2025年上学期高一数学新情境问题专练（四）

2025年上学期高一数学新情境问题专练（四）一、函数模型在共享经济中的应用题型一：分段函数与共享充电宝定价某共享充电宝公司在校园内设置了A、B两个充电柜，已知每台充电宝的租借费用与租借时长的关系为分段函数。当租借时长t≤2小时，收费标准为1.5元/小时；当2＜t≤5小时，超出2小时部分按1元/小时收费；当t＞5小时，超出5小时部分按0.5元/小时收费。问题解析：（1）租借费用y（元）与租借时长t（小时）的函数关系式为：[y=\begin{cases}1.5t&(0<t\leq2)\3+(t-2)\times1&(2<t\leq5)\6+(t-5)\times0.5&(t>5)\end{cases}]化简后可得：[y=\begin{cases}1.5t&(0<t\leq2)\t+1&(2<t\leq5)\0.5t+3.5&(t>5)\end{cases}]（2）设A柜12台、B柜15台充电宝的平均租借时长为3.2小时，由于3.2∈(2,5]，适用第二段函数y=t+1。单台收入为3.2+1=4.2元，总设备数27台，当日最大可能收入为27×4.2=113.4元。（3）收费标准调整后，当t＞4小时，超出部分按0.8元/小时收费。新函数关系式为：[y=\begin{cases}1.5t&(0<t\leq2)\t+1&(2<t\leq4)\5+(t-4)\times0.8&(t>4)\end{cases}]调整后，4小时以上的租借成本降低，可能促使学生延长使用时间。例如原5小时收费6元，调整后收费5+0.8×1=5.8元，降价0.2元；原6小时收费6.5元，调整后收费5+0.8×2=6.6元，反而涨价0.1元。因此，4-5小时区间的租借需求可能增加，而5小时以上的需求可能减少。题型二：二次函数与校园花店经营小婷经营一花店，每天固定成本为100元，每束花进价6元，日均销售量Q（束）与销售单价x（元）的关系为Q=100-5x。问题解析：设日利润为W元，则：W=(x-6)Q-100=(x-6)(100-5x)-100展开得：W=-5x²+130x-700这是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x=13。由于x＞6且Q=100-5x＞0，得x＜20，故定义域为(6,20)。当x=13时，W取得最大值：W_max=-5×13²+130×13-700=145元因此，每束花定价13元时获利最大，最大日利润145元。二、三角函数与无人机技术某校园无人机社团进行航拍测绘，相机水平视场角θ与航向角α、俯仰角β满足关系式θ=arcsin(sinαcosβ)。问题解析：（1）当α=30°，β=45°时：sinα=0.5，cosβ=√2/2≈0.7071sinαcosβ≈0.5×0.7071≈0.3536θ=arcsin(0.3536)≈20.7°（2）当α=60°不变时，sinα=√3/2≈0.8660，θ=arcsin(0.8660cosβ)。由于cosβ∈[-1,1]，0.8660cosβ∈[-0.8660,0.8660]，故θ∈[-60°,60°]。考虑实际飞行场景，β∈[0°,90°]，则θ=arcsin(0.8660cosβ)，其图像为余弦函数经过振幅压缩和反正弦变换后的曲线。（3）当β∈[0°,60°]时，cosβ∈[0.5,1]，sinαcosβ∈[0.5sinα,sinα]。θ=arcsin(sinαcosβ)，则sinθ=sinαcosβ。两边对β求导：cosθ·θ'=-sinαsinβ，故θ'=-sinαsinβ/cosθ＜0，θ随β增大而减小。当β=0°时，θ_max=arcsin(sinα)；当β=60°时，θ_min=arcsin(0.5sinα)。cotθ=cosθ/sinθ=√(1-sin²αcos²β)/(sinαcosβ)，其取值范围需根据α具体值确定。三、集合与校园图书管理系统某校园图书借阅系统的用户分类如下：A类用户为教师，B类用户为高一学生，C类用户为高二学生，D类用户为高三学生。已知集合A={教师}，B={高一学生}，C={高二学生}，D={高三学生}，且各集合元素互不交叉。问题解析：（1）若图书馆新增"共享阅读区"，需统计非教师用户数量，则非教师用户集合为B∪C∪D，其元素个数为|B|+|C|+|D|。（2）设全体用户集合U，教师用户占比10%，高一学生占比40%，则?U(A∪B)=C∪D，占比50%。（3）用Venn图表示用户分类时，应绘制四个互不相交的圆，分别代表A、B、C、D四类用户，整个矩形代表全集U。若存在同时借阅纸质书和电子书的用户，则需绘制两个相交的圆，分别代表纸质书借阅者和电子书借阅者，其交集即为两类书籍都借阅的用户。四、概率统计与共享题库质量评估某高中数学教研组共享题库中，收录了1000道函数题，易、中、难题比例为3:5:2。随机抽取50道题分析，发现有8道存在表述歧义。问题解析：（1）抽样歧义率为8/50=16%，估计题库中歧义题目总数为1000×16%=160道。（2）难题数量为1000×2/10=200道，按抽样歧义率16%计算，难题中歧义题约32道。从200道难题中随机抽取3道，至少抽到1道歧义题的概率：P=1-P(全非歧义题)=1-C(168,3)/C(200,3)计算得：C(168,3)=168×167×166/(3×2×1)=796168C(200,3)=200×199×198/6=1313400P≈1-796168/1313400≈1-0.606=0.394（3）基于学生答题数据的难度评估方案设计：数据采集：记录每道题的答题人数n、答对人数k、平均用时t难度指标：基础难度p=k/n，区分度d=(高分组正确率-低分组正确率)计算模型：综合难度指数D=0.4p+0.3(1-t/t_max)+0.3d，其中t_max为该题限定时间。D∈[0,1]，值越大难度越高。五、不等式与共享汽车调度某租赁企业拥有汽车100辆，当每辆车月租金为3000元时，可全部租出。当租金每增加50元，未租出的车将增加1辆。租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需维护费50元。问题解析：设月租金增加x个50元，则：租出车辆数：100-x月租金收入：(3000+50x)(100-x)维护费支出：150(100-x)+50x=15000-100x月利润W=(3000+50x)(100-x)-(15000-100x)展开得：W=-50x²+2100x+285000对称轴x=21，此时月租金3000+50×21=4050元，最大月利润为：W_max=-50×21²+2100×21+285000=307050元六、空间几何与共享储物柜设计校园共享储物柜设计中，需计算正方体储物柜的空间利用率。已知正方体棱长为60cm，内部要放置长40cm、宽30cm、高20cm的长方体物品。问题解析：（1）正方体体积V=60³=216000cm³（2）长方体体积v=40×30×20=24000cm³（3）沿正方体长、宽、高方向可放置的长方体数量：60÷40=1.5（取1），60÷30=2，60÷20=3按不同摆放方式，最多可放置1×2×3=6个，空间利用率为(6×24000)/216000≈66.7%若调整摆放方向，使长方体长、宽、高分别对应正方体的宽、高、长，则：60÷30=2，60÷20=3，60÷40=1.5（取1），同样可放置2×3×1=6个若采用混合摆放，底层按40×30面放置，可放(60/40)×(60/30)=1×2=2个；上层剩余高度40cm，可按20×30面放置两层，每层(60/20)×(60/30)=3×2=6个，共2+6×2=14个，空间利用率(14×24000)/216000≈155.6%，显然不可能。因此，理论最大空间利用率约为66.7%。七、函数单调性与社区团购配送社区团购配送路线优化问题：某配送员从配送中心出发，向坐标分别为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)的三个小区配送物资，各小区订单量相同。假设配送时间与距离成正比，试确定最优配送顺序。问题解析：建立平面直角坐标系，配送中心为原点O(0,0)。各点间距离计算如下：OA=√(1²+2²)=√5≈2.236OB=√(3²+4²)=5OC=√(5²+1²)=√26≈5.099AB=√[(3-1)²+(4-2)²]=√8≈2.828AC=√[(5-1)²+(1-2)²]=√17≈4.123BC=√[(5-3)²+(1-4)²]=√13≈3.606可能的配送顺序有6种，计算总距离：O→A→B→C：OA+AB+BC≈2.236+2.828+3.606≈8.67O→A→C→B：OA+AC+CB≈2.236+4.123+3.606≈9.965O→B→A→C：OB+BA+AC≈5+2.828+4.123≈11.951O→B→C→A：OB+BC+CA≈5+3.606+4.123≈12.729O→C→A→B：OC+CA+AB≈5.099+4.123+2.828≈12.05O→C→B→A：OC+CB+BA≈5.099+3.606+2.828≈11.533最优配送顺序为O→A→B→C，总距离最短约8.67单位。此问题体现了函数单调性在路径优化中的应用，当配送点增加时，可通过贪心算法逐步选择最近邻点，近似得到最优解。八、指数函数与病毒传播模型新冠病毒气溶胶传播模型中，病毒浓度C(t)随时间t（小时）的变化满足指数函数C(t)=C₀e^(-kt)，其中k为通风系数。在密闭空间中k=0.2，在开窗通风条件下k=0.8。问题解析：（1）密闭空间中，初始浓度C₀=1000copies/m³，3小时后浓度：C(3)=1000e^(-0.2×3)=1000e^(-0.6)≈548.8copies/m³（2）通风条件下，浓度降至初始值10%所需时间t满足：0.1C₀=C₀e^(-0.8t)ln0.1=-0.8tt=ln10/0.8≈2.87小时（3）若先密闭2小时，再开窗通风3小时，最终浓度：C=1000e^(-0.2×2)e^(-0.8×3)=1000e^(-0.4-2.4)=1000e^(-2.8)≈59.4copies/m³此模型表明，及时通风能显著降低病毒浓度，体现了指数函数在公共卫生领域的应用价值。九、数列与校园共享单车调度校园共享单车早高峰时段（7:00-9:00）的调度问题：已知7:00时A区有100辆单车，B区有20辆单车。每15分钟，A区有30%的单车被骑往B区，B区有20%的单车被骑往A区。问题解析：设第n个15分钟后A区单车数量为aₙ，B区为bₙ，a₀=100，b₀=20。aₙ=0.7aₙ₋₁+0.2bₙ₋₁bₙ=0.3aₙ₋₁+0.8bₙ₋₁由于aₙ+bₙ=120，可得aₙ=0.7aₙ₋₁+0.2(120-aₙ₋₁)=0.5aₙ₋₁+24这是一个递推数列，特征方程x=0.5x+24，解得x=48。通解aₙ=48+(100-48)(0.5)ⁿ=48+52×(0.5)ⁿ9:00时n=8，a₈=48+52×(0.5)⁸≈48.2辆，即A区约48辆，B区约72辆。为保持两区供需平衡，需从B区调度72-48=24辆到A区。十、导数与智能温室温控智能温室的温度调节系统中，某时段温度T(t)=t³-6t²+11t+20（℃），t∈[0,5]（小时）。问题解析：（1）求导得T'(t)=3t²-12t+11，令T'(t)=0，解得t=(12±√(144-132))/6=(12±√12)/6=2±√3/3≈2±0.577t₁≈1.423，t₂≈2.577（2）温度变化趋势：[0,1.423)：T'(t)＞0，温度上升(1.423,2.577)：T'(t)＜0，温度下降(2.577,5]：T'(t)＞0，温度上升（3）极值点温度：T(1.423)≈(1.423)³-6(1.423)²+11(1.423)+20≈34.1℃（极大值）T(2.577)≈(2.577)³-6(2.577)²+11(2.577)+20≈32.9℃（极小值）（4）若要在t=3时达到35℃，需调整温度函数为T(t)=t³-6t²+11t+c，代入T(3)=35得：27-54+33+c=35→c=35-6=29，即需将初始