椭圆的简单几何性质课件-高二上学期数学人教A版选择性

第三章

圆锥曲线的方程§3.1椭圆§3.2双曲线§3.3抛物线3.1.2椭圆的简单几何性质1.范围yxF1F2A1A2B1B22.对称性（1）验证x轴的对称性：将-y带入椭圆的标准方程（3）验证y轴的对称性：将-x带入椭圆的标准方程

由于椭圆方程中x和y仅以平方形式出现，因此椭圆关于x轴、y轴和原点均对称。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3.顶点yxF1F2A1A2B1B2左顶点：A1右顶点：A2上顶点：B1下顶点：B2

因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。

线段A1A2，B1B2，分别叫做椭圆的长轴和短轴长轴短轴a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4.离心率yxA1A2B1B2

我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同。扁平程度是椭圆的重要形状特征。

我们发现，上面三个椭圆的长轴相同，焦距和短轴不同，那么你能根据这一发现定义椭圆的扁平程度吗？利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c

可以发现，c越接近a，圆越扁平。类似地，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a，c扩大或缩小相同倍数时，圆的形状不变。

这样，利用c和a这两个量，可以刻画圆的扁平程度。我们把椭圆的焦距与长轴长的比c/a一称为椭圆的离心率，用e表示。离心率e越大，椭圆的形状越扁平；离心率e越小，椭圆的形状越圆润，当离心率趋近于最小值时，椭圆的形状趋于圆。由于a>c>0，所以离心率的范围是0<e<1当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变成圆，不存在离心率。又a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，12又a2＝b2＋c2，解得a＝3，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝12.B所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.B解析依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，有关椭圆的推论：（1）焦点三角形及其性质yxF1O

F2M椭圆上任意一点与两焦点所围成的三角形称为焦点三角形。αβθ①焦点三角形的面积②焦点三角形的边长与周长yxF1O

F2M（x，y）αβθ同理我们也可以证明③焦点三角形与离心率yxF1O

F2M（x，y）αβθ在焦点三角形∆MF1F2中，根据正弦定理有（2）设椭圆的左顶点和右顶点分别为A，B，过椭圆上任意一点P，直线PA和PB的斜率的乘积为定值。yxABP（3）中点弦定理与弦长公式：已知椭圆上有一条直线与其相交，交点为A，B，且线段AB的中点M坐标为（x0，y0）yxMAB两式相减，点差法yxMAB（4）椭圆的通径公式：过焦点且垂直于长轴的弦叫通径yxAByxBA可用点差法证明其通径长度【例5】（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：

过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为.（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.yxAF1O

F2M将点M和a带入椭圆方程（2）点N为椭圆上任意一点，求∆AMN的面积的最大值.yxA

O

M