第5课平行线的证明(2)平行线的性质-1

第七章证明第5课平行线的证明(2)——平行线的性质平行线的性质性质1性质2性质3两直线平行，同位角

⁠两直线平行，内错角

⁠两直线平行，同旁内角

⁠相等相等互补图示

几何

语言∵a∥b，

∴

⁠∵a∥b，

∴

⁠∵

，∴

⁠

⁠∠1＝∠2∠1＝∠2a∥b∠1

＋∠2＝180°

知识点1平行线的性质定理的证明

1.

例1(北师八上P193定理改编)请将定理“两直线平行，内错角相等”

的证明过程补充完整．已知：如图，直线l1

l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l3截出的

⁠．∥内错角求证：

⁠．证明：∵l1∥l2(已知)，

∴∠1＝∠3(

)．又∵∠2＝∠3(

)，

∴

(等量代换)．

∠1＝∠2两直线平行，同位角相等对顶角相等∠1＝∠2

2.

仿照例1，在方框内画出合适的图形，并完成定理“两直线平行，

同旁内角互补”的证明．已知：

⁠

⁠．如图，l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l3截出的同旁内角求证：

⁠．∠1＋∠2＝180°证明：∵l1∥l2(已知)，

∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＋∠3＝180°(平角的定义)，

∴∠1＋∠2＝180°(等量代换)．

知识点2平行的传递性

3．

平行于同一条直线的两条直线

⁠．几何语言：如图，∵a∥b，b∥c，∴a∥c. 平行

4.

例2如图，已知AB∥CD，AB∥EF，∠2＋∠3＝180°.求证：

∠1＝∠4.证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相

等)．

∵AB∥CD，AB∥EF(已知)，

∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．

∴∠3＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∵∠2＋∠3＝180°(已知)，∴∠2＝∠4(同角的补角相等)．

∴∠1＝∠4(等量代换)．

知识点3平行线的性质与判定的综合应用

5．

例3(北师八上P196习题T7改编)如图，∠1＝∠2，∠C＝

∠D．

求证：∠A＝∠F.

证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠DMN(对顶角相等)，

∴∠2＝∠DMN(等量代换)．

∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)．

∴∠DBC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∵∠C＝∠D(已知)，∴∠DBC＋∠D＝180°(等量代换)．

∴DF∥AC(同旁内角互补，两直线平行)．

∴∠A＝∠F(两直线平行，内错角相等)．

1．

(2024湖北)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管

道，并有纵向管道AC连通．若∠1＝120°，则∠2的度数是（B）A．

50°B．

60°C．

70°D．

80°B

2．

(2024资阳)如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E.

若

∠D＝50°，则∠A的度数为（B）A．

130°B．

140°C．

150°D．

160°B

3．

一题多解如图，直线l与直线a，b相交，若a∥b，∠1＝

70°，则∠2的度数是多少？法1：解：∵∠1与∠3互为补角(已知)，

∴∠3＝180°－∠1＝110°(补角的定义)．

∵a∥b(已知)，

∴∠2＝∠3＝110°(两直线平行，内错角相等)．∴∠2的度数是

110°.法2：解：∵∠1与∠4互为补角(已知)，

∴∠4＝180°－∠1＝110°(补角的定义)．

∵a∥b，∴∠2＝∠4＝110°(两直线平行，同位角相等)．∴∠2

的度数是110°.法3：解：∵∠1与∠5是对顶角(已知)，

∴∠5＝∠1＝70°(对顶角相等)．

∵a∥b(已知)，∴∠2＋∠5＝180°(两直线平行，同旁内角互

补)．∴∠2＝180°－∠5＝110°(等式的性质)．

∴∠2的度数是110°.

4．

(台州中考)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝

20°，则∠2的度数为

⁠．140°

5．

跨学科(北师八上P199复习题T10改编)如图所示，MN，EF表示

两面互相平行的镜子，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为

BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的光线为CD，此时

∠3＝∠4.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．解：AB∥CD．

理由如下：

∵MN∥EF(已知)，

∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.

∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4(等量代换)．

∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°(平角的

定义)，

∴∠ABC＝∠BCD(等量代换)．

∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．可选讲《培优提升特训》培优专题10

平行线与综合探究

【探索发现】(1)已知：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，

连接AP，CP.

易证：∠APC＝∠BAP＋∠PCD．

下面是两位同学添加辅助线的方法：

小刚：如图2，过点P作PQ∥AB．

小红：如图3，

延长AP交CD于

点M.

(1)解：选择小刚的方法．证明如下：过点P作PQ∥AB．

∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD．

∴∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠PCD．

∴∠APQ＋∠CPQ＝∠BAP＋∠PCD，即∠APC＝∠BAP＋∠PCD．

选择小红的方法．证明如下：延长AP交CD于点M.

∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠PMC．

∵∠APC＋∠CPM＝

180°，∠PMC＋∠PCD＋∠CPM＝180°，

∴∠APC＝∠PMC＋∠PCD．

∴∠APC＝∠BAP＋∠PCD．

请你选择一位同学的方法，并进行证明；

【深入思考】(2)如图4，点E，F分别是射线AB，CD上一点，点

G是线段CF上一点，连接AG并延长，交直线EF于点P，连接AC，

EG，若∠PAC＋∠PEG＝∠AGE，求证：AC∥EF；

(2)证明：∵∠AGE＋∠PGE＝180°，∠APE＋∠PEG＋∠PGE＝180°，∴∠AGE＝∠APE＋∠PEG.

∵∠AGE＝∠PAC＋∠PEG，∴∠APE＝∠PAC．

∴AC∥EF.

【拓展延伸】(3)如图5，在(2)的条件下，AB∥CD，AH平分

∠PAC，FH平分∠PFC，AH与FH交于点H，若∠CAH＝25°，

∠AHF＝∠AEG，∠PGE＝2∠CAH＋3∠PEG.

求∠PFC的度数．

(3)解：∵AH平分∠PAC，∠CAH＝25°，∴∠PAC＝2∠CAH

＝50°.设∠PEG＝α.∴∠PGE＝2∠CAH＋3∠PEG＝50°＋3α.

∴∠AGE＝180°－∠PGE＝130°－3α.由(2)知，∠PAC＋∠PEG＝∠AGE.

∴50°＋α＝130°－3α.解得

α＝20°.∴∠PEG＝20°.

∴∠AHF＝∠