2025年江苏（统招专升本）数学（理科）考试试题及答案

2025年江苏（统招专升本）数学（理科）考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^36x+9，则方程f(x)=0在区间（∞，+∞）内的实根个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：求导f'(x)=3x^26，令f'(x)=0，解得x=±√2。将x=√2、0、√2代入f(x)可得f(√2)<0，f(0)=9，f(√2)<0。根据连续函数零点定理，f(x)在区间（∞，√2）、(√2，0)、(0，√2)、(√2，+∞)内各有一个零点，故选C。

2.已知函数y=f(x)在x=1处有极值，且f'(1)=0，f''(1)=2，则f(x)在x=1处的极值是（）

A.极大值2

B.极小值2

C.极大值2

D.极小值2

答案：B

解析：由于f'(1)=0，f''(1)=2>0，故f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)。选B。

3.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的单调增区间为（）

A.（∞，1）

B.（1，+∞）

C.（∞，0）∪（1，+∞）

D.（∞，1）∪（0，+∞）

答案：C

解析：求导f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，解得x<1或x>1。故f(x)的单调增区间为（∞，1）∪（1，+∞），选C。

4.若函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)=f(b)=0，f'(x)在区间(a，b)内不为0，则以下结论正确的是（）

A.f(x)在区间(a，b)内至少有两个零点

B.f(x)在区间(a，b)内至少有一个极值点

C.f(x)在区间(a，b)内至多有一个极值点

D.f(x)在区间(a，b)内至多有两个零点

答案：B

解析：根据罗尔定理，f(x)在区间(a，b)内至少有一个极值点。选B。

5.设函数f(x)=x^33x+2，下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=1处无极值

D.f(x)在x=1处取得极大值或极小值

答案：C

解析：求导f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，解得x=±1。将x=1、0、1代入f(x)可得f(1)<0，f(0)=2，f(1)<0。由于f(x)在x=1处没有极值，选C。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.设函数f(x)=x^36x+9，则f(x)的极值点为__________。

答案：x=√2，x=√2

解析：求导f'(x)=3x^26，令f'(x)=0，解得x=±√2。由于f''(x)=6x，f''(√2)<0，f''(√2)>0，故x=√2为极大值点，x=√2为极小值点。

7.函数f(x)=x^33x+1的单调减区间为__________。

答案：（1，1）

解析：求导f'(x)=3x^23，令f'(x)<0，解得1<x<1。故f(x)的单调减区间为（1，1）。

8.设函数f(x)=x^33x+2，则f(x)的拐点为__________。

答案：(0,2)

解析：求二阶导f''(x)=6x，令f''(x)=0，解得x=0。将x=0代入f(x)可得f(0)=2。故f(x)的拐点为(0,2)。

9.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)=f(b)=0，f'(x)在区间(a，b)内不为0，则f(x)在区间(a，b)内至少有__________个极值点。

答案：1

解析：根据罗尔定理，f(x)在区间(a，b)内至少有一个极值点。

10.设函数f(x)=x^33x+2，则f(x)在x=1处的泰勒展开式的前三项为__________。

答案：12(x1)+(x1)^2

解析：f(1)=0，f'(1)=0，f''(1)=2。故f(x)在x=1处的泰勒展开式的前三项为12(x1)+(x1)^2。

三、解答题（每题25分，共50分）

11.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间及极值。

解：

求导f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，解得x=±1。

f''(x)=6x，f''(1)<0，f''(1)>0，故x=1为极大值点，x=1为极小值点。

f(1)=3，f(1)=1，故f(x)的极大值为3，极小值为1。

f(x)在区间(∞，1)单调增，(1，1)单调减，(1，+∞)单调增。

12.设函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的拐点及凹凸性。

解：

求二阶导f''(x)