点，设A={/(1)<0},求事件A

y>0

发生的概率.

50.(2014春•洛阳期中)设集合A={)，|)，=-f+6x-3(0WxW4)},B={x|三受£0},

x+4

已知C=AC\B.

(1)求C；

(2)若m,neC,求方程7+2如:-/AH=o有两正实根的概率.

试卷第10页，总12页

第n卷（非选择题）

请点击修改第H卷的文字说明

考点突破-备战高考

试卷第12页，总12页

考点突破•备战高考

2020年03月24日高中数学的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.解答题（共50小题）

1.（2018春•兴庆区校级期中）甲、乙两艘轮船驶向某一不能同时停泊两艘轮船的码头,

它们在一昼夜内任何时刻到达码头是等可能的.如果甲船的停泊时间是1〃，乙船停

泊的时间是2〃，求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.（精确到0.001）

【考点】CF：几何概型.

【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：概率与统计.

【分析】设甲、乙两船到达码头的时刻分别是x和），，根据条件求出满足条件的不等

式，作出对应的区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可.

【解答】解：设甲、乙两船到达码头的时刻分别是x和y,

则x和y均可能取区间［0,24］内的任一值，

要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出，

也就是要求两船不可能会面.

那么必须甲比乙早到以上，即y-xNl.或者乙比甲早到2〃以上，即x-yN2.

在平面上建立直角坐标系，

如图，则（x,y）的所有可能结果是边长为24的正方形.

而两艘船不可能会面的时间由图中阴影部分所表示.

记A表示“两艘船都不需要等待码头空出”，

1219

则P（4）=A1的面积+42的面积二遇（24-1）加（24-2）=529+484=1013

....正方形的面积^22X5761152

=0.879.

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件建立不等式组，作出

对应的平面区域求出对应的面积是解决本题的关键.

2.（2018春•日照期末）如图，圆。的半径为2,点A,B,C,D,E,F是圆。的六

个等分点.

1

考点突破•备战高考

（I）从A,B,C,。，E,尸在随机取三点，总共可构成20个不同的三角形，求这

三点构成的三角形是直角三角形的概率

（n）在圆o上随机取一点p,求△%c的面积大于2我的概率.

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CF：几何概型.

【专题】31：数形结合；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】（I）根据直径对直角，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；

（II）解法一：根据三角形的边角关系与面积公式得出点P满足的条件，从而得出

所求的概率值.

解法二：根据圆的定义与性质，结合图形求出点P满足的条件，再计算所求的概率

值.

【解答】解：（I）记事件“从A、B、C、D、E、尸中随机取三点，

这三点构成的三角形是直角三角形”为M；（1分）

由题意可知以A、B、C、。、E、产为端点的线段中，只有.A。、BE、C尸是圆。的直

径，

所以事件M包含以下12个基本事件：

△4OB,△4OC,△AOE,/XADF,△BEA,△BEC,

△BED,/\BEF,ACM,△CFB,/\CFD,△CFE；（3分）

所以所求的概率为P（M）=^q；（6分）

（注：事件M所包含得基本事件列对1〜4个的不给分，列对5〜8个的给（1分），

列对9〜12个的给（2分）；

本题没有罗列事件M所包含基本事件，直接给出正确答案的给3分）

（II）记事件“△BAC的面积大于2、石”为N,

解法一：

在Rt^ACD中，AO=4,ZACD=90°

2

考点突破•备战高考

由题意知而是60°弧，其所对的圆周角NCA£>=30°；

所以C£>=2,AC=742-22=2V3;*分）

当的面积大于矛寸，设点P到AC的距离为d,

则有S/kPAC-AOd=«d>g'即4>2；（9分）

由题意知四边形ABCD是矩形，

所以AC〃。况且AC与OF之间的距离为2,

所以点尸在而上（不包括点。、Q；（10分）

故所求的概率为P（N）:黑蹄《⑴分）

解法二：

设区E分别交AC、DF于H、I,

则有BE_LAC,BEYDF,且〃、/分别为AC、OF的中点,

所以AC〃。七（7分）

由题意知是120°弧，其所对的圆周角NAOC=120°,

所以在Rt^OA”中，N0AH=30°,0H=y0A=l-

y'AC=2VoA2H3H2=2^/3,（8分）

同理可求01=1,

所以AC与。R之间的距离为2；（9分）

当△B4C的面积大于2J子寸，设点P到AC的距离为d,

贝I」有S^PAc=1AOd=Fd>g，解得d>2；（10分）

所以点P在而上（不包括点。、F）,（11分）

故所求的概率为P（N）=：|鬻⑴分）

【点评】本题考查了古典概型、几何概型的计算问题，也考查了应用数学知识解决

实际问题的能力，是综合题.

3

考点突破•备战高考

3.（2017秋•中山市期末）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分

别记作①，②，③，④，⑤.

项目①②③④⑤

学员编号

(1)TTT

(2)TTT

(3)TTTT

(4)TTT

(5)TTTT

(6)TTT

(7)TTTT

(8)TTTTT

(9)TTT

(10)TTTTT

注“:T表示合格，空白表示不合格

（1）某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打

算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求

补测项目种类不超过3项的概率；

（2）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°,在汽车边缘不压射

线AC与射线8。的前提下，将汽车驶入指定的停车位.根据经验，学员甲转向90°

后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等.若CA=BD=

0.3〃?，AB=2Am,汽车宽度为18”，求学员甲能按教练要求完成任务的概率.

【考点】CF：几何概型.

【专题】31：数形结合；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值;

4

考点突破•备战高考

(2)利用几何概型的概率公式，计算所求的概率值.

【解答】解：(1)由题意得共有5名学员(1),(2),(4),(6),(9)恰有2两项成

绩不合格，从中任意抽取2人进行补测，共有10种情况：

学员编号补测项目项数

(1)(2)②③⑤3

(1)(4)②③④⑤4

(1)(6)③④⑤3

(1)(9)①③⑤3

(2)(4)②④⑤3

(2)(6)②③④⑤4

(2)(9)①②⑤3

(4)(6)②③④3

(4)(9)①②④⑤4

(6)(9)①③④⑤4

由表格可知全部的10种情况中有6种情况补测项目不超过3项,

,补测项目不超过3项的概率为P=_L=3；

105

IIIIII

CAB'D'BD

(2)在线段CO上取两点B',D',使得88'=DD'=l.8/n,

记汽车尾部左端点为M，则当M位于线段AB'上时，学员可按教练要求完成任务.

学员甲能按要求完成任务的概率为

P=AB'=2.4-1.8=1

CD，2.4+2XQ.3-1.8工

【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率和几何概型的概率计算问题，是中档

题.

4.(2017秋•黄陵县校级期末)袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0

的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个.从袋子中不放回地随机

抽取小球两个，每次抽取一个球，记第一次取出的小球标号为m第二次取出的小球

标号为b.

(1)记事件A表示。+〃=2"，求事件A的概率；

(2)在区间［0,2］内任取两个实数x,y,求“事件7+丁＞(a-b)2恒成立”的概

5

考点突破•备战高考

率.

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CF：几何概型.

【专题】38：对应思想；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】(1)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；

(2)根据几何概型的概率公式，计算对应区域面积比.

【解答】解：(1)两次不放回抽取小球的所有基本事件为

(0,1),(0,21),(0,22。(1,0),(1,2i),(1,22。

(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),⑵,21)共12个；

事件A包含的基本事件为(0,21),(0,22),(21,0),(22,0)共4个;

所以所求的概率为

P(A)=42；

123

(2)记“？+方>Q-b)2恒成立”为事件

则事件B等价于“/+)2>4”；

Cx,>•)可以看成平面中的点，

则全部结果所构成的区域为

Q={(x,y)|0WxW2,0WyW2,x,yGR},

而事件B所构成的区域为

B={(x,y)|x2+y2>4,x,yCfl},

所以所求的概率为

SB2X2-冗JT

P（B）=-

Sft2X2

【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，是中档题.

5.(2017秋•让胡路区校级月考)已知函数/(x)—X2-ax+b.

(1)若a,匕都是从集合{0,1,2,3}中任取的一个数，求函数/(X)有零点的概

率；

(2)若a,6都是从区间［0,3］上任取的一个数，求f(1)>0成立的概率.

【考点】CF：几何概型.

【专题】31：数形结合；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】(1)由题意知本题为古典概型的概率，计算基本事件数，

求出“函数/(无)有零点”的概率值；

(2)由题意知本题为几何概型的概率，计算对应区域的面积比即可.

【解答】解：(1)a,。都是从集合{0,1,2,3}中任取的一个数，

6

考点突破•备战高考

，本题为古典概型且基本事件总数为4X4=16个，

设“函数有零点”为事件A,

贝!］-4b20,即。224/>,

包含(0,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)7个基本事件，

.，、7

,*P(A)=隹；

16

(2),:a,b都是从区间［0,3］上任取的一个数，

本题为几何概型且所有基本事件的区域为如图所示矩形OA8C,

设“函数f(x)>0”为事件8,

贝ijB0f(1)=1-a+b>0,即b>a-I,

.••B包含的基本事件构成的区域为图中阴影部分，

3X3^-X2X2

・,P(B)---------------------=—

皿3X39

k__B

2

,V__k

O\13x

【点评】本题考查了古典概型的概率与几何概型的概率计算问题，是综合题.

6.(2017秋♦盐湖区校级月考)把长度为10的木棒任意分成三段，求这三段可以构成

一个三角形的概率.

【考点】CF：几何概型.

【专题】31：数形结合；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】根据题意列出不等式组，利用不等式组表示平面区域，

利用几何概型的概率求出对应区域的面积比即可.

【解答】解：设其中两段的长度分别为x与y,则第三段的长度为10-x-y,

r0<x<10

则<0<y<10；…(3分)

0<x+y<10

把(x,>■)看做平面上的直角坐标系中的点，

则区域Q可以用图中的大三角形表示出来；…(6分)

为了使分成的三段能构成三角形，必须使任意两边之和大于第三边，

7

考点突破•备战高考

'x+y>10-x-y

所以有：,x+(10-x-y)>y,…(9分)

y+(10-x-y)〉x

x+y>5

也就是，0<x<5；

0<y<5

于是区域A可以用图中阴影部分表示，

因此所求概率为片*=*"星•・・⑴分)

SAOAByXlOXlO4

【点评】本题考查了利用不等式组表示平面区域，也考查了几何概型的概率计算问

题，是中档题.

7.(2017秋•横峰县校级期中)已知关于x的二次函数/(x)=o？-4bx+l

(1)设集合P={1,2,3}和。={-1,1,2,3,4},从集合尸中随机取一个数作

为a,从Q中随机取一个数作为b,求函数y=f(x)在区间［1,+8)上是增函数的

概率；

(2)设点(a,b)是区域内卜了一841的随机点，求函数y=f(x)在区间［1,+

［x>0,y>0

°°)上是增函数的概率.

【考点】CF：几何概型.

【专题】33：函数思想；40：定义法；51：函数的性质及应用；51：概率与统计.

【分析】(1)求出函数/(x)图象的对称轴，根据题意得出心匕满足的条件，求出

基本事件数，计算所求的概率值；

(2)根据题意列不等式组，利用几何概型的概率计算公式，求出对应区域的面积比.

【解答】解：(1)函数/(x)=/-4^+1图象的对称轴为r=2b

要使/(x)=o？-4bx+l在区间［1,+8)上为增函数,

8

考点突破•备战高考

当且仅当4>0且生W1,即劝<4,

a

若a=l,则b=-1；

若。=2,则/?=-1或1；

若。=3,则人=±1；

・,・事件包含基本事件的个数是1+2+2=5,

...所求事件的概率为「=旦」；

153

(2)由(1)知当且仅当2bWa且。>0时，

函数(X)=4/-46x+l在区间［1,+8)上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

a+b-840

{(a,b)卜a>0}构成所求事件的区域为三角形部分；

b>0

由(a+b-8=0,解得点时(迈，1).

(a=2b33

yX8X-1-

...所求事件的概率为-------=1.

yX8X83

【点评】本题考查了函数的单调性与古典概型的概率计算问题，是中档题.

8.(2017秋•全椒县校级期中)已知一元二次方程/+办+信=0,

(1)若〃是从区间［0,3］任取的一个整数，6是从区间［0,2］任取的一个整数，求上

述方程有实数根的概率.

(2)若〃是从区间［0,3］任取的一个实数，〃是从区间［0,2］任取的一个实数，求上

述方程有实数根的概率.

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CF：几何概型.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法：51：概率与统计.

【分析】设事件A为“方程/+”+庐=0有实根"，当a20,b》0,时，方程/+以+房

=0有实根的充要条件为a>2b.

(1)利用古典概型概率计算公式求解；

(2)应用几何概型概率计算公式求解.

【解答】解：记事件A为“方程^+ax+b2=0有实根”,当时，方程，+以+廿

=0有实根的充要条件为心2b.

(1)基本事件共有12个：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,

0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值，第

9

考点突破•备战高考

二个数表示〃的取值.事件4中包含6个基本事件，事件A发生的概率为PG4)=

---------------------(6分)

122

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,分)|0<aW3,0W%W2},面积为6.

构成事件A的区域为{(a,b)|0WaW3,0W6W2,a^2b},面积为所以所求的概率

为

fX3XJ3

P(A)=±---------------------------------------------------(12分)

6"8

【点评】本题考查了古典概型、几何概型，明确概率模型，正确利用公式解答是关

键；属于中档题.

9.(2017秋•永州期中)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为“，b.

(1)求直线ax+by+5^0与圆/+y2=1相切的概率；

(2)在区间［0,6］内任取2个实数x,y,求事件“f+)2>(a-6)2恒成立”的概

率.

【考点】CF：几何概型.

【专题】11：计算题：35：转化思想；4A：数学模型法；51：概率与统计.

【分析】本题考查的知识点是古典概型，我们要列出一枚骰子连掷两次先后出现的

点数所有的情况个数

(1)再求出满足条件直线如+力+5=0与圆/+『=1的事件个数，然后代入古典概

型公式即可求解；

(2)记“？+尸>Q-6)2恒成立”为事件&则事件B等价于“f+y2>36”；(x,

y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为。={(x,y)|0WxW6,OWy

W6,x,y&R］,分别求出两个区域的面积，利用几何概型的公式求解.

【解答】解：(