2025年上学期高一数学探究性问题集锦（三）

2025年上学期高一数学探究性问题集锦（三）一、函数与方程综合探究问题1：二次函数零点分布的动态分析已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象经过点$(1,2)$和$(3,6)$，且与x轴有两个不同交点。（1）若两交点横坐标$x_1,x_2$满足$0<x_1<2<x_2<4$，求实数$a$的取值范围；（2）当$a=1$时，将函数图象向左平移$m$个单位长度，向上平移$n$个单位长度后得到新函数$g(x)$，若$g(x)$的顶点在直线$y=2x-1$上，且新函数与x轴相切，求$m,n$的值；（3）在（2）的条件下，设$h(x)=g(x)-kx+3$，若对任意$x\in[-1,2]$，都有$h(x)\geq0$成立，求实数$k$的取值范围。问题2：指数函数与对数函数的实际应用某公司2025年初投入研发资金100万元，预计每年研发资金的增长率为$r$（$0<r<1$）。（1）若按照指数增长模型，写出第$n$年（2025年为第1年）的研发资金$y$（万元）关于$n$的函数关系式；（2）若该公司希望第5年的研发资金达到200万元，求增长率$r$的值（精确到0.01）；（3）若实际研发资金满足函数模型$y=100e^{0.1t}+20\log_2(t+1)$（$t$为年份，$t=0$对应2025年初），比较第10年两种模型下的研发资金差异，并分析对数函数项对增长趋势的影响。二、几何与向量探究问题3：空间几何体的三视图与体积计算如图是某几何体的三视图（单位：cm），其中正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形。（1）画出该几何体的直观图，并指出几何体的名称；（2）求该几何体的表面积和体积；（3）若在该几何体内部挖去一个半径为$r$的半球（半球的底面与几何体的某一个面重合），当$r$为何值时，剩余部分的体积最大？问题4：平面向量的综合应用已知平面直角坐标系中，点$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(2\cos\theta,\sin\theta)$。（1）若$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}$，求$\tan\theta$的值；（2）设$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$（$t\in\mathbb{R}$），若$|\overrightarrow{CD}|$的最小值为$\sqrt{2}$，求$t$的值；（3）设$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，向量$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为$\alpha$，求$\cos\alpha$的取值范围。三、数列与不等式探究问题5：等差数列与等比数列的创新应用定义：若数列${a_n}$满足$a_{n+1}=pa_n+q$（$p,q$为常数），则称其为"线性递推数列"。（1）已知数列${a_n}$是线性递推数列，且$a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=7$，求数列${a_n}$的通项公式；（2）若数列${b_n}$为等比数列，且$b_1=1$，公比$q=2$，设$c_n=a_n+b_n$，其中${a_n}$是（1）中的数列，求数列${c_n}$的前$n$项和$S_n$；（3）在（2）的条件下，若不等式$S_n>k\cdot2^n$对任意$n\in\mathbb{N}^*$恒成立，求实数$k$的取值范围。问题6：不等式的证明与应用（1）已知$a,b>0$，且$a+b=1$，求证：$(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})\geq\frac{25}{4}$；（2）设$x,y,z$为正实数，且$x+y+z=1$，求$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$的最小值；（3）某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？四、概率与统计探究问题7：统计图表的分析与概率计算某学校高一（1）班50名学生的数学期中考试成绩（满分150分）频率分布直方图如下：（注：直方图数据缺失，实际问题中会给出完整图形）（1）求频率分布直方图中$a$的值，并补全直方图；（2）估计该班数学成绩的平均分、中位数和众数；（3）从成绩在[120,150]的学生中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[140,150]的概率。问题8：随机变量的分布列与数学期望在一个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。（1）若每次从中随机取出1个球，记录颜色后放回，连续取3次，求取出红球次数$X$的分布列和数学期望；（2）若一次性从中取出3个球，记取出红球的个数为$Y$，求$Y$的数学期望；（3）若采用不放回抽样，每次取1个球，直到取出2个红球为止，求所需抽取次数$Z$的分布列。五、数学建模与综合探究问题9：函数模型在优化问题中的应用某快递公司在市区内运送货物，运输费用由基础费用和里程费用两部分组成：基础费用为每次10元，里程费用与运输距离$x$（公里）的关系为分段函数：当$0<x\leq5$时，每公里2元；当$5<x\leq10$时，每公里1.8元；当$x>10$时，每公里1.5元。（1）写出运输总费用$C(x)$（元）关于运输距离$x$（公里）的函数关系式；（2）若某客户需要运输一批货物到距离15公里的地点，现有两种方案：①一次性运输；②分两次运输，第一次运输10公里，第二次运输5公里。哪种方案更省钱？省多少元？（3）假设该公司每天有20单运输业务，每单运输距离相互独立，且服从区间[3,18]上的均匀分布，估计该公司一天的平均运输总费用。问题10：三角函数的实际应用如图，某港口$O$有一灯塔，灯塔顶端$P$距离海平面高度$PO=40$米。一艘轮船从港口出发，沿北偏东$60^\circ$方向航行，在$A$处测得灯塔顶端的仰角为$30^\circ$，航行1小时后到达$B$处，测得仰角为$45^\circ$。（1）求轮船在$A$处与灯塔的水平距离$OA$和在$B$处与灯塔的水平距离$OB$；（2）求轮船的航行速度（单位：海里/小时，1海里=1852米，精确到0.1）；（3）若轮船继续沿原方向航行，问再经过多少分钟，轮船与灯塔的水平距离最近？最近距离是多少？六、创新拓展探究问题11：数学文化与数学史探究阅读下列材料，回答问题：《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中"勾股"章记载了勾股定理的应用问题。书中有一题："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？"（注：1丈=10尺，葭即芦苇）（1）用现代数学语言描述该问题，并画出示意图；（2）求解上述问题中的水深和葭长；（3）若将该问题推广：现有一正方形池塘，边长为$a$，芦苇生长在池塘中央，高出水面$h$。将芦苇向岸边牵引，顶端恰好与岸边水面齐平，试用$a,h$表示水深$d$和芦苇长度$l$。问题12：动态几何与函数综合在平面直角坐标系中，点$A(0,2)$，$B(4,0)$，点$P$是线段$AB$上的一个动点（不与$A,B$重合）。（1）设点$P$的横坐标为$t$，写出点$P$的坐标（用含$t$的代数式表示）；（2）过点$P$作$PD\perpx$轴于$D$，$PE\perpy$轴于$E$，设矩形$PDOE$的面积为$S$，求$S$关于$t$的函数关系式，并求出$S$的最大值；（3）以点$P$为圆心，$PE$为半径作圆，当圆与坐标轴相切时，求点$P$的坐标；（4）在（3）的条件下，设圆$P$与直线$AB$的另一个交点为$Q$（不同于点$P$），求线段$PQ$的长度。七、数学思想方法应用问题13：分类讨论思想的应用已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3,x\leq1\ax+b,x>1\end{cases}$，其中$a,b$为常数。（1）若函数$f(x)$在$x=1$处连续，求$a,b$满足的关系式；（2）在（1）的条件下，若函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增，求$a,b$的取值范围；（3）当$a=2,b=-1$时，解不等式$f(x)>3$；（4）设$g(x)=f(x)-k$，若函数$g(x)$有三个零点，求实数$k$的取值范围。问题14：数形结合思想的应用（1）已知方程$x^2-2|x|+a=0$有四个不同的实数根，求实数$a$的取值范围；（2）若关于$x$的不等式$\sqrt{x}>mx+1$的解集为$(4,n)$，求$m,n$的值；（3）设函数$f(x)=|x+1|+|x-2|$，若关于$x$的不等式$f(x)\geqa^2-2a$对任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求实数$a$的取值范围。八、跨学科综合探究问题15：数学与物理综合应用一个物体做竖直上抛运动，初速度为$v_0=20m/s$，忽略空气阻力，重力加速度$g=10m/s^2$。（1）写出物体上升高度$h(m)$关于时间$t(s)$的函数关系式；（2）求物体上升到最高点的时间和最大高度；（3）若物体在抛出点正上方15m处设置一个水平挡板，求物体从抛出到第一次撞击挡板所用的时间；（4）若实际运动中存在空气阻力，设阻力大小与速度成正比，比例系数为$k=0.1kg/s$，物体质量$m=1kg$，建立速度$v(t)$满足的微分方程，并分析阻力对上升时间和最大高度的影响。问题16：数学与经济综合应用某商品的需求函数为$Q_d=100-2P$，供给函数为$Q_s=5P-20$，其中$P$为价格（单位：元），$Q_d,Q_s$为需求量和供给量（单位：件）。（1）求该商品的均衡价格和均衡数量；（2）若政府对该商品征收每件$t$元的销售税，求新的均衡价格和均衡数量（用含$t$的代数式表示）；（3）当$t=3$时，计算消费者剩余和生产者剩余的变化量，并分析税收负担的分配情况；（4）若该商品的成本函数为